一次函数知识要点详解

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1、一次函数知识要点详解1 一次函数和正比例函数的概念假设两个变量x，y间的关系式能够表示成y=kx+b（k，b为常数，k0）的形式，那么称y是x的一次函数（x为自变量），专门地，当b=0时，称y是x的正比例函数.例如：y=2x+3，y=-x+2，y=x等都是一次函数，y=x，y=-x都是正比例函数.说明： （1）一次函数的自变量的取值范围是一切实数，但在实际问题中要依照函数的实际意义来确信.（2）一次函数y=kx+b（k，b为常数，b0）中的“一次”和一元一次方程、一元一次不等式中的“一次”意义相同，即自变量x的次数为1，一次项系数k必需是不为零的常数，b可为任意常数.（3）当b=0，k0时，y

2、=b仍是一次函数.（4）当b=0，k=0时，它不是一次函数.2 确信一次函数的关系式依如实际问题中的条件正确地列出一次函数及正比例函数的表达式，实质是先列出一个方程，再用含x的代数式表示y3 函数的图象把一个函数的自变量x与所对应的y的值别离作为点的横坐标和纵坐标在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象画函数图象一样分为三步：列表、描点、连线4 一次函数的图象由于一次函数y=kx+b（k，b为常数，k0）的图象是一条直线，因此一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b由于两点确信一条直线，因此在尔后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连成直线即可，一样

3、选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-，0）.但也没必要必然选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx的图象时，只要描出点（0，0），（1，k）即可.5 一次函数y=kx+b（k，b为常数，k0）的性质（1）k的正负决定直线的倾斜方向；k0时，y的值随x值的增大而增大；kO时，y的值随x值的增大而减小（2）|k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线缓）；（3）b的正、负决定直线与y轴交点的位置；当b0时，直线与y轴交于正半轴上；当b0时，直线与y轴交于负半轴上；当b=0时，直线通过原点

4、，是正比例函数（4）由于k，b的符号不同，直线所通过的象限也不同；如图1118（l）所示，当k0，b0时，直线通过第一、二、三象限（直线不通过第四象限）；如图1118（2）所示，当k0，bO时，直线通过第一、三、四象限（直线不通过第二象限）；如图1118（3）所示，当kO，b0时，直线通过第一、二、四象限（直线不通过第三象限）；如图1118（4）所示，当kO，bO时，直线通过第二、三、四象限（直线不通过第一象限）（5）由于|k|决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的另外，从平移的角度也能够分析，例如：直线y=x1能够看做是正比例函数

5、y=x向上平移一个单位取得的6 正比例函数y=kx（k0）的性质（1）正比例函数y=kx的图象必通过原点；（2）当k0时，图象通过第一、三象限,y随x的增大而增大；（3）当k0时，图象通过第二、四象限,y随x的增大而减小7 点P（x0，y0）与直线y=kx+b的图象的关系（1）若是点P（x0，y0）在直线y=kx+b的图象上，那么x0,y0的值必知足解析式y=kx+b；（2）若是x0，y0是知足函数解析式的一对对应值，那么以x0，y0为坐标的点P（1，2）必在函数的图象上如点P（1，2）知足直线y=x+1，即x=1时，y=2，那么点P（1，2）在直线y=x+l的图象上；点P（2，1）不知足解析

6、式y=x+1，因为当x=2时，y=3，因此点P（2，1）不在直线y=x+l的图象上8 确信正比例函数及一次函数表达式的条件（1）由于正比例函数y=kx（k0）中只有一个待定系数k，故只需一个条件（如一对x，y的值或一个点）就可求得k的值（2）由于一次函数y=kx+b（k0）中有两个待定系数k，b，需要两个独立的条件确信两个关于k，b的方程，求得k，b的值，这两个条件一般是两个点或两对x，y的值9 待定系数法先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再依照条件列出方程（或方程组），求出未知系数，从而取得所求结果的方式，叫做待定系数法其中未知系数也叫待定系数例如：函数y=kx+b中，k，b确实是

7、待定系数10 用待定系数法确信一次函数表达式的一样步骤（1）设函数表达式为y=kx+b；（2）将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；（3）求出k与b的值，取得函数表达式如已知一次函数的图象通过点（2，1）和（-1，-3）求此一次函数的关系式解：设一次函数的关系式为ykx+b（k0），由题意可知，解此函数的关系式为y=说明： 此题是用待定系数法求一次函数的关系式，具体步骤如下：第一步，设（依照题中要求的函数“设”关系式y=kx+b，其中k，b是未知的常量，且k0）；第二步，代（依照题目中的已知条件，列出方程（或方程组），解那个方程（或方程组），求出待定系数k，b）；第三步，求（把求得的k，

