非简并定态微扰理论

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1、第 五 章 微 扰 理 论 5-1 非 简 并 定 态 微 扰 理 论 5-2 简 并 情 况 下 的 微 扰 理 论 前 面 ， 利 用 薛 定 谔 方 程 求 解 了 一 些 简 单 的 能 量 本 征 问 题 。 例 如 ：线 性 谐 振 子 、 方 势 阱 、 氢 原 子 问 题 等 。 实 际 上 ， 能 用 薛 定 谔 方 程 严格 求 解 的 问 题 极 为 有 限 ， 大 多 数 问 题 无 法 严 格 求 解 ， 只 能 求 近 似 解 。求 近 似 解 的 方 法 很 多 ， 例 如 微 扰 理 论 、 变 分 法 等 。 每 一 种 方 法 都 有它 的 适 用 范 围

2、， 其 中 应 用 最 为 广 泛 的 就 是 微 扰 理 论 。 微 扰 理 论 的 实 质 是 把 体 系 的 哈 密 顿 写 成 两 项 和 的 形 式 (0) H H H 其 中 （ 不 显 含 ） 的 解 已 知 或 可 精 确 求 解 ， 它 包 括 了 体 系 的 主 要性 质 ； 对 体 系 的 影 响 很 小 ， 可 作 扰 动 处 理 。 这 样 ， 在 的 解 的 基础 上 用 修 正 的 解 ， 就 得 到 了 复 杂 体 系 的 的 近 似 解 。 (0)H tH (0)HH (0)H H 分 为 两 种 情 况 ： （ 1） 不 显 含 ， 即 定 态 问 题 ，

3、它 又 分 为 非 简 并 和 简 并 两 种 情况 ； H tH t （ 2） 显 含 ， 可 用 它 的 近 似 解 讨 论 体 系 状 态 之 间 的 跃 迁 问 题及 光 的 发 射 和 吸 收 等 问 题 。 本 章 主 要 介 绍 定 态 微 扰 理 论 。 5-1 非 简 并 定 态 微 扰 理 论 一 、 一 级 近 似 解二 、 二 级 近 似 解三 、 结 果 讨 论 5-1 非 简 并 定 态 微 扰 理 论 已 知 不 显 含 时 间 ， 且 H (0) H H H (1) H H （ 是 很 小 的 实 参 量 ） (0) (0) (0) (0) n n nH E 的

4、 本 征 方 程 (0)H 、 已 经 解 出 ， 且 不 简 并 。 (0)nE )0(n (0)nE 设 体 系 的 定 态 薛 定 谔 方 程 为 n n nH E 由 于 和 都 与 微 扰 有 关 ， 可 以 把 它 们 看 作 是 表 征 微 扰 程 度 的参 数 的 函 数 ， 将 它 们 展 为 的 幂 级 数 ， 即 nE n (0) (1) 2 (2)( )n n n nE E E E (0) (1) 2 (2)( )n n n n 将 展 开 式 代 入 薛 定 谔 方 程 中 ， 得 (0) (1) (0) (1) 2 (2) (0) (1) 2 (2) (0) (1)

5、 2 (2) ( )( )( )( )n n nn n n n n nH HE E E 得 )()( )()( )0()2()1()1()2()0(2)0()1()1()0()0()0( )1()1()2()0(2)0()1()1()0()0()0( nnnnnnnnnnnn nnnnn EEEEEE HHHHH 逐 级 近 似 方 程 0 (0) (0) (0) (0) n n nH E 1 (0) (1) (1) (0) (0) (1) (1) (0) n n n n n nH H E E 2 (0) (2) (1) (1) (0) (2) (1) (1) (2) (0) n n n n

