高数考研习题及答案

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1、第一章 函数·极限·连续 一. 填空题 1. 已知 定义域为___________. 解. , , 2．设, 则a = ________. 解. 可得=, 所以 a = 2. 3. =________. 解. << 所以 << , (n®¥) , (n®¥) 所以 = 4. 已知函数 , 则f[f(x)] _______. 解. f[f(x)] = 1. 5. =_______. 解. = 6. 设当的3阶无穷小, 则 解. ( 1 )

2、 ( 2 ) 由( 1 ): 由( 2 ): 7. =______. 解. 8. 已知(¹ 0 ¹ ¥), 则A = ______, k = _______. 解. 所以 k－1=1990, k = 1991; 二. 选择题 1. 设f(x)和j(x)在(－¥, +¥)内有定义, f(x)为连续函数, 且f(x) ¹ 0, j(x)有间断点, 则 (a) j[f(x)]必有间断点 (b) [ j(x)]2必有间断点 (c) f [j(x)]必有间断点 (d) 必有间断点 解. (a) 反例

3、 , f(x) = 1, 则j[f(x)]=1 (b) 反例 , [ j(x)]2 = 1 (c) 反例 , f(x) = 1, 则f [j(x)]=1 (d) 反设 g(x) = 在(－¥, +¥)内连续, 则j(x) = g(x)f(x) 在(－¥, +¥)内连续, 冲突. 所以(d)是答案. 2. 设函数, 则f(x)是 (a) 偶函数 (b) 无界函数 (c) 周期函数 (d) 单调函数 解. (b)是答案. 3. 函数在下列哪个区间内有界 (a) (－1, 0) (b) (0, 1) (c) (1, 2)

4、 (d) (2, 3) 解. 所以在(－1, 0)中有界, (a) 为答案. 4. 当的极限 (a) 等于2 (b) 等于0 (c) 为 (d) 不存在, 但不为 解. . (d)为答案. 5. 极限的值是 (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 不存在 解. =, 所以(b)为答案. 6. 设, 则a的值为 (a) 1 (b) 2 (c) (d) 均不对 解. 8 = = =, , 所以(c)为答案. 7. 设, 则a, b的数值为 (a) a = 1, b =

5、 (b) a = 5, b = (c) a = 5, b = (d) 均不对 解. (c)为答案. 8. 设, 则当x®0时 (a) f(x)是x的等价无穷小 (b) f(x)是x的同阶但非等价无穷小 (c) f(x)比x较低价无穷小 (d) f(x)比x较高价无穷小 解. =, 所以(b)为答案. 9. 设, 则a的值为 (a) －1 (b) 1 (c) 2 (d) 3 解. , 1 + a = 0, a = －1, 所以(a)为答案. 10. 设, 则必有 (a) b = 4d (b) b =－4d

6、 (c) a = 4c (d) a =－4c 解. 2 ==, 所以a =－4c, 所以(d)为答案. 三. 计算题 1. 求下列极限 (1) 解. (2) 解. 令 = (3) 解. = ==. 2. 求下列极限 (1) 解. 当x®1时, , . 依据等价无穷小代换 (2) 解. 方法1： == == = = = = 方法2： == == = = = 3. 求下列极限 (1) 解

7、. (2) 解. (3) , 其中a > 0, b > 0 解. = 4. 设 试探讨在处的连续性与可导性. 解. 所以 , 在处连续可导. 5. 求下列函数的间断点并判别类型 (1) 解. , 所以x = 0为第一类间断点. (2) 解. f(+0) =－sin1, f(－0) = 0. 所以x = 0为第一类跳动间断点; 不存在. 所以x = 1为其次类间断点; 不存在, 而,所以x = 0为第一类可去间断点; ,

8、 (k = 1, 2, …) 所以x =为其次类无穷间断点. 6. 探讨函数 在x = 0处的连续性. 解. 当时不存在, 所以x = 0为其次类间断点; 当, , 所以 时,在 x = 0连续, 时, x = 0为第一类跳动间断点. 7. 设f(x)在[a, b]上连续, 且a < x1 < x2 < … < xn < b, ci (I = 1, 2, 3, …, n)为随意正数, 则在(a, b)内至少存在一个x, 使 . 证明: 令M =, m = 所以 m £ £ M 所以存在x( a < x1 £ x £ xn < b), 使得 8.