8、b的值代回到“设”的关系式y=kx+b中）；第四步，写（写出函数关系式）.11。思想方式 （1）函数方式函数方式确实是用运动、转变的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方式函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方式能够解决许多数学问题（2）数形结合法数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方式，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用例1 以下函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？（1）y=-x； （2）y=-； （3）y=-3-5x；（4）y=-5x2； （5）y=6x- （6）y=x(x-4)-x2.分析：

9、 此题要紧考查对一次函数及正比例函数的概念的明白得解：（1）（3）（5）（6）是一次函数，（l）（6）是正比例函数例2 当m为何值时，函数y=-（m-2）x+（m-4）是一次函数？分析： 某函数是一次函数，除应符合y=kx+b外，还要注意条件k0解：因为函数y=（m-2）x+（m-4）是一次函数，因此m=-2.故当m=-2时，函数y=（m-2）x+（m-4）是一次函数说明： 某函数是一次函数应知足的条件是：一次项（或自变量）的指数为1，系数不为0而某函数假设是正比例函数，那么还需添加一个条件：常数项为0例3 一根弹簧长15cm，它所挂物体的质量不能超过18kg，而且每挂1kg的物体，弹簧就伸长

10、05cm，写出挂上物体后，弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x(kg）之间的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并判定y是不是是x的一次函数分析：（1）弹簧每挂1kg的物体后，伸长05cm，那么挂xkg的物体后，弹簧的长度y为（l5+05x）cm，即y=15+05x（2）自变量x的取值范围确实是使函数关系式成心义的x的值，即0x18(3)由y=15+05x可知，y是x的一次函数解：（l）y=15+05x（2）自变量x的取值范围是0x18（3）y是x的一次函数例4 （2003厦门）某物体从上午7时至下午4时的温度M（）是时刻t（时）的函数：M=t2-5t+100（其中t=0表示中午12时，t=

11、1表示下午1时），那么上午10时此物体的温度为 分析： 此题给出了函数关系式，欲求函数值，但没有直接给出t的具体值从题中能够明白，t=0表示中午12时，t=1表示下午1时，那么上午10时应表示成t=-2，当t=-2时，M=（-2）3-5（-2）+100=102（）答案：102例5 已知y-3与x成正比例，且x=2时，y=7.（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）当x=4时，求y的值；（3）当y=4时，求x的值分析： 由y-3与x成正比例，那么可设y-3=kx，由x=2，y=7，可求出k，那么能够写出关系式解：（1）由于y-3与x成正比例，因此设y-3=kx把x=2，y=7代入y-3=kx中，

12、得7-32k，则k2故y与x之间的函数关系式为y-3=2x，即y=2x+3（2）当x=4时，y=24+3=11（3）当y4时，4=2x+3，x=.例6 求直线y=-2x-3与x轴和y轴的交点，并画出这条直线分析： 要注意x轴和y轴上点的特点，x轴上所有点的纵坐标为0，y轴上所有点的横坐标为0，两个交点的坐标求出后，利用这两点就能够够画直线了解：令x=0，那么y=-3；令y=0，那么x=-因此该直线与x的交点为（-，0），与y轴的交点为（0，-3）图象如图1120所示例7 （哈尔滨）假设正比例函数y=（1-2m）x的图象通过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1x2时，y1y2，那么m的

13、取值范围是（ ）AmOBm0 CmDmM分析： 此题考查正比例函数的图象和性质，因为当x1x2时，y1y2，说明y随x的增大而减小，因此1-2mO,m，故正确答案为D项例8 已知y+a与x+b（a，b为是常数）成正比例（1）y是x的一次函数吗？请说明理由；（2）在什么条件下，y是x的正比例函数？分析： 判定某函数是一次函数，只要符合y=kx+b（k，b中为常数，且k0）即可；判定某函数是正比例函数，只要符合y=kx(k为常数，且k0)即可解：（1）y是x的一次函数因为y+a与x+b是正比例函数，因此设y+a=k(x+b)（k为常数，且k0）整理得y=kx+（kb-a）又k0，k，a，b为常数，