6、n n n nH H E E E 假 定 已 经 归 一 化 ， 则 ( )n *( ) ( ) 1n n d (0) (1) 2 (2) * (0) (1) 2 (2)( ) ( ) 1n n n n n n d 一 、 一 级 近 似 解 考 虑 的 第 个 能 量 本 征 值 和 相 应 本 征 函 数 的 修 正 。 (0)H n (0)nE (0)n 把 用 展 开 (1)n (0)n k kkn c )0()1()1( 代 入 到 一 级 等 式 中 ， 得 (0) (1) (1) (0) (0) (1) (1) (0) n n n n n nH H E E )0()1()0()1

7、()0()0()1()0()1()0( nnk kknnk kk EcEHcH )0()1()0()1()0()0()1()0()0()1( nnk kknnk kkk EcEHEc 做 运 算 ， 得 dxm )0*( (1) (0) *(0) (0) *(0) (1) (0)(0) (1) *(0) (0) (1) *(0) (0)k k m k m nkn k m k n m nkc E dx H dxE c dx E dx (1) (0) (1) (0) (1) (1)k k mk mn n k mk n mn k kc E H E c E (1) (0) (1) (0) (1) (1

8、)m m mn n m n mnc E H E c E (1) (0) (1) (0) (1) (1)m m mn n m n mnc E H E c E 当 时 ， 上 式 变 成 nm (1) (1)n nnE H所 以 ， 能 量 一 级 修 正 值 为 (1)n nnE H 当 时 ， 上 式 变 成 m n (1) (0) (1) (0) (1)m m mn n mc E H E c (1)(1) (0) (0)mnm n mHc E E 因 此 (1) / (1) (0)n m mm c 求 和 号 上 加 一 撇 ， 表 示 不 包 含 项 。 nm所 以 ， 波 函 数 一 级

9、 修 正 为 (1) / (0)(0) (0)mnn mm n mHE E 总 结 ： 一 级 近 似 解 为 (0)n n nnE E H (0) / (0)(0) (0)mnn n mm n mHE E (1)/ (0)(0) (0)mn mm n mHE E 二 、 二 级 近 似 解 令 k kkn c )0()2()2( 代 入 到 二 级 等 式 中 ， 得 (0) (2) (1) (1) (0) (2) (1) (1) (2) (0) n n n n n n n nH H E E E )0()2()0()1(/)1()0()2()0( )0()1(/)1()0()2()0( nn

10、k kknk kkn k kkk kk EcEcE cHcH 做 运 算 ， 得 dx m )0*( dxEdxcEdxcE dxHcdxEc nmnkmk knk kmkn kmk kk kmkk )0()0*()2()0()0*()1(/)1()0()0*()2()0( )0()1()0*()1(/)0()0*()0()2( mnnmkk knk mkknk mkkk mkkk EcEcEHcEc )2()1(/)1()2()0()1()1(/)0()2( mnnmnnmnk mkkmm EcHcEHcEc )2()1()1()2()0()1()1(/)0()2( mnnmnnmnk mk

11、kmm EcHcEHcEc )2()1()1()2()0()1()1(/)0()2( 当 时 ， ， 上 式 变 成 nm 0)1( mc )2()2()0()1()1(/)0()2( nnnk nkknn EcEHcEc (2) / (1) (1)n k nkkE c H所 以 ， 能 量 二 级 修 正 值 为 m mn mnn EE HE )0()0( 2/)2(2能 量 的 二 级 近 似 值 为 2(0) / (0) (0) mnn n nn m n mHE E H E E / (1) (1)m nmm c H (1)/ (1)(0) (0)mn nmm n mH HE E 2(1)

12、/ (0) (0)mnm n mHE E 三 、 结 果 讨 论 1 微 扰 论 的 适 用 条 件 (0) (0) 1mnn mHE E (0) (0)( )n mE E （ 1） 一 方 面 要 足 够 小 （ 即 ） ， 可 把 它 看 成扰 动 项 ； H (0) (0)mn n mH E E （ 2） 另 一 方 面 能 级 间 距 要 足 够 大 ， 所 有 要 足 够 远离 被 修 正 的 能 级 。 (0) (0)n mE E (0)mE(0)nE 例 如 ： 库 仑 场 (0) 21nE nn (0) (0) 0n mE E 故 微 扰 理 论 只 适 用 于 计 算 较 低