9、 设f(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = x. 证明: 假设F(x) = f(x)－x, 则F(a) = f(a)－a < 0, F(b) = f(b)－b > 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = x. 9. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且0 £ f(x) £ 1, 试证在[0, 1]内至少存在一个x, 使f(x) = x. 证明: (反证法) 反设. 所以恒大于0或恒小于0. 不妨设. 令, 则. 因此. 于是, 冲突. 所以在[0, 1]内至少存在一个

10、x, 使f(x) = x. 10. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < g(a), f(b) > g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个x, 使 f(x) = g(x). 证明: 假设F(x) = f(x)－g(x), 则F(a) = f(a)－g(a) < 0, F(b) = f(b)－g(b) > 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个x, 使f(x) = x. 11. 证明方程x5－3x－2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根. 证明: 令F(x) = x5－3x－2, 则F(1) =－4 < 0, F(2) = 24 > 0 所以

11、 在(1, 2)内至少有一个x, 满意F(x) = 0. 12. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且, 求及. 解. . 所以 . f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 所以在x = 0连续. 所以f(0) = －3. 因为 , 所以, 所以 = 由, 将f(x)台劳绽开, 得 , 所以, 于是 . (本题为2005年教材中的习题, 2008年教材中没有选入. 笔者认为该题很好, 故在题解中加入此题) 其次章 导数与微分 一. 填空题 1 . 设, 则k = ________. 解.

12、, 所以 所以 2. 设函数y = y(x)由方程确定, 则______. 解. , 所以 3. 已知f(－x) =－f(x), 且, 则______. 解. 由f(－x) =－f(x)得, 所以 所以 4. 设f(x)可导, 则_______. 解. =+= 5. , 则= _______. 解. , 假设, 则 , 所以 6. 已知, 则_______. 解. , 所以. 令x2 = 2, 所以 7. 设f为可导函数, , 则_______. 解. 8. 设y = f(x)由方程所确定, 则曲线y = f(x)在点(

13、0, 1)处的法线方程为_______. 解. 上式二边求导. 所以切线斜率 . 法线斜率为, 法线方程为 , 即 x－2y + 2 = 0. 二. 选择题 1. 已知函数f(x)具有随意阶导数, 且, 则当n为大于2的正整数时, f(x)的n阶导数是 (a) (b) (c) (d) 解. , 假设=, 所以 =, 按数学归纳法 =对一切正整数成立. (a)是答案. 2. 设函数对随意x均满意f(1 + x) = af(x), 且b, 其中a, b为非零常数, 则 (a) f(x)在x = 1

14、处不行导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且a (c) f(x)在x = 1处可导, 且b (d) f(x)在x = 1处可导, 且ab 解. b ==, 所以ab. (d)是答案 注: 因为没有假设可导, 不能对于二边求导. 3. 设, 则使存在的最高阶导数n为 (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 解. . 所以n = 2, (c)是答案. 4. 设函数y = f(x)在点x0处可导, 当自变量x由x0增加到x0 + Dx时, 记Dy为f(x)的增量, dy为f(x)的微分, 等于 (a)

15、－1 (b) 0 (c) 1 (d) ¥ 解. 由微分定义Dy = dy + o(Dx), 所以. (b)是答案. 5. 设 在x = 0处可导, 则 (a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b为随意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b为随意常数 解. 在x = 0处可导肯定在x = 0处连续, 所以 , 所以b = 0. , , 所以 0 = a. (c)是答案. 三. 计算题 1. 解. 2. 已知f(u)可导, 解. = 3. 已知, 求. 解

16、. 4. 设y为x的函数是由方程确定的, 求. 解. , 所以 四. 已知当x £ 0时, f(x)有定义且二阶可导, 问a, b, c为何值时 二阶可导. 解. F(x)连续, 所以, 所以c = f(－0) = f(0); 因为F(x)二阶可导, 所以连续, 所以b = , 且 存在, 所以, 所以 , 所以 五. 已知. 解. , k = 0, 1, 2, … , k = 0, 1, 2, … 六. 设, 求. 解. 运用莱布尼兹高阶导数公式

