考研数学模拟试题(数学二)

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1、 考研数学模拟试题（数学二） 参考答案 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项的字母填在题后的括号内） 1.设是多项式的最小实根，则（）. （A）（B）（C）（D） 解 选择A. 由于，又是多项式的最小实根，故. 2.设 则函数在点（）. （A）取极大值（B）取极小值（C）可导（D）不可导 解 选择D. 由极限的保号性知，存在，当时，，当时，，当时，，故在点不取极值. ，所以在点不可导. 3.设连续，且满足，则（）. （A） （B） （C） （D） 解 选择B. 由题设知

2、 . 4.微分方程的特解形式为（）. (A) (B) (C) (D) 解 选择D. 特征方程，特征根，是特征根，特解形式为 . 5. 设函数连续，则下列函数中，必为偶函数的是（）. （A） （B） （C） （D） 解 选择C. 由于为奇函数，故为偶函数. 6. 设在全平面上有，，则保证不等式成立的条件是（ ） （A），. （B），. （C），. （D），. 解 选择A. 关于单调减少， 关于单调增加， 当，时，. 7.设和为实对称矩阵，且与相似，则下列结论中不正确的是（）.

3、 (A)与相似 (B) 与合同 (C) (D) 解 选择D. 与相似可以推出它们的多项式相似，它们的特征多项式相等，故A，C正确，又和为实对称矩阵，且与相似，可以推出与合同，故B正确. 8. ，，为维列向量，则有（）. (A)当时，方程组有解 (B)当时，方程组有唯一解 (C)当时，方程组有唯一解 (D)当时，方程组有无穷多解 解 选择A. 当时，，方程组有解. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上） 9. . 解 答案为. 10设有二阶连续偏导数，，则 . 解 答案为.

4、 11.设微分方程的通解为，则 . 解 答案为. 将代入微分方程，得，故. 12.数列中最大的项为 . 解 答案为. 【将数列的问题转化为函数的问题，以便利用导数解决问题】 设，， 时，，单调增加，故时，递增，最大， 时，，单调减少，故时，递减，最大， 又，数列的最大项为. 13.方程在区间内的实根个数为 . 解 答案为. 令，， 由零点定理知，此方程在区间内至少有一个实根，又，单调增加，故此方程在区间内有且仅有一个实根. 14.设阶矩阵的秩为，是非齐次线性方程组的三个线性无关的解，则的通解为 . 解 答案为，为任意常数

5、. 是非齐次线性方程组的三个线性无关的解，则是的两个解，且它们线性无关，又，故是的基础解系，所以的通解为. 三、解答题（本题共9小题，满分94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. （本题满分9分）求极限 解 16. （本题满分9分）设单调且具有一阶连续导数，满足，求可导函数. 解 ，，代入方程，得， 即，解得，其中为任意常数. 17. （本题满分9分） 计算积分 解 画出二重积分区域，是的第一象限部分，由对称性，得 18. （本题满分11分） 求微分方程满足初始条件，的特解. 解 令，代入原方程，得 ，，，，

6、由，得， ，，即， 故， 由得，所以. 19. （本题满分11分） 设和在区间可导，并设在内，证明在内至多存在一点，使得. 证 设，则. 若在内存在两个不同的点，使得， 则由罗尔定理知，至少存在一点介于之间，使， 即，于是有，与题设矛盾， 故在内至多存在一点，使得. 20. （本题满分11分） 设有抛物线：，试确定常数的值，使得 ⑴与直线相切； ⑵与轴所围图形绕轴旋转所得旋转体的体积最大. 解 设切点为，， 切线斜率， 代入切线方程，得.⑴ 又旋转体体积， ，解得或者，， ，故时，体积最大， 将代入⑴得，所以，. 21.（本题满分11分） 一质

7、量为的物体以速度从原点沿轴正方向上升，假设空气阻力与物体的运动速度平方成正比（比例系数），试求物体上升的高度所满足的微分方程及初始条件，并求物体上升的最大高度. 解 根据牛顿第二定律，物体上升的高度所满足的微分方程为 ， 初始条件为. 代入方程，得，， 记，，， 积分得，时，，故， ， 令，得上升到最高点的时间为 ， 上升的最大高度为. 22. （本题满分11分） 设. ⑴当满足什么条件时，可由线性表示，且表示式唯一？ ⑵当满足什么条件时，可由线性表示，且表示式不唯一？并求出的表示式. 解 设 ⑴，其增广矩阵 ⑴当时，，方程组⑴有唯一解，即可由线性表示，且表示式唯一. ⑵当时，， 故当时，，方程组⑴有无穷多解，即可由线性表示，且表示式不唯一， ，同解方程组为， 通解为， 故的表示式为，其中为任意常数. 23. （本题满分11分） 设为阶矩阵，可逆，且，证明： ⑴若是的特征向量，则也是的特征向量； ⑵若有个不同的特征值，是的特征向量，则也是的特征向量. 证 ⑴证 设，则，故也是的特征向量 ⑵由有个不同的特征值知，的每个特征值只对应一个线性无关的特征向量，又是对应同一个特征值的特征向量，故它们线性相关，故存在常数，使得，故也是的特征向量.