常微分方程及其应用

《常微分方程及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常微分方程及其应用（41页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第 六 章 微 分 方 程 n 第 一 节 微 分 方 程 的 基 本 概 念n 第 二 节 可 分 离 变 量 的 微 分 方 程n 第 三 节 齐 次 方 程n 第 四 节 一 阶 线 性 微 分 方 程n 第 五 节 可 降 阶 的 高 阶 微 分 方 程n 第 六 节 二 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程 例 一 曲 线 通 过 点 ， 且 在 该 曲 线 上 任 意 点 处 的 切 线 斜 率 为 横 坐 标 的 两 倍 ， 求 这 曲 线的 方 程 。 1,2 ,M x y 在 许 多 实 际 问 题 中 ， 往 往 不 能 找 出 所 需 要 的函 数 关 系 ，

2、但 是 根 据 问 题 所 提 供 的 情 况 ， 有 时 可以 列 出 含 有 要 找 的 函 数 及 其 导 数 的 关 系 式 ， 这 样的 关 系 式 就 是 所 谓 的 微 分 方 程 。 一 、 微 分 方 程 凡 表 示 未 知 函 数 、 未 知 函 数 的 导 数 及 自 变 量 之间 的 关 系 的 方 程 。 （ 未 知 函 数 的 导 数 必 须 出 现 。 ）如 果 其 中 的 未 知 函 数 只 与 一 个 自 变 量 有 关 ， 则 称 为常 微 分 方 程 ； 如 果 未 知 函 数 是 两 个 或 两 个 以 上 自 变量 的 函 数 ， 并 且 在 方 程

3、中 出 现 偏 导 数 ， 则 称 为 偏 微分 方 程 . 2 2 0 x xy y 0 x y 判 断 下 列 方 程 是 否 为 微 分 方 程 ：3y c 否是是 二 、 微 分 方 程 的 阶 微 分 方 程 中 所 出 现 的 未 知 函 数 的 最 高 阶 导数 的 阶 数 。 2 4 3x y xy y x 2dy xdx 4 2 12 5 sin2y y y y x 一 阶 三 阶 三 阶 , , 0F x y y , ,y f x y y , , , 0F x y y y 三 、 微 分 方 程 的 一 般 形 式 ,y f x y1、 一 阶 微 分 方 程 或2、 二

4、阶 微 分 方 程 或 四 、 微 分 方 程 的 解 若 函 数 满 足 ， 把 它 及 它 的 导 数 代 入 微 分 方 程 时 ，能 使 方 程 恒 成 立 ， 这 样 的 函 数 称 为 微 分 方 程 的 解 。1、 微 分 方 程 的 通 解 如 果 微 分 方 程 的 解 中 含 有 任 意 常 数 ， 且 任 意 常数 的 个 数 与 微 分 方 程 的 阶 数 相 同 ， 这 样 的 解 称 为微 分 方 程 的 通 解 。 、 微 分 方 程 的 特 解 微 分 方 程 的 解 如 果 是 完 全 确 定 的 （ 即 不 含 任 意 常 数 ） ， 就 称 为 微 分 方

5、 程 的 特 解 。 五 、 初 值 条 件 在 通 解 中 含 有 任 意 常 数 ， 为 了 得 到 特 解 必 须 根 据 一些 条 件 来 确 定 这 些 常 数 ， 这 种 条 件 称 为 初 值 条 件 。一 阶 微 分 方 程 0 0 x xy y 二 阶 微 分 方 程 0 0 x xy y 0 0 x xy y 求 一 阶 微 分 方 程 满 足 初 值 条件 的 特 解 这 样 一 个 问 题 ， 称 为 一 阶 微分 方 程 的 初 值 问 题 。 六 、 初 值 问 题 , , 0F x y y 0 0 x xy y 记 为 0 0, , 0 x xF x y yy y

6、 例 1 验 证 函 数 是 微 分 方 程 的 通 解 。 1 2cos sinx C kt C kt 2 22 0( 0)d x k x kdt 例 2 求 例 1中 满 足 初 始 条 件 ， 的 特 解 。 0tx A 0 0tdxdt 例 3 已 知 曲 线 上 点 处 的 法 线 与 x轴 的交 点 为 Q ， 且 线 段 PQ 被 y轴 平 分 ， 求 曲 线 方 程 。 ,P x y ,P x y( ,0)Q x xx y 定 义 如 果 一 个 一 阶 微 分 方 程 能 化 成 （ ）的 形 式 ， 那 么 原 方 程 称 为 可 分 离 变 量 的 微 分 方 程 。 g

7、 y dy f x dx 设 和 的 原 函 数 分 别 为 和 。对 (1)两 边 积 分 ， 则 得 （ 2） 二 元 方 程 （ ） 就 称 为 微 分 方 程 （ ） 的 隐 式通 解 。 g y f x G y F x G y F x C 例 3 设 降 落 伞 下 落 后 ， 所 受 空 气 阻 力 与 速 度 成 正比 （ 系 数 为 k， k0） 。 设 开 始 速 度 为 0， 求 降 落 伞下 落 速 度 与 时 间 的 函 数 关 系 。 vm gf kv例 2 求 微 分 方 程 的 通 解 。ln 0 xy y y 例 1 求 微 分 方 程 满 足 的 通 解 。0