17、 = 所以 第三章 一元函数积分学(不定积分) 一. 求下列不定积分: 1. 解. 2. 3. 解. 4. 解. 方法一: 令, = 方法二: == 5． 二. 求下列不定积分: 1. 解. = 2. 解. 令x = tan t, = 3. 解. 令

18、 = 4. (a > 0) 解. 令 = 5. 解. 令 = = = = 6. 解. 令 = 7. 解. 令 三. 求下列不定积分: 1. 解. 2. 解. 令, = 四. 求下列不定积分: 1. 解. = =

19、 2. 解. 五. 求下列不定积分: 1. 解. 2. 解. = 3. 解. 4. 解. \ 5. 六. 求下列不定积分: 1. 解. = = = = = 2. 解. = 3. 解. 七. 设 , 求. 解. 考虑连续性,

20、所以 c =－1+ c1, c1 = 1 + c 八. 设, (a, b为不同时为零的常数), 求f(x). 解. 令, , 所以 = 九. 求下列不定积分: 1. 解. 2. 解. 3. 解. 4. 解. 十. 求下列不定积分: 1. 解. 2. 解. 令 3. 解.

21、 4. 解. 十一. 求下列不定积分: 1. 解. 2. 解. 3. 解. 4. (a > 0) 解. = = = = = = 十二. 求下列不定积分: 1. 解. 2. 解. = 3. 解. = = = 十三. 求下列不

22、定积分: 1. 解. 2. 解. 3. 解. 令 第三章 一元函数积分学(定积分) 一．若f(x)在[a，b]上连续, 证明: 对于随意选定的连续函数F(x), 均有, 则f(x) º 0. 证明: 假设f(x)¹ 0, a < x < b, 不妨假设f(x) > 0. 因为f(x)在[a，b]上连续, 所以存在d > 0, 使得在[x－d, x + d]上f(x) > 0. 令m = . 按以下方法定义[a，b]上F(x): 在[x－

23、d, x + d]上F(x) =, 其它地方F(x) = 0. 所以 . 和冲突. 所以f(x) º 0. 二. 设l为随意实数, 证明: =. 证明: 先证: = 令 t =, 所以 = 于是 = 所以 =. 所以 同理 . 三．已知f(x)在[0，1]上连续, 对随意x, y都有|f(x)－f(y)| < M|x－y|, 证明 证明: , 四. 设, n为大于1的正整数, 证明: . 证明: 令t =, 则 因为 > 0, (0

24、 < t < 1). 所以 于是 马上得到 . 五. 设f(x)在[0, 1]连续, 且单调削减, f(x) > 0, 证明: 对于满意0 < a < b < 1的任何 a, b, 有 证明: 令 (x ³ a), . , (这是因为t £ a, x ³ a, 且f(x)单减). 所以 , 马上得到 六. 设f(x)在[a, b]上二阶可导, 且< 0, 证明: 证明: "x, tÎ[a, b], £ 令 , 所以 二边积分 =.

25、 七. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且单调不增, 证明: 任给a Î (0, 1), 有 证明: 方法一: 令 (或令) , 所以F(x)单增; 又因为F(0) = 0, 所以F(1) ³ F(0) = 0. 即 , 即 方法二: 由积分中值定理, 存在xÎ[0, a], 使; 由积分中值定理, 存在hÎ[a, 1], 使 因为 . 所以 八. 设f(x)在[a, b]上连续, 在[a, b]内存在而且可积, f(a) = f(b) =

26、 0, 试证: , (a < x < b) 证明: , 所以 , 即 ; 即 所以 即 , (a < x < b) 九. 设f(x)在[0, 1]上具有二阶连续导数, 且, 试证: 证明: 因为（0，1）上f(x) ¹ 0, 可设 f(x) > 0 因为f(0) = f(1) = 0 $x0 Î (0,1)使 f(x0) = (f(x)) 所以> （1） 在（0，x0）上用拉格朗日定理 在（x0, 1）上用拉格朗日定理 所以

