2021第09讲变化率与导数、导数的运算【教师版】

《2021第09讲变化率与导数、导数的运算【教师版】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021第09讲变化率与导数、导数的运算【教师版】（19页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第09讲 变化率与导数、导数的运算【教师版】第9讲 变化率与导数、导数的运算【基础知识梳理】1函数y f (x )在x x 0处的导数 (1)定义称函数y f (x )在x x 0处的瞬时变化率lim x 0yx lim x 0f (x 0x )f (x 0)x 为函数y f (x )在x x 0处的导数，记作f (x 0)或y |x x 0，即f (x 0)lim x 0yx lim x 0f (x 0x )f (x 0)x (2)几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f (x 0)的几何意义是在曲线y f (x )上点(x 0，f (x 0)处切线的斜率 相应地，切线方程为y f (x

2、 0)f (x 0)(x x 0) 2函数f (x )的导函数称函数f (x )lim x 0f (x x )f (x )x 为f (x )的导函数，导函数有时也记作y 3基本初等函数的导数公式f (x ) c x n sin x cos x a x e x log a x ln xf (x ) 0 nx n 1 cos x sin x a xln a e x 1x ln a 1x 4导数四则运算法则(1)f (x )g (x )f (x )g (x )； (2)f (x )g (x )f (x )g (x )f (x )g (x )；(3)f (x )g (x )()()()()()2x g

3、 x g x f x g x f -(g (x )0) 5复合函数的求导法则复合函数y f (g (x )的导数和函数y f (u )，u g (x )的导数间的关系为y x y u u x 6温馨提示(1)曲线y f (x )“在”点P (x 0，y 0)处的切线与“过”点P (x 0，y 0)的切线的区别：曲线y f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k f (x 0)，是唯一的一条切线；曲线y f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条 (2)要正确理解直

4、线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别 (3)正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏【基础知识自测】1若f (x )x e x ，则f (1)( )A 0B eC 2eD e 2 解析 f (x )e x x e x ，f (1)2e 答案 C2函数f (x )(x 2a )(x a )2的导数为( )A 2(x 2a 2)B 2(x 2a 2)C 3(x 2a 2)D 3(x 2a 2) 解析 f (x )(x a )2(x 2a )2(x a )3(x 2a 2) 答案 C3曲线y sin x sin x cos x 12在点M (4，0)处的切线的斜率为( )A 12

5、B 12C 22D 22解析 y cos x (sin x cos x )sin x (cos x sin x )(sin x cos x )211sin 2x，把x 4代入得导数值为12 答案 B4若f (x )x 22x 4ln x ，则f (x )0的解集为( ) A (0，) B (1，0)(2，) C (2，) D (1，0)解析 令f (x )2x 24x 2(x 2)(x 1)x0，利用数轴标根法可得1x 0或x 2，又x 0，所以x 2故选C 答案 C5曲线y x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ay 1垂直，则实数a 的值为_解析 依题意得y 1ln x ，y |

6、x e 1ln e 2，所以1a21，a 2答案 2【考向探究导析】考向一 导数的定义【例1】?利用导数的定义求函数f (x )x 3在x x 0处的导数，并求曲线f (x )x 3在x x 0处切线与曲线f (x )x 3的交点解 f (x 0)lim x 0f (x )f (x 0)x x 0lim x 0x 3x 30x x 0lim x 0(x 2xx 0x 20)3x 20曲线f (x )x 3在x x 0处的切线方程为y x 303x 20(x x 0)，即y 3x 20x 2x 3 ，由?y x 3，y 3x 20x 2x 30，得(x x 0)2(x 2x 0)0，解得x x

7、0，x 2x 0若x 00，则交点坐标为(x 0，x 30)、(2x 0，8x 30)；若x 00，则交点坐标为(0，0)【训练1】 利用导数的定义证明：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数 证明 (法1)设y f (x )是奇函数，即对定义域内的任意x 都有f (x )f (x )，f (x )lim x f (x x )f (x )x ，则f (x )lim x 0 f (x x )f (x )x lim x 0 f (x x )f (x )xf (x )，因此f (x )为偶函数，同理可证偶函数的导数是奇函数(法2)设y f (x )是奇函数，即对定义域内的任意x 都有f (x )

8、f (x )，即f (x )f (x )，因此f (x )f (x ) f (x )f (x )，则f (x )为偶函数，同理可证偶函数的导数是奇函数考向二 导数的运算【例2】?求下列各函数的导数(1)y x x 5sin x x 2；(2)y (x 1)(x 2)(x 3)；(3)y sin x (12cos 2x 2)；(4)y 11x 11x 解 (1)y x 12x 5sin x x 2x 23-x 3sin x x 2，y (x 23-)(x 3)(x 2sin x )32x 25-3x 22x 3sin x x 2cos x (2)(法1)y (x 23x 2)(x 3)x 36x

