非线性回归分析法韩苗

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1、第 三 章 非 线 性 回 归 分 析 法3.1 可 化 为 线 性 的 回 归 模 型3.2 不 可 化 为 线 性 的 回 归 模 型3.3 非 线 性 回 归 应 用 的 几 个 问 题3.4 预 测 实 例 学 习 目 标 了 解 ： 非 线 性 回 归 模 型 的 一 般 形 式 理 解 ： 可 线 性 化 的 非 线 性 回 归 的 形 式 变 换 、 不 可 线 性 化 的 参数 估 计 方 法 。 掌 握 ： 应 用 Eviews软 件 进 行 非 线 性 趋 势 预 测 3.1 可 化 为 线 性 的 回 归 模 型一 、 非 线 性 回 归 模 型 的 直 接 代 换1.

2、多 项 式 函 数 模 型 20 1 1 2 2 k= + + +.+ kky x x x 21 1 2 2, , kk kz x z x z x 令 0 1 1 2 2 . k ky z z z 原 模 型 可 化 为 线 性 形 式即 可 利 用 线 性 回 归 分 析 的 方 法 处 理 了 。新 引 进 的 自 变 量 只 能 依 赖 于 原 始 变 量 ， 而 不 能 与 未 知 参 数 有 关 。 任 何 一 连 续 函 数 都 可 用 分 段 多 项 式 来 逼 近 ， 所 以在 实 际 问 题 中 ， 不 论 变 量 y与 其 他 变 量 的 关 系 如何 ， 在 相 当 宽

3、的 范 围 内 我 们 总 可 以 用 多 项 式 来 拟合 。 2. 双 曲 线 模 型 0 1 1y x 1Z x令 0 1y Z 原 模 型 可 化 为 线 性 形 式即 可 利 用 线 性 回 归 分 析 的 方 法 处 理 了 。 3. 半 对 数 函 数 模 型 和 双 对 数 函 数 模 型半 对 数 函 数 模 型0 1lny x lny x 双 对 数 函 数 模 型 0 1ln lny x * *ln lny y x x 令 原 模 型 可 化 为 线 性 形 式* *0 1y x 4. 三 角 函 数 回 归 模 型siny a b x cosy a b x 令 sin

4、cos ,x x x x y y 或则 y a bx 这 类 变 换 本 身 不 涉 及 模 型 参 数 ， 其 参 数 估 计就 是 原 模 型 的 参 数 估 计 。 二 、 非 线 性 模 型 的 间 接 代 换 （ 对 数 变 换 法 ）1. 指 数 曲 线 模 型 1 20 1 2 k ky x x x e 0 1 1 2 2ln ln ln ln lnk ky x x x 对 数 变 换再 采 用 前 述 代 换 的 形 式 建 立 线 性 模 型 。如 ： 著 名 的 柯 布 道 格 拉 斯 （ Cobb Douglas） 生产 函 数 就 是 其 中 一 个 典 型 。Q AL

5、 K e 2. 幂 函 数 曲 线 回 归 模 型 by aX ln ln ln lny a b x 对 数 变 换令 1 2 0 1ln , ln , ln , , lnz y z x a b 1 0 1 2z z 原 模 型 可 化 为 线 性 形 式 模 型 变 换 涉 及参 数 ， 估 计 参数 后 要 还 原 。 3.2 不 可 转 换 成 线 性 的 趋 势 模 型一 、 不 可 线 性 化 模 型1、 不 可 线 性 化 模 型 ： 无 论 采 取 什 么 方 式 变 换 都 不 可 能 实 现 线 性 化 的 模 型 。2、 常 用 的 处 理 方 法 ： 一 般 采 用 高

6、斯 一 牛 顿 迭 代 法 进 行 参 数 估 计 ， 即 借 助 于 泰 勒 级 数 展 开 式 进 行 逐 次 的 线 性 近 似 估 计 。 二 、 迭 代 估 计 法基 本 思 路 是 ：1、 通 过 泰 勒 级 数 展 开 使 非 线 性 方 程 在 某 一 组 初 始 参 数 估 计 值 附 近 线 性 化 ；2、 然 后 对 这 一 线 性 方 程 应 用 OLS法 ， 得 出 一 组 新 的 参 数 估 计 值 ；3、 使 非 线 性 方 程 在 新 参 数 估 计 值 附 近 线 性 化 ， 对 新 的 线 性 方 程 再 应 用 OLS法 ， 又 得 出 一 组 新 的 参