27、 （因为） 所以 由（1）得 十. 设f(x)在[0, 1]上有一阶连续导数, 且f(1)－f(0) = 1, 试证: 证明: 十一. 设函数f(x)在[0, 2]上连续, 且= 0, = a > 0. 证明: $ x Î [0, 2], 使|f(x)| ³ a. 解. 因为f(x)在[0, 2]上连续, 所以|f(x)|在[0, 2]上连续, 所以$ x Î [0, 2], 取x使|f(x)| = max |f(x)| (0 £ x £ 2)使|f(x)| ³ |f(x)|. 所以 第三章 一元

28、函数积分学(广义积分) 一. 计算下列广义积分: (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解. (1) (2) (3) 因为, 所以积分收敛.所以 =2 (4) (5) (6) 第四章 微分中值定理 一. 设函数f(x)在闭区间[0, 1]上可微, 对于[0, 1]上每一个x, 函数f(x)的值都在开区间(0, 1)内, 且, 证明: 在(0, 1)内 有且仅有一个x, 使f(x) = x. 证明: 由条件知0 < f(x) < 1. 令F(x) = f (x)－x, 于是F(0) >

29、0, F(1) < 0, 所以存在x Î (0, 1), 使F(x) = 0. 假设存在x1, x2 Î (0, 1), 不妨假设x2 < x1, 满意f(x1) = x1, f(x2) = x2. 于是 x1－x2 = f(x1)－f(x2) = . (x2 < h < x1). 所以, 冲突. 二. 设函数f(x)在[0, 1]上连续, (0, 1)内可导, 且. 证明: 在(0, 1)内存在一个x, 使. 证明: , 其中x1满意. 由罗尔定理, 存在x, 满意0 < x < x1, 且 . 三．设函数f(x)在[1, 2]上有二阶导数, 且f(1) = f(

30、2) = 0, 又F(x) =(x－1)2f(x), 证明: 在(1, 2)内至少存在一个x, 使 . 证明: 由于F(1) = F(2) = 0, 所以存在x1, 1 < x1 < 2, 满意. 所以.所以存在x, 满意1 < x < x1, 且 . 四. 设f(x)在[0, x](x > 0)上连续, 在(0, x)内可导, 且f(0) = 0, 试证: 在(0, x)内存在一个x, 使. 证明: 令F(t) = f(t), G(t) = ln(1+t), 在[0, x]上运用柯西定理 , x Î (0, x) 所以 , 即. 五. 设f(x)在[

31、a, b]上可导, 且ab > 0, 试证: 存在一个x Î (a, b), 使 证明: 不妨假设a > 0, b > 0. 令. 在[a, b]上运用拉格朗日定理 六. 设函数f(x), g(x), h(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 证明:存在一个x Î (a, b), 使 证明: 令, 则F(a) = F(b) = 0, 所以存在一个x Î (a, b), 使 七. 设f(x)在[x1, x2]上二阶可导, 且0 < x1 < x2, 证明:在(x1, x2

32、)内至少存在一个x, 使 证明: 令, 在[x1, x2]上运用柯西定理. 在(x1, x2)内至少存在一个x, 满意 . 八. 若x1x2 > 0, 证明: 存在一个x Î (x1, x2)或(x2, x1), 使 证明: 不妨假设0 < x1 < x2. 令, 在[x1, x2]上运用柯西定理. 在(x1, x2)内至少存在一个x, 满意 马上可得 . 九. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且f(a) = f(b)

33、 = 0, g(x) ¹ 0, 试证: 至少存在一个x Î (a, b), 使 证明: 令, 所以F(a) = F(b) = 0. 由罗尔定理至少存在一个x Î (a, b), 使 , 于是 . 十. 设f(x) 在[a, b]上连续 ,在(a, b)内可导, 证明在(a, b) 存在. 解. 对运用柯西定理: 所以 对左端运用拉格朗日定理: 即 第五章 一元微积分的应用 一. 选择题 1. 设f(x)在(－¥, +¥)内可导, 且对随意x1, x2, x1 > x2时, 都有f(

34、x1) > f(x2), 则 (a) 对随意x, (b) 对随意x, (c) 函数f(－x)单调增加 (d) 函数－f(－x)单调增加 解. (a) 反例:, 有; (b) 反例:; (c) 反例:, 单调削减; 解除(a), (b), (c)后, (d)为答案. 详细证明如下: 令F(x) = －f(－x), x1 > x2, －x1 < －x2. 所以F(x1) =－f(－x1) > －f(－x2) = F(x2). 2. 曲线的渐近线有 (a) 1条 (b) 2条 (c) 3条 (d) 4条 解. 为水平渐近线;