8、 1xy 2dy xydx 例 4 质 量 为 1g的 质 点 受 外 力 作 用 作 直 线 运 动 ， 这 外 力 和 时 间 成 正 比 。 在 时 ， 速 度 等 于 ， 外 力 为 。 问 从 运 动 开 始 经 过 了 后 质 点 的 速 度 是 多 少 ？10t s50 /cm s 24 /g cm s1min 一 、 定 义 如 果 一 阶 微 分 方 程 可 化 成 的 形 式 ， 则 称 为 齐 次 方 程 。dy ydx x 二 、 分 离 变 量 (换 元 法 )设 yu x 2 2 0 x y dx xydy 问 ： 是 否 为 齐 次 方 程 ？ y xu则 dy

9、duu xdx dx 代 入 齐 次 方 程 du u x udx dux u udx du dxu u x 分 离 变 量 ,得两 边 积 分 ,得 到 u和 x的 函 数 ,再 将 u换 成 ,即 得所 给 齐 次 方 程 的 解 . yx例 求 解 方 程 例 求 解 微 分 方 程 1dydx x y 2 2 0 x y dx xydy 2( )y x y 例 3 求 解 微 分 方 程 例 4 探 照 灯 的 聚 光 镜 是一 张 旋 转 曲 面 ， 它 的 形状 由 XOY坐 标 面 上 的 一条 曲 线 L绕 x轴 旋 转 而 成 。按 聚 光 镜 性 能 的 要 求 ，在 其

10、旋 转 轴 （ X轴 ） 上一 点 O处 发 出 的一 切 光 线 ， 经 它 反 射 后都 与 旋 转 轴 （ X轴 ） 平行 。 求 曲 线 L的 方 程 。 xNMA O L STy P建 立 微 分 方 程 2 2ydx x x y dy （ ） 称 为 一 阶 线 性 微 分 方 程 。 dy P x y Q xdx 所 谓 线 性 微 分 方 程 是 指 方 程 中 出 现 的 未 知 函 数 及未 知 函 数 的 导 数 都 是 一 次 的 。例 如 2 sindy x y xdx 是 一 阶 线 性 微 分 方 程 。其 中 2P x x sinQ x x2 sindyy x

11、y xdx 不 是 一 阶 线 性微 分 方 程 。 形 如 当 时 ， 称 (2)是 对 应 于 (1)的 齐 次 线 性 微 分 方 程 0Q x 现 在 要 求 非 齐 次 微 分 方 程 （ 1） 的 解 ， 先 来 研 究齐 次 线 性 方 程 （ 2） 的 解 。当 时 ， 称 （ 1） 是 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 0Q x 0dy P x ydx 分 离 变 量 dy P x dxy 1ln y P x dx C 1P x dx Cy e 1P x dx Cy Ce C e 接 下 来 采 用 常 数 变 易 法 P x dxy ue设 ， u u x P x dx

12、P x dxdy du e uP x edx dx 则 P x dx P x dxy e Q x e dx C （ 3）这 就 是 一 阶 非 齐 次 线 性 微 分 方 程 的 通 解 。代 入 (1)得 P x dxdu Q x edx P x dx P x dx P x dxy Ce e Q x e dx 结 论 ： 一 阶 非 齐 次 线 性 方 程 的 通 解 等 于 对 应 的 齐 次 方 程 的 通 解 与 非 齐 次 方 程 的 一 个 特 解 之 和 。 把 通 解 拆 开齐 次 方 程 通 解 非 齐 次 方 程 C=0时的 特 解 例 求 解 微 分 方 程 sindy

13、y xdx 例 2 求 方 程 满 足 条 件 x=2时 y=1 的 特 解 。 2( 6 ) 2 0y x y y 例 一 容 器 内 盛 盐 水 100L， 含 盐 50g。 现 以 浓 度 为 g L的 盐 水 注 入 容 器 内 ， 其 流 量 为 L min。 设 注 入 之 盐 水 与 原 有 盐 水 被 搅 拌而 迅 速 成 为 均 匀 的 混 合 液 ， 同 时 ， 此 混 合 液 又 以 流 量为 L min流 出 。 试 求 容 器 内 的 盐 量 与 时 间 t的 函 数 关 系 。 1 2c 1 3 2 2 1 2 定 义 二 阶 及 二 阶 以 上 的 微 分 方 程

14、 称 为 高 阶 微 分方 程 。下 面 介 绍 三 种 典 型 的 容 易 降 阶 的 微 分 方 程 ,相 应求 解 方 法 称 为 降 阶 法 。一 、 型 ny f x二 、 型 ,y f x y ,y f y y 三 、 型 例 1 求 的 通 解 。y x例 2 质 量 为 m的 质 点 受 力 F作 用 沿 OX轴 作 直 线 运动 ， 设 力 F仅 是 时 间 t的 函 数 ： 。 在 t=0时 ， ， 随 着 时 间 t的 增 大 ， 力 F均 匀 地 减 小 ，直 到 t=T 时 ， 。 若 开 始 时 质 点 位 于 原 点 ， 且初 速 度 为 0， 求 这 质 点 的