14、因此y=kx+(kb-a)是一次函数（2）当kb-a=0，即a=kb时，y是x的正比例函数例9。 已知y+2与x成正比例，且x=-2时，y=0（1）求y与x之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）观看图象，当x取何值时，y0？（4）假设点（m，6）在该函数的图象上，求m的值；（5）设点P在y轴负半轴上，（2）中的图象与x轴、y轴别离交于A，B两点，且SABP=4，求P点的坐标分析： 由已知y+2与x成正比例，可设y+2=kx，把x=-2，y=0代入，可求出k，如此即可取得y与x之间的函数关系式，再依照函数图象及其性质进行分析，点（m，6）在该函数的图象上，把x=m，y=6代入即可求出m的

15、值解：（1）因为y+2与x成正比例，因此设y+2=kx（k是常数，且k0）因为当x=-2时，y=0因此0+2k（-2），k-1因此函数关系式为x+2=-x，即y=-x-2（2）列表；x0-2y-20描点、连线，图象如图1123所示（3）由函数图象可知，当x-2时，y0因此当x-2时，y0(4)因为点（m，6）在该函数的图象上，因此6=-m-2,则m-8（5）函数y=-x-2别离交x轴、y轴于A，B两点，因此A（-2，0），B（0，-2）又SABP=|AP|OA|=4，因此|BP|=.则点P与点B的距离为4又B点坐标为(0，-2),且P在y轴负半轴上，因此P点坐标为(0，-6).例10 已知一次

16、函数y=（3-k）x-2k2+18.（1）k为何值时，它的图象通过原点？（2）k为何值时，它的图象通过点（0，-2）?（3）k为何值时，它的图象与y轴的交点在x轴的上方？（4）k为何值时，它的图象平行于直线y=-x？（5）k为何值时，y随x的增大而减小？分析： 函数图象通过某点，说明该点坐标适合方程；图象与y轴的交点在y轴上方，说明常数项bO；两函数图象平行，说明一次项系数相等；y随x的增大而减小，说明一次项系数小于0解：（1）图象通过原点，那么它是正比例函数因此则k-2故当k=-3时，它的图象通过原点（2）该一次函数的图象通过点（0，-2）.因此-2=-2k2+18，且3-k0，因此k=，故

17、当k=时，它的图象通过点(0，-2)（3）因为图象与y轴的交点在x轴上方，即b0因此-2k2+180，因此-3k3，故当-3k3时，它的图象与y轴的交点在x轴的上方（4）函数图象平行于直线y=-x，因此3-k=-1，则k4因此当k4时，它的图象平行于直线x=-x（5）因为随x的增大而减小，因此3-kO则k3故当k3时，y随x的增大而减小例11 某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者.果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回，已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元（1）别离写出

18、该公司两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量X的取值范围；（2）当购买量在什么范围时，选择哪一种购买方案付款少？并说明理由分析： 先求出两种购买方案的付款y（元）与所购买的水果量x（千克）之间的函数关系式，再通过比较，探讨出结论 解法1：当y甲=y乙时，有9x=8x+5000，因此x=5000因此当x=5000时，两种方案付款一样，按哪一种方案都能够当y甲y乙时，有9x8x+5000，因此x5000又x3000，因此当3000x5000时，甲方案付款少，故采纳甲方案当y甲y乙时，有9x8x+5000，因此x5000因此当x500O时，乙方案付款少，故

19、采纳乙方案解法2：图象法，作出y甲=9x和y乙=8x+5000的函数图象，如图1124所示，由图象可得：当购买量大于或等于3000千克且小于5000千克时，y甲y乙,即选择甲方案付款少；当购买量为5000千克时，y甲y乙即两种方案付款一样；当购买量大于5000千克时，y甲y乙，即选择乙方案付款最少说明： 图象法是解决问题的重要方式，也是考查学生读图能力的有效途径.例12。一次函数y=kx+b的自变量x的取值范围是-3x6，相应函数值的取值范围是-5y-2，那么那个函数的解析式为 .分析： 此题分两种情形讨论：当k0时，y随x的增大而增大，那么有：当x=-3，y=-5；当x=6时，y=-2，把它们代入y=kx+b中可得因此故函数解析式为y=-x-4当kO时那么随x的增大而减小，那么有：当x=-3时，y=-2；当x=6时，y=-5，把它们代入y=kxb中可得所已则函数解析式为y=-x-3.故函数解析式为y=x-4，或y=-x-3.答案：y=x-4或y=-x-3.注意： 此题充分表现了分类讨论思想，方程思想在一次函数中的应用，切忌考虑问题不全面.