35、 为铅直渐近线; 所以只有二条渐近线, (b)为答案. 3. 设f(x)在[－p, +p]上连续, 当a为何值时, 的值为微小值. (a) (b) (c) (d) 解. 为a的二次式. 所以当a =, F(a)有微小值. 4. 函数y = f(x)具有下列特征: f(0) = 1; , 当x ¹ 0时, ; , 则其图形 (a) (b) (c) (d)

36、 1 1 1 1 解. (b)为答案. 5. 设三次函数, 若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数, 则这个函数的图形是 (a) 关于y轴对称 (b) 关于原点对称 (c) 关于直线y = x轴对称 (d) 以上均错 解. 假设两个极值点为x = t及 x = －t (t ¹ 0), 于是f(t) =－f(－t). 所以 , 所以b + d = 0 的根为 x = ± t, 所以 b = 0. 于是d = 0. 所以

37、 为奇函数, 原点对称. (b)为答案. 6. 曲线与x轴所围图形面积可表示为 (a) (b) (c) (d) 解. 0 1 2 由图知(c)为答案. 二. 填空题 1. 函数 (x > 0)的单调削减区间______. 解. , 所以0 < x < . 2. 曲线与其在处的切线所围成的部分被y轴分成两部分, 这两部分面积之比是________. 解. , 所以切线的斜率为k = 切线方程: , 曲线和切线的交点为. (解曲线和切线的联立方程得, 为其解,

38、 所以可得, 解得.) 比值为 3. 二椭圆, ( a > b > 0)之间的图形的面积______. 解. 二椭圆的第一象限交点的x坐标为 . 所以所求面积为 = = = 4paba = 4. x2 + y2 = a2绕x =－b(b > a > 0)旋转所成旋转体体积_______. 解. －b a 由图知 = = (5) 求心脏线r = 4(1+cosq)和直线q = 0, q =围成图形绕极轴旋转所成旋转体体积_____. 解. 极坐

39、标图形绕极旋转所成旋转体体积公式 所以 = 三. 证明题 1. 设f(x)为连续正值函数, 证明当x ³ 0时函数单调增加. 证明. 上述不等式成立是因为 f(x) > 0, t < x. 2. 设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内, 证明在(a, b)内单增. 证明. 假设a < x1 < x2 < b, (a < x1

40、 b]上连续, 在(a, b)内可导且, 求证: 在(a, b)内也. 证明: 因为, 所以f(x)单减. =+ = 4. 设f(x)在[a, b]上连续, 且f(x) > 0, 又. 证明: i. ii. F(x) = 0在(a, b)内有唯一实根. 证明. i. ii. F(a) = , F(b) =. 因为f(x) > 0, 所以F(a)和F(b)异号, 所以在(a, b)中存在x, 使得F(x) = 0. 又因为, F(x)单增, 所以实根唯一. 5. 证明方程在(0, 1)

41、内有唯一实根. 证明. 令. F(0) =－1 <0, F(1) = tan1 >0, 所以在(0, 1)中存在x, 使F(x) = 0. 又因为 (0 < x < 1), 所以F(x)单增, 所以实根唯一. 6. 设a1, a2, …, an为n个实数, 并满意. 证明: 方程 在(0, )内至少有一实根. 证明. 令 则 F(0) = 0, . 所以由罗尔定理存在x (0 < x < ), 使. 即 四. 计算题 1. 在直线x－y + 1=0与抛物线的交点上引抛物线的法线, 试求两法线及连接两交点的弦所围成三角形的面积. 解.