9、 211x 6，y 3x 212x 11(法2)y (x 1)(x 2)(x 3)(x 1)(x 2)(x 3)(x 1)(x 2)(x 1)(x 2)(x 3)(x 1)(x 2)(x 2x 1)(x 3)(x 1)(x 2)(2x 3)(x 3)(x 1)(x 2)3x 212x 11(3)y sin x (cos x )12sin 2x ，y (12sin 2x )12(sin2 x )cos2x (4)y 11x 11x 1x 1x (1x )(1x )21x，y (21x )2(1x )(1x )22(1x )2 【训练2】 求下列函数的导数(1)y x n e x ； (2)y c

10、os xsin x； (3)y e x ln x ； (4)y (x 1)2(x 1)解 (1)y nx n 1e x x n e x x n 1e x (n x )(2)y sin 2x cos 2x sin 2x 1sin 2x (3)y e x ln x e x 1x e x (1x ln x )(4)y (x 1)2(x 1)(x 1)(x 21)x 3x 2x 1，y 3x 22x 1考向三 求复合函数的导数【例3】?求下列复合函数的导数(1)y (2x 3)5； (2)y 3x ； (3)y sin 2(2x 3)； (4)y ln(2x 5)解 (1)设u 2x 3，则y (2x

11、 3)5，y f (u )u (x )(u 5)(2x 3)10u 410(2x 3)4(2)设u 3x ，则y 3x y f (u )u (x )(u 21)(3x )12u 21-(1)12u 21-123x 3x 2x 6(3)设y u 2，u sin v ，v 2x 3，则y x y u u v v x 2u cos v 24sin(2x 3)cos(2x 3)2sin(4x 23)(4)设y ln u ，u 2x 5，则y x y u u x y 12x 5(2x 5)22x 5 【训练3】 求下列函数的导数(1)y x 21； (2)y sin 22x ； (3)y e x sin

12、 2x ； (4)y ln 1x 2解 (1)y 12 x 212x xx 21(2)y (2sin 2x )(cos 2x )22sin 4x (3)y (e x )sin 2x e x (cos 2x )2e x (2cos 2x sin 2x )(4)y 11x 2121x 22x x1x 2【专题专项突破】求曲线上某一点的切线方程【示例】?已知函数f (x )ln x ax 1ax1(a R )(1)当a 1时，求曲线y f (x )在点(2，f (2)处的切线方程；(2)当a 12时，讨论f (x )的单调性解 (1)当a 1时，f (x )ln x x 2x 1，x (0，)所以f

13、 (x )x 2x 2x 2，x (0，)，因此f (2)1，即曲线y f (x )在点(2，f (2)处的切线斜率为1又f (2)ln 22，所以曲线y f (x )在点(2，f (2)处的切线方程为y (ln 22) x 2，即x y ln 20(2)因为f (x )ln x ax 1a x 1，所以f (x )1x a a 1x 2ax 2x 1a x 2，x (0，)令g (x )ax 2x 1a ，x (0，)当a 0时，g (x )x 1，x (0，)，所以当x (0，1)时，g (x )0，此时f (x )0，函数f (x )单调递减；当x (1，)时，g (x )0，此时f (

14、x )0，函数f (x )单调递增；当a 0时，由f (x )0，即ax 2x 1a 0，解得x 11，x 21a1a 当a 12时，x 1x 2，g (x )0恒成立，此时f (x )0，函数f (x )在(0，)上单调递减；b 当0a 12时，1a 110 x (0，1)时，g (x )0，此时f (x )0，函数f (x )单调递减；x (1，1a1)时，g (x )0，此时f (x )0，函数f (x )单调递增；x (1a1，)时，g (x )0，此时f (x )0，函数f (x )单调递减；c 当a 0时，由于1a 10，x (0，1)时，g (x )0，此时f (x )0，函数f

15、 (x )单调递减；x (1，)时，g (x )0，此时f (x )0，函数f (x )单调递增 综上所述：当a 0时，函数f (x )在(0，1)上单调递减，函数f (x )在(1，)上单调递增；当a 12时，函数f (x )在(0，)上单调递减；当0a 12时，函数f (x )在(0，1)上单调递减，函数f (x )在(1，1a 1)上单调递增，函数f (x )在(1a1，)上单调递减 【课后巩固作业】 一、选择题1已知函数f (x )的图象如图所示，f (x )是f (x )的导函数，则下列数值排序正确的是( ) A 0f (2)f (3)f (3)f (2) B 0f (3)f (3)