15、 运 动 规 律 。 00F F 0F T F F tF0 x tF(t) 0F T ,y f x y 设 ,则 y p dpy pdx 方 程 可 化 为 ,p f x p通 解 为 1,p x C得 到 微 分 方 程 1,dy x Cdx 分 离 变 量 或 者 直 接 积 分 得 到 通 解 1 2,y x C dx C 例 1 求 微 分 方 程 的 通 解 21 2x y xy 例 2 设 子 弹 以 200m/s的 速 度 射 入 厚 为 0.1m的 木 板 ， 受 到 的 阻 力 大 小 与 子 弹 的 速 度 平 方 成 正 比 ， 如 果 子 弹 穿 出 木 板 时 的 速

16、 度 为 80m/s， 求 子 弹 穿 过 木 板 所 需 的 时 间 。设 子 弹 质 量 为 m；子 弹 刚 射 入 木 板 时 为 原 点且 t=0， 取 运 动 方 向 为 正 方 向 0.1m 2f kv 0 x ,y f y y 设 ， 则y pdp dp dy dpy pdx dy dx dy 原 方 程 化 为 ,dpp f y pdy 通 解 为 1,p y C又 得 微 分 方 程 1,dy y Cdx 分 离 变 量 ， 得 通 解 21,dy x Cy C 例 求 方 程 满 足 的 特 解 。3y y 0 1xy 0 2xy 形 如 （ 1）称 为 二 阶 常 系 数

17、 齐 次 线 性 微 分 方 程 。 P、 q为 常 数 。 2 2 0d y dyp qydx dx 定 理 设 及 是 方 程 （ 1） 的 两 个 解 ， 则 对 于 任 意 常 数 、 ， 仍 然 是 （ ） 的 解 。 1y y x 2y y x 1C 2C 1 1 2 2y C y x C y x (i) 当 时 ， ， 是 两 个 不 相 等 的 实 根 。2 0r pr q 2 4 0p q (ii) 当 时 ， (iii) 当 时 ， 是 一 对 共 轭 复 根 。2 4 0p q 1 2 2pr r 2 4 0p q 1r i 2r i 1r 2r 称 为 对 应 于 (1

18、)的 特 征 方 程 2 0r pr q (i) 特 征 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 根 ： 1 2r r1 21 2r x r xy C e C e (ii) 特 征 方 程 有 两 个 相 等 的 实 根 ： 1 2r r 11 2 r xy C C x e (iii) 特 征 方 程 有 一 对 共 轭 复 根 ：1r i 2r i 1 2cos sinxy e C x C x 解 下 列 微 分 方 程 :1、 4 4 0y y y 2 3 0y y y 3 0y y 2 5 0y y y 2 0y y 2、3、4、 5、 4 8 0y y 4 2 0y y y 6、7、

19、例 8 设 有 一 弹 簧 ， 它 的 上 端 固 定 ， 下 端 挂 一 个 质量 为 m的 物 体 。 当 物 体 处 于 静 止 状 态 时 ， 作 用 在物 体 上 的 重 力 与 弹 簧 作 用 于 物 体 的 弹 性 力 大 小 相等 、 方 向 相 反 。 （ 这 个 位 置 就 是 物 体 的 平 衡 位置 ） 。 现 有 一 外 力 使 物 体 离 开 平 衡 位 置 ， 并 随 即撤 去 外 力 ， 那 么 物 体 便 在 平 衡 位 置 附 近 作 上 下 振动 ， 求 物 体 的 振 动 规 律 。 O x O x 取 X轴 铅 直 向 下 ， 平 衡 位 置为 原 点

20、 。 设 在 时 刻 t物 体 所 在 的位 置 为 x， 则 x=x(t)为 所 要 求 的振 动 规 律 。1、 当 振 幅 不 大 时 ， 弹 簧 使 物 体回 到 平 衡 位 置 时 的 弹 性 恢 复 力 f 和 物 体 离 开 平 衡 位 置 的 位 移 x成 正 比 ：( 0)f Cx C 2、 物 体 在 运 动 中 ， 受 到 阻 尼 介 质 的 阻 力 作 用 ，使 得 振 动 逐 渐 停 止 。 当 物 体 的 速 度 不 太 大 时 ，阻 力 与 运 动 速 度 成 正 比 。dxR dt 物 体 自 由 振 动 的 微 分 方 程 2 22 2 0d x dxn k xdt dt 现 在 给 定 初 值 条 件 为00tx x 0dx vdt 特 征 方 程 为 2 22 0r nr k 2 2r n n k (i) n=0 ,称 为 理 想 的 无 阻 尼 情 形 。这 种 振 动 称 为 简 谐 振 动 。 0 xAA T sinx A kt (ii) 0nk， 称 为 大 阻 尼 情 形 。