42、由联立方程解得交点坐标, 由求得二条法线的斜率分别为, . 相应的法线为 , . 解得法线的交点为. 已知三点求面积公式为 所以 . 2. 求通过点(1, 1)的直线y = f(x)中, 使得为最小的直线方程. 解. 过点(1, 1)的直线为 y = kx + 1－k 所以 F(k) = = = = k = 2 所求直线方程为 y = 2x－1 3. 求函数的最大值与最小值. 解. , 解得 x = 0, x = , , =1

43、所以, 最大值, 最小值. 4. 已知圆(x－b)2 + y2 = a2, 其中b > a > 0, 求此圆绕y轴旋转所构成的旋转体体积和表面积. 解. 体积 = 表面积: y = f(x)绕x轴旋转所得旋转体的表面积为 S= (x－b)2 + y2 = a2绕y轴旋转相当于(y－b)2 + x2 = a2绕x轴旋转. 该曲线应分成二枝: 所以旋转体的表面积 =. 第六章 多元函数微分学 一. 考虑二元函数的下面4条性质 ( I ) 在点处连续; ( II ) 在点处的两个偏导

44、数连续; ( I II) 在点处可微; ( IV ) 在点处的两个偏导数存在; 若用表示可由性质P推出性质Q, 则有 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 解. 在点处的两个偏导数连续, 则在点处可微, 在点处可微, 则在点处连续. 所以. ( A )为答案. 二. 二元函数 在点(0, 0) 处 ( A ) 连续, 偏导数存在; ( B ) 连续, 偏导数不存在; ( C ) 不连续, 偏导数存在; ( D ) 不连续, 偏导数不存在. 解.

45、 所以 不存在, 所以在点(0, 0) 处不连续, 解除 ( A ), (B); . (C )为答案. 三. 设f, g为连续可微函数, , 求. 解. , . 所以 四. 设, 其中j为可微函数, 求. 解. 原式两边对y求导. . 所以 五. 设. 解. 由上述表达式可知x, z为自变量, 所以 六. 求下列方程所确定函数的全微分: 1. ; 2. . 解. 1. , 所以 , 所以 所以 2. , 所以 , 所以 所以 七. 设,

46、 其中f具有二阶连续偏导数, 求. 解. = 八. 已知. 解. = 九. 已知. 解. = = = 十. 设确定, 求. 解. 以上两式对x求导, 得到关于的方程组 由克莱姆法则解得 , 十一. 设 解. = 于是 =

47、 = 0 十二. 设, 其中f(u, v)具有二阶连续偏导数, 二阶可导, 求. 解. = 十三. 设, 其中出现的函数都是连续可微的, 试计算. 解. , 所以 于是 第七章 二重积分 一. 比较积分值的大小: 1. 设其中, 则下列结论正确的是 x+y=4 x+y=0 D ( A ) (

48、 B ) ( C ) ( D ) 解. 区域D位于直线 之间, 所以 所以 所以 . (A)为答案. 2. 设, 其中: , , 则下列结论正确的是 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 解. 因为 , 所以, (C) 为答案. 3.设其中, 则下列结论正确的是 ( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 解. 在区域D中, , 所以 .( A )为答案. 二. 将二重积分化为累次积分(两种形式), 其中D给定如下: 1. D: 由与所围之区域. 2. D: 由x

49、= 3, x = 5, x－2y + 1 = 0及x－2y + 7 = 0所围之区域. 3. D: 由, y ³ x及x > 0所围之区域. 4. D: 由|x| + |y| £ 1所围之区域. 解. 1. 2. 3. 4. 三. 变更下列积分次序: 1. 2. 3. 解: 1. 2. 3. = 四. 将二重积分化为极坐标形式的累次积分, 其中: 1. D: a2 £ x2 +y2 £ b2, y ³ 0, (b > a > 0) 2. D: x2 +y2 £y,

50、x ³ 0 3. D: 0 £ x +y £ 1, 0 £ x £ 1 解. 1. 2. 3. + 五. 求解下列二重积分: 1. 2. 3. , D: 由y = x4－x3的上凸弧段部分与x轴所形成的曲边梯形 4. , D: y ³ x及1 £ x2 + y2 £ 2 解. 1. = = = 2. == 3. , D: 由的上凸弧段部分与x轴所形成的曲边梯形. 解. , . 解得 . 此时图形在x轴下方. 所以 4. , D: y ³ x

51、及1 £ x2 + y2 £ 2. 解. 运用极坐标变换 = 0 六. 计算下列二重积分: 1. , D: . 解. 令, .雅可比行列式为 2. , D: , 并求上述二重积分当时的极限. 解. = 所以. 3. 解. = = 4. , D: x2 + y2 £ 1, x ³ 0, y ³ 0. 解. =. 七. 求证: , 其中D是由xy = 1, xy = 2, y = x及y = 4x(x > 0, y > 0)所围成之区域.