16、f (2)f (2) C 0f (3)f (2)f (3)f (2) D 0f (3)f (2)f (2)f (3) 解析 由导数的几何意义可知，f (2)、f (3)分别表示曲线在x 2，x 3处的切线的斜率，而f (3)f (2)表示直线AB 的斜率，即k AB f (3)f (2)由图形可知0f (3)f (3)f (2)f (2)答案 B 2曲线y x 311在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A 9B 3C 9D 15 解析 y 3x 2，故曲线在点P (1，12)处的切线斜率是3，故切线方程是y 123(x 1)，令x 0得y 9 答案 C3设曲线y 1cos

17、x sin x 在点(2，1)处的切线与直线x ay 10平行，则实数a 等于( )A 1B 12C 2D 2解析 y sin 2x (1cos x )cos x sin 2x 1cos x sin 2x ，y |x 21由条件知1a1，a 1 答案 A4设曲线y ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x y 60平行，则a ( )A 1B 12C 12D 1解析 y 2ax ，y |x 12a 即y ax 2在点(1，a )处的切线斜率为2a 直线2x y 60的斜率为2这两直线平行，它们的斜率相等，即2a 2，解得a 1 答案 A5若点P 是曲线y x 2ln x 上任意一点，则点P 到

18、直线y x 2的最小距离为( )A 1B 2C 22D 3解析 设P (x 0，y 0)，则y |x x 02x 01x 0由2x 01x 01，得x 01或x 012(舍)，P 点坐标(1，1)，P 到直线y x 2距离为d |112|112答案 B6放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )M 0230t -，其中M 0为t 0时铯137的含量已知t 30时，铯137含量的变化率是10ln2(太贝克/年)，则M (60)( ) A 5太

19、贝克 B 75ln2太贝克 C 150ln2 太贝克 D 150太贝克解析 因为M (t )130M 0230t-ln2，所以M (30)160M 0ln210ln2所以M 0600所以M (t )600230t-所以M (60)60022150(太贝克) 答案 D 二、填空题7已知f (x )x 22xf (1)，则f (0)_ 解析 f (x )2x 2f (1)，f (1)22f (1)，即f (1)2f (x )2x 4，f (0)4 答案 48已知函数f (x )x 3ax 4(a R )，若函数y f (x )的图象在点P (1，f (1)处的切线的倾斜角为4，则a _解析 f (

20、x )3x 2a ，y f (x )的图象在点P 处的切线的倾斜角为4，即f (1)tan 4，3a 1，得a 4答案 49若曲线f (x )ax 5ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是_解析 曲线f (x )ax 5ln x 存在垂直于y 轴的切线，即f (x )0有解又f (x )5ax 41x ，方程5ax 41x0有解5ax 51有解又x 0，a 0故实数a 的取值范围是(，0) 答案 (，0) 三、解答题10求下列函数的导数(1)y x 2sin x ； (2)y e x 1e x 1解 (1)y (x 2)sin x x 2(sin x )2x sin x x

21、2cos x (2)(法1)y (e x 1)(e x 1)(e x 1)(e x 1)(e x 1)2e x (e x 1)(e x 1)e x (e x 1)22e x(e x 1)2(法2)y e x 12e x 112e x 1，y 1(2e x 1)，即y 2e x (e x 1)211已知曲线f (x )12e 2x 1在点A 处的切线和曲线g (x )12e 2x 1在点B 处切线互相垂直，O 为坐标原点且0=?OB OA ，求AOB 的面积解 f (x )12e 2x 1(2x 1)e 2x 1，g (x )12e 2x 1(2x 1)e 2x 1，设A (x 1，y 1)、B

22、 (x 2，y 2)，y 1121e 21-x ，y 2122e 21-x ，f (x 1)121e -x ，g (x 2)122e -x ，由题意() e 21e 211e e 12122112122121=?+-=-?-x x x x x x x 1x 21，x 1x 214，x 112，x 212， y 112，y 212，OA 22，OB 22，即A (12，12)、B (12，12)0=?OB OA ，OB OA ，S AOB 12222214 12已知曲线S ：y 3x x 3及点P (2，2) (1)求过点P 的切线方程；(2)求证：与曲线S 切于点(x 0，y 0)(x 00)

23、的切线与S 至少有两个交点解 (1)设切点为(x 0，y 0)，则y 03x 0x 30又f (x )33x 2，切线斜率k y 02x 0233x 20即3x 0x 302(x 02)(33x 20)，(x 01)(x 01)230解得x 01或x 013相应的斜率k 0或k 963，切线方程为y 2或y (963)(x 2)2(2)证明：与曲线S 切于点(x 0，y 0)的切线方程可设为y y 0(33x 20)(x x 0)，与曲线S 的方程联立，消去y ，得3x x 3y 03(1x 20)(x x 0)，即3x x 3(3x 0x 30)3(1x 20)(x x 0)，即(x x 0)2(x 2x 0)0，则x x 0或x 2x 0，因此，与曲线S 切于点(x 0，y 0)(x 00)的切线，与S 至少有两个交点