7、 数 估 计 值 ；4、 不 断 重 复 上 述 过 程 ， 直 至 参 数 估 计 值 收 敛 时 为 止 。 三 、 迭 代 估 计 法 的 Eviews软 件 实 现 设 定 代 估 参 数 的 初 始 值 ， 可 采 用 以 下 两 种 方 式 ：（ 1） 使 用 param命 令 。 命 令 格 式 为 param 初 始 值 1 初始 值 2 初 始 值 3 （ 2） 在 工 作 文 件 窗 口 双 击 序 列 C， 并 在 序 列 窗 口 中 直 接输 入 参 数 的 初 始 值 （ 注 意 序 列 C中 总 是 保 留 着 刚 建 立 模型 的 参 数 估 计 值 ， 若 不

8、重 新 设 定 ， 系 统 自 动 将 这 些 值 作为 参 数 的 默 认 初 始 值 ） 。 估 计 非 线 性 模 型（ 1） 命 令 方 式在 命 令 窗 口 直 接 键 入 :NLS 非 线 性 函 数 表 达 式例 如 ， 对 于 非 线 性 模 型 ， 其 估 计 命 令 格 式 为Y AK L NLS y=c(1)*kc(2)*Lc(3)其 中 ， c(1)、 c(2)、 c(3)表 示 待 估 计 的 三 个 参 数A、 、 。 回 车 后 ， 系 统 会 自 动 给 出 迭 代 估 计 的 参数 估 计 值 。 在 数 组 窗 口 ， 点 击 Procs Make Equa

9、tion， 在 弹 出的 方 程 描 述 对 话 框 中 ， 输 入 非 线 性 函 数 表 达 式 ：（ 2） 菜 单 方 式选 择 估 计 方 法 为 最 小 二 乘 法 后 ， 点 击 OK按 钮 。y=c(1)*kc(2)*Lc(3) 几 点 说 明 ：（ 1） 在 方 程 描 述 对 话 框 中 ， 点 击 Option按 钮 ， 可 以 设 置 迭 代 估 计 的 最 大 迭 代 次 数 (Max Iteration)和 误 差 精 度 (Convergence)，以 便 控 制 迭 代 估 计 的 收 敛 过 程 。（ 2） 利 用 NLS命 令 也 可 估 计 可 划 为 线

10、性 的 非 线 性 回 归 模 型 。 例如 NLS y=c(1)+c(2)/x NLS y=c(1)+c(2)*ln(x)（ 3） 迭 代 估 计 是 一 种 近 似 估 计 ， 并 且 参 数 初 始 值 和 误 差 精 度 的设 定 不 当 还 会 直 接 影 响 模 型 的 估 计 结 果 ， 甚 至 出 现 错 误 。 非 线 性 回 归 模 型 参 数 估 计 的 基 本 思 想 可 以 类 似于 线 性 估 计 ， 也 是 设 法 找 到 使2( ) mini iQ y y 的 一 组 参 数 值 。1、 求 偏 导 为 零 ， 得 未 知 参 数 的 非 线 性 方 程 组 ，

11、 一 般 用 Newton 迭 代 法 求 解 。2、 直 接 极 小 化 残 差 平 方 和 ， 求 出 未 知 参 数 的 非 线 性 最 小 二 乘 估 计 。3.3 非 线 性 回 归 应 用 的 几 个 问 题一 、 参 数 估 计 注 ： 在 非 线 性 最 小 二 乘 法 中 ， 一 些 精 确 的 分 布 式 很难 得 到 的 ， 在 大 样 本 时 ， 可 以 得 到 近 似 分 布 ， 因 此可 以 得 到 近 似 的 参 数 的 区 间 估 计 ， 显 著 性 检 验 等 回归 诊 断 。3、 将 非 线 性 模 型 转 化 为 线 性 模 型 再 采 用 最 小 二乘

