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1、 8.6 二 阶 常 系 数 线 性 齐 次 微 分 方 程 的 解 法 齐 次 方 程 的 通 解 公 式应 用 举 例小 结 ,rxey 设 将 其 代 入 方 程 , 得0)( 2 rxeqprr ,0rxe故 有 02 qprr 特 征 方 程,2 422,1 qppr 一 、 二 阶 常 系 数 线 性 齐 次 微 分 方 程 的 解 法)(xfqyypy 二 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程 的 一 般 形 式方 程 为时当 ,0)( xf 0 qyypy称 为 二 阶 常 系 数 线 性 齐 次 微 分 方 程 .特 征 根., 21 就 是 方 程 的 特 解则 xrxr
2、 eyey 1.有 两 个 不 相 等 的 实 根 ,2 421 qppr ,2 422 qppr ,11 xrey ,22 xrey 方 程 有 两 个 线 性 无 关 的 特 解齐 次 方 程 的 通 解 为 ;21 21 xrxr eCeCy )0( 特 征 根 为2. 有 两 个 相 等 的 实 根 ,11 xrey ,221 prr )0( 一 特 解 为得 齐 次 方 程 的 通 解 为 ;)( 121 xrexCCy 代 入 原 方 程 并 化 简 ，将 222 yyy ,0)()2( 1211 uqprrupru ,0u知 ,)( xxu 取 ,12 xrxey 则,)( 12
3、 xrexuy 设 另 一 特 解 为特 征 根 为 ,)( 21 DxDxu 3. 有 一 对 共 轭 复 根 ,1 ir ,2 ir ,)(1 xiey ,)(2 xiey )0( 由 定 理 8.1, ,cos1 xey x 2y ,sin xe x 所 以 齐 次 方 程 的 实 函 数 形 式 的 通 解 为).sincos( 21 xCxCey x 特 征 根 为欧 拉 公 式 : )sin(cos)( xixee xxi , 21 线 性 无 关也 是 齐 次 方 程 的 特 解 且 yy)(21 211 yyy ,cos xe x )(21 212 yyiy ,sin xe x
4、 .044 的 通 解求 方 程 yyy解 特 征 方 程 为 ,0442 rr ,221 rr故 所 求 通 解 为 .)( 221 xexCCy 例 1二 、 应 用 举 例解 特 征 方 程 为 ,0522 rr ,212 204221 ir ，故 所 求 通 解 为 ).2sin2cos( 21 xCxCey x .052 的 通 解求 方 程 yyy例 2特 征 根 为特 征 根 ).47sin47cos( 214 xCxCey x 特 征 根 为 4 712,1 ir 故 所 求 通 解 为解 ,012 2 rr特 征 方 程 为 .02 的 通 解求 方 程 yyy例 4故 所 求 通 解 为 解 特 征 方 程 为例 3 .02 的 通 解求 方 程 yyy ,012 2 rr 1,212,1 r .221 xx eCeCy 小 结二 阶 常 系 数 齐 次 微 分 方 程 求 通 解 的 一 般 步 骤（ 1） 写 出 相 应 的 特 征 方 程（ 2） 求 出 特 征 根 ;（ 3） 根 据 特 征 根 的 不 同 情 况 ,得 到 相 应 的 通 解 . ;02 qprr0 qyypy
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