13、 能 级 的 修 正 。 注 意 ： 以 上 公 式 只 适 用 于 能 量 本 征 值 非 简 并 且 分 立 的 情况 。 2 在 表 象 中 的 矩 阵 形 式 (0)HH (0)H H H 可 见 ， 在 表 象 中 ， 的 对 角 元 素 就 是 各 能 级 的 一 级 修 正 ， 矩 阵的 对 角 元 素 为 一 级 近 似 值 ， 二 级 修 正 与 非 对 角 元 素 有 关 。 (0)H H H (0)1 11 12(0)2 21 220 . .0 . . . . . . .E H HE H H (0)1 11 12(0)21 2 22 . . .E H HH E H 例 1

14、 一 电 荷 为 的 线 性 谐 振 子 受 恒 定 弱 电 场 作 用 ， 电 场 沿 正方 向 。 用 微 扰 法 求 体 系 的 定 态 能 量 和 波 函 数 。 e x 解 ： (0)2 2 2 22 1 2 2 HHdH x e xdx 0E D ex x e x 其 中 的 本 征 解 (0)H 2 2 2 2(0) 1 1(0) 2 212 0,1,2,( ) ( )2 !n x xn n n nnE n nN e H x e H xn （ 1） 求 能 量 (1) n nnE H *(0) (0)( ) ( )n nx H x dx *(0) (0)( ) ( )n ne x

15、 x x dx 0*(0) (0) ( ) ( )mn m nH x H x dx *(0) (0)( ) ( )m ne x x x dx *(0) (0) (0)1 112 2m n ne n n dx , 1 , 112 2m n m ne n n 22 (2) / (0) (0)mnn m n mHE E E 2 21, 1,(0) (0) (0) (0)1 1n n n nn n n nH HE E E E 2 2 12e n n 2 2 12e 2 222e 所 以 ， 准 确 到 二 级 近 似 的 能 量 为 (0) (1) 2 (2) n n n nE E E E 2 221

16、2 2en （ 2） 求 波 函 数 (1) / (0)(0) (0)mnn mm n mHE E 1/2 (0) (0)1 112 n nn ne 1/2 (0) (0)1 131 1 2 n ne n n 1, 1,(0) (0)1 1(0) (0) (0) (0)1 1n n n nn nn n n nH HE E E E 所 以 ， 波 函 数 的 一 级 近 似 为 (0) (1)n n n (0) (0) (0)1 13 12n n ne n n 讨 论 ： 实 际 上 此 题 可 准 确 求 解 能 量 本 征 值 2 2 2 22 1 2 2dH x e xdx 2 2 2 2

17、2 22 212 2 2 n n nd ex Edx 2 2 2 22 22 212 2 2n n nd ex Edx 能 量 本 征 方 程 所 以 2 22 12 2n eE n 2 2212 2n eE n 212( ) ( )xn n nx N e H x 22 2 2 222 2 212 2 2d e exdx 2 2 2 22 22 212 2 2d exdx 例 2 设 在 表 象 中 ， 的 矩 阵 表 示 为 0H H 01 02* * 0300E c aH E d ba b E 其 中 ， 试 用 微 扰 论 求 能 级 二 级 修 正 。 030201 EEE 解 ： 0

18、 01 10 0 2 2* * 0 0 * *3 30 0 0 00 0 0 00 0 0E c a E c aH E d b E d ba b E E a b 2(0) / (0) (0)nmn n nn m n mHE E H E E 2 221 3101 1 0 0 0 01 2 1 3H HE E c E E E E 2 212 320 2 2 0 0 0 02 1 2 3H HE E d E E E E 2 213 2303 3 0 0 0 03 1 3 20 H HE E E E E E 201 0 01 3aE c E E 202 0 01 3bE d E E 2 203 0 0 0 03 1 3 2a bE E E E E