52、 证明: 令u = xy, y = vx. 即, . . 所以 八. 求证: 证明: 令, . . 所以 = 九. 设f(t)是半径为t的圆周长, 试证: 证明: 左 = =右 十. 设m, n均为正整数, 其中至少有一个是奇数, 证明: 证明: 区域 D既对x轴对称, 又对y轴对称. 当m为奇数时为对于x的奇函数, 所以二重积分为0; 当n为奇数时为对于y的奇函数, 所以二重积分为0. L 十一. 设平面区域, 是定义在上的随意连续函数

53、试求: 解. 作曲线如图. 令 围成; 围成. 按y轴对称, 按轴对称. 令 明显 所以 又因为 所以 第八章 无穷级数 一. 填空题 (1) 设有级数, 若, 则该级数的收敛半径为______. 解. 收敛半径R =. 答案为. (2) 幂级数的收敛半径为______. 解. , 所以. 收敛半径为. (3) 幂级数的收敛区间为______. 解. , 所以收敛半径为1. 当x = 1时, 得级数发散, 当x = －1时, 得级数收敛. 于是收敛区域为[－1, 1). (4) 幂级数的收敛

54、区间为______. 解. , 所以收敛半径为2. 当x = 2时, 得级数发散, 当x = －2时, 得级数 收敛. 于是收敛区域为[－2, 2). (5) 幂级数的和函数为______. 解. . 该等式在(－1, 1)中成立. 当x = ±1时, 得到的数项级数的通项不趋于0. 所以 , (－1, 1). 二. 单项选择题 (1) 设收敛, 常数, 则级数 (A) 肯定收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与l有关 解. 因为收敛, 所以收敛. . 所以和有相同的敛散性. 所以原级数肯定收敛. (2) 设, 则 (A)

55、与都收敛. (B) 与都发散. (C)收敛, 而发散. (D) 发散, 收敛. 解. 由莱布尼兹判别法收敛, . 因为, 发散, 所以发散. (C)是答案. (3) 下列各选项正确的是 (A) 若与都收敛, 则收敛 (B) 若收敛, 则与都收敛 (C) 若正项级数发散,则 (D) 若级数收敛, 且, 则级数收敛. 解. . 所以(A)是答案. (4) 设a为常数, 则级数 (A) 肯定收敛. (B) 发散. (C) 条件收敛. (D) 敛散性与a取值有关. 解. 肯定收敛, 发散, 所以发散. (B)是答案 三. 推断下列级

56、数的敛散性: (1) 解. 因为, 所以和有相同的敛散性. 又因为发散, 由积分判别法知发散. 所以原级数发散. (2) 解. 因为 , 所以和有相同的敛散性. 收敛, 所以原级数收敛. (3) 解. , 所以级数发散. (4) 解. , 所以级数收敛. (5) 解. ， 所以级数收敛. (6) 解. 考察极限 令, = 所以, 即原极限为1. 原级数和有相同的敛散性. 原级数发散. 四. 推断下列级数的敛散性 (1) 解. 因为, 所以收敛, 原级数肯定收敛. (2) 解. , 令 当x > 0

57、时, , 所以数列单减. 依据莱布尼兹判别法级数收敛. 因为, 而发散, 所以发散. 原级数条件收敛. (3) 解. . 因为, 又因为, 条件收敛, 所以原级数条件收敛. (4) 解. =1, 收敛, 原级数肯定收敛. 五. 求下列级数的收敛域: (1) 解. , 当x =－1, 0时, 都得数项级数, 收敛, 所以原级数的收敛域为[－1, 0]. (2) 解. , 于是. 当时, 得, 收敛;当时, 得, 收敛. 于是原级数的收敛区域为[－1, 1]. (3) 解. . 当时, 得数项级数及, 通项都不趋于0, 发散. 该级数的收敛区