12、估 计 。直 接 变 换 法 、 对 数 变 换 法 、 泰 勒 级 数 展 开 法 等常 用 的 转 化 方 法 ： 二 、 确 定 非 线 性 模 型 形 式 的 方 法 非 线 性 模 型 的 形 式 复 杂 多 样 ， 如 何 根 据 实 际 的数 据 选 择 合 适 的 模 型 时 建 模 的 关 键1、 根 据 散 点 图 来 确 定 类 型2、 根 据 一 定 得 经 济 知 识 背 景如 ： 商 品 的 销 售 量 与 广 告 费 用 之 间 的 关 系 。 S型 曲 线 三 、 模 型 的 比 较1、 首 先 应 从 经 济 学 角 度 考 虑 ， 因 为 数 据 分 析 的

13、 目 的是 解 释 经 济 现 象 。 所 以 要 重 视 经 济 学 理 论 和 行 为 规律 提 供 的 理 由 。2、 从 统 计 分 析 角 度 来 比 较 ， 最 重 要 是 残 差 分 析 。 如果 残 差 平 方 和 最 小 ， 并 且 看 起 来 残 差 最 随 机 ， 这 样 的模 型 应 当 选 择 。 3.4 预 测 实 例例 ： 柯 布 道 格 拉 斯 （ Cobb Douglas） 生 产 函 数Y AK L 其 中 ， Y为 产 出 ， K(资 本 )， L(劳 动 力 )为 两 个 投 入 要 素 。: 是 产 出 对 资 本 投 入 的 弹 性 系 数 。为 效

14、 率 系 数 ；0A , 为 K和 L的 产 出 弹 性 。, ,A 均 为 待 估 参 数 。度 量 在 劳 动 投 入 保 持 不 变 时 ， 资 本 投 入 增 加 1%时 ，产 出 增 加 的 百 分 比 。 : 是 产 出 对 劳 动 投 入 的 弹 性 系 数 。度 量 在 资 本 投 入 保 持 不 变 时 ， 劳 动 投 入 增 加 1%时 ， 产出 增 加 的 百 分 比 。 表 示 规 模 报 酬 。1 ， 表 示 规 模 报 酬 递 减 ， 即 1倍 的 投 入 带 来 少 于 1倍 的 产 出 。1 ， 表 示 规 模 报 酬 不 变 ， 即 1倍 的 投 入 带 来

15、倍 的 产 出 。 1 ， 表 示 规 模 报 酬 递 增 ， 即 1倍 的 投 入 带 来 大 于 1倍 的 产 出 。 对 C-D生 产 函 数 ， 我 们 可 以 按 两 种 形 式 设 定 随 机 误 差 项（ 1） 乘 性 误 差 项（ 2） 加 性 误 差 项 Y AK L Y AK L e 乘 性 误 差 项 ， 可 以 线 性 化两 边 取 对 数 线 性 形 式 线 性 回 归加 性 误 差 项 ， 不 可 以 线 性 化用 非 线 性 最 小 二 乘 法 求 解 参 数 估 计线 性 化 方 法 ：log( ) log( )log( )ls Y c K L非 线 性 化 方

16、 法 (1)* (2)* (3)ls Y c K c L c注 ： 用 非 线 性 最 小 二 乘 法 估 计 参 数 操 作 与 普 通 最 小 二乘 法 基 本 相 同 ， 只 是 方 程 估 计 窗 口 或 命 令 行 中 ， 模 型必 须 以 方 程 的 形 式 出 现 ， 没 有 简 化 相 形 式 。 Y 国 内 生 产 总 值 （ G DP） (亿 元 )， K资 金 投 入（ 亿 元 ） 包 括 固 定 资 产 投 资 和 库 存 占 用 资 金 。 L就业 总 人 数 （ 万 人 ） 。 参 数 估 计 出 现 了 差 异 ， 因 为 这 两 种 方 法 分 别 采用 乘 性 和 加 性 误 差 形 式 ， 本 质 上 是 两 个 模 型 。建 模 的 过 程 见 第 三 章 试 验 具 体 软 件 操 作