58、域为. (4) 解. . 当时得数项级数, 发散. 该级数的收敛区域为(－2, 4). 六. 求下列级数的和: (1) 解. 级数收敛, 所以收敛半径为1. 当时都得到交织级数. 由莱布尼兹判别法知收敛. 所以收敛区域为[－1, 1].令 . 所以, [－1, 1]. (2) 解. 收敛. 当得及都发散. 所以收敛区域为(－1, 1). ,(－1, 1) (3) 解. , 所以当时收敛. 当时得数项级数, 发散; 当时得数项级数, 收敛. 于是收敛区域为[－3, 1). =, [－3, 1). 七. 把下

59、列级数展成x的幂级数: (1) 解. 由第六题第3小题知 所以 =, (－1, 1) (2) 解. =, (－1, 1] 由于收敛, 所以当时上述级数都收敛. 所以 , [－1, 1] 第九章 常微分方程及差分方程简介 一. 填空题 1. 微分方程的通解为_________. 解. 先解 , 解得 运用常数变易法. 令. 所以 代入原方程, 得 , 所以. 所以通解为 2. 微分方程的通解为________. 解. , 于是. 积分得 . 化简后得 3. 微分

60、方程的通解为________. 解. 特征方程 , l = ±i 于是齐次方程通解为 用算子法求非齐次方程特解 . 所以 4. 微分方程的通解为________. 解. 特征方程 , l = 1±i 于是齐次方程通解为 用算子法求非齐次方程特解 . 所以 5. 已知曲线过点(0, ), 且其上任一点(x, y)处的切线斜率为, 则=_______. 解. 由题设得微分方程: . . 所以 . 代入初始条件, 得 , 于是c = 0. 得特解 二. 单项选择题 1. 若函数满意关系式 , 则等于 (A

61、) (B) (C) (D) 解. 由原式两边求导, 并以x = 0代入原式, 可得以下微分方程 解得 . (B)是答案. 2. 微分方程的一个特解应具有形式(式中a、b为常数) (A) (B) (C) (D) 解. 将看成和1两个非齐次项. 因为1是特征根, 所以对应于特解为, 对应于1的特解为b. 因此原方程的特解为 . (B)为答案. 三. 解下列微分方程: 1. 解. , , 所求特解为 2. 解. . 两边积分马上可得 3. 解. 令, 则 所以

62、 四. 解下列微分方程: 1. 解. 令. 于是. 所以 , 即 2. 解. . () i) 令 . 于是.所以 , 所以 , 得解 ii) 令 . 于是.所以 , 所以 , 得解 3. 令 . 于是.所以 , 两边积分, 得 五. 解下列微分方程: 1. 解. 这是一阶线性方程. 2. 解. 由原方程可得 . 3. 解. 由原方程可得 .

63、 4. 解. 由原方程可得 . 六. 解下列微分方程: 1. 解. 这是一阶线性方程. , 所以 2. 解. 这是一阶线性方程. , 所以 3. 解. , 令, 于是可得方程. 所以 即 . , 所以 七. 解下列方程: 1. 解. 特征方程为 , . 通解为 2. 解. 特征方程为 , . 通解为 3. 解. 特征方程为 , .

64、 通解为 八. 解下列方程: 1. 解. 特征方程为 , 齐次方程通解为 非齐次方程特解为 非齐次方程通解为 2. 解. 特征方程为 , 齐次方程通解为 非齐次方程特解为 代入原方程解得 . 所以 非齐次方程通解为 3. 解. 特征方程为 , 齐次方程通解为 非齐次方程特解为 非齐次方程通解为 4. 解. 特征方程为 , 齐次方程通解为

65、 非齐次方程特解为 非齐次方程通解为 5.

66、解. 特征方程为 , 齐次方程通解为 非齐次方程特解为 代入原方程解得 . 所以 非齐次方程通解为 第十章 函数方程与不等式证明 一. 证明不等式. (a > 1, n ³ 1) 证明: 令, 在上运用拉格朗日定理 即 所以 . (a > 1, n ³ 1) 二. 若a ³ 0, b ³ 0, 0 < p < 1, 证明 证明: 令 明显f(0) = 0. 当x ³ 0 时, 因为0 < p < 1 所以当x ³ 0时, f(x)单减, 所以f(a) £ f(0) = 0. 所以 即得 三. 设函数f(x)在[0, 1]上有连续导数, 满意. 求证 证明: 令, 明显F(0) = 0. 因为, 所以当x > 0时f(x) > 0. = (1) 令, 明显F(0) = 0. 所