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1、教学评价与测量60 例 2013.10 案例3：单总体差异分析问题：如何评价单总体某指标与相应参照标准是否有显著差异 实例： 1.某校初中三年级学生毕业考试数学成绩平均分为74.85，标准差为11.26分。其中45人升入高中后，第一次数学考试的成绩平均分为71.20，标准差为11.26分。试评价这次考试的成绩与初中的成绩是否有差异（a=0.05） 2原有资料，某班同学英语四级通过率为60%，现抽样调查本次考试100位同学有63位通过。问能否认为通过率有所增长（ a=0.05）。 3根据某实验室报表称，每天耗材费用为55元，经过6天抽查，其耗材费用为59.2元，68.3元，57.8元，56.5元
2、，63.7元， 57.3元。问原实验室报表数据是否有误（a=0.05）。 教学评价与测量60 例 2013.10 问题解决 对于上述问题，我们可以采用单总体假设检验的方法，分析单总体测验成绩与某参照标准是否有显著差异。 所谓单总体假设检验，即通过抽样调查获取来自随机样本的数据，根据样本指标推断总体指标，为保证推断的可靠性，所必须进行的统计检验之一。 首先，根据已有的资料并经周密考虑后，确定一个关于总体的假设，称之为原假设H 0， 还要确定一个与原假设呈逻辑对立面的假设，称之为备择假设H 1。 原假设常常是稳定的、经验的看法，也正是我们希望否定的假设，但是没有充分得根据，它又是不会被轻易否定的。
3、 然后，根据样本数据计算某一个或几个适当的统计量，经过检验，如果这些统计量在原假设成立的条件下，几乎是不可能发生的，亦即发生的概率很小，那么就有充分根据拒绝原假设。如果这些统计量在原假设成立的条件下，发生的可能性不是很小，亦即发生的概率大于我们选定的小概率标准，那么就没有充分根 据拒绝原假设。 当我们有充分根据拒绝原假设时，就需要接受其逻辑对立面的假设，这就是备择假设。 教学评价与测量60 例 2013.10 在教学评价中，进行单总体假设检验常用以下类型：样本类型检验原假设H 0备择假设H 1统计量大样本均值检验双侧 = 0 0单侧 0 0 0 P0 P P 0 P 0 0 Za/2，那么在a
4、 显著性水平拒绝原假设H 0。 如果|Z| Za/2，那么在a 显著性水平接受原假设H 0。 x 教学评价与测量60 例 2013.10 单侧检验 原假设H 0： 0，备择假设H 1： 0 需要计算的统计量为)1,0(0 NnxZ 其中， 为样本指标的平均数， 0为参照标准指标的平均数， 为参照标准指标的标准差， n为样本数。 如果Z Za，那么在a 显著性水平拒绝原假设H 0； 如果ZZa，那么在a 显著性水平接受原假设H 0。x 大样本均值检验 教学评价与测量60 例 2013.10 单侧检验 原假设H 0： 0，备择假设H 1： 0 需要计算的统计量为其中， 为样本指标的平均数， 0为参
5、照标准指标的平均数， 为参照标准指标的标准差， n为样本数。 如果Z Za/2，那么在a 显著性水平拒绝原假设H 0； 如果 |Z| Za/2，那么在a 显著性水平接受原假设H 0。 教学评价与测量60 例 2013.10 大样本成数检验 单侧检验 原假设H 0： P P0，备择假设H 1： P P0 需要计算的统计量为 )1,0()1( 00 0 Nn PP PpZ 其中，p为样本指标的成数，P 0为参照标准指标的成数， P0(1-P0) 为参照标准指标的方差，n 为样本数。 如果Z Za，那么在a 显著性水平拒绝原假设H 0；如果 Z Za，那么在a 显著性水平接受原假设H 0。 教学评价
6、与测量60 例 2013.10 大样本成数检验 单侧检验 原假设H 0： P P0，备择假设H 1： P Za，那么在a 显著性水平接受原假设H 0； 如果 Z Za，那么在a 显著性水平拒绝原假设H 0。 教学评价与测量60 例 2013.10 双侧检验 原假设H 0： = 0，备择假设H 1： 0 需要计算的统计量为小样本均值检验 )1(0 ntnxt )1(0 ntnxt 或 其中， 为样本指标的平均数， 0为参照标准指标的平均数， 为参照标准指标的标准差， 为样本标准差， n为样本数。 如果| t | ta/2(n-1)，那么在a 显著性水平拒绝原假设H 0； 如果| t | ta/2
7、(n-1)，那么在a 显著性水平接受原假设H 0。 x 教学评价与测量100 例 2013.10 单侧检验 原假设H 0： 0，备择假设H 1： 0 需要计算的统计量为小样本均值检验 )1(0 ntnxt )1(0 ntnxt 或 其中， 为样本指标的平均数， 0为参照标准指标的平均数， 为参照标准指标的标准差， 为样本标准差， n为样本数。 如果 t ta(n-1)，那么在a 显著性水平拒绝原假设H 0； 如果| t | ta(n-1)，那么在a 显著性水平接受原假设H 0。 x 教学评价与测量60 例 2013.10 单侧检验 原假设H 0： 0，备择假设H 1： ta(n-1)，那么在a
8、 显著性水平接受原假设H 0； 如果| t | ta(n-1)，那么在a 显著性水平拒绝原假设H 0。 x 教学评价与测量60 例 2013.10 0137.24526.11 58.7420.71 )1,0(0 0 nxZ NnxZ 1本例属于大样本均值检验，参照标准指标值： 0=74.58, =11.26，样本指标值为： ，n = 45。 由于没有资料可以说明升入高中后与初中毕业考试数学水平是否高低，所以采取双侧检验的形式。 原假设 H 0 ： = 74.58 备择假设 H 1 ： 74.58 计算统计量26.11,20.71 x 由于| Z |=2.01371.96 =Z 0.05/2，即
9、在0.05显著性水平拒绝原假设H 0，而接受备择假设H 1，故这次考试的成绩与初中的成绩有显著性差异。 教学评价与测量60 例 2013.10 我们注意到，如果假设升入高中后学习条件的改变对学生的成绩没有构成影响，那么样本指标服从正态分布），（ nN 20 aa aaa 11| 20202 nZxnZPZZP根据Z检验的统计量有如果a = 0.05，那么 以95%的概率在以下区间内取值：x ），（， 07784971)961961( 00 nn )1,0(0 NnxZ 现在 = 71.20 在区间之外，而发生这种事件的概率小于 5%，即小概率事件发生了。因此，我们有充分根据认为这次考试成绩不太
10、可能服从上述正态分布，也就是说，升入高中后学习条件的改变对学生的成绩没有构成影响是不成立的，并且考试成绩偏低。x 教学评价与测量60 例 2013.10 如果a = 0.01，那么 以99%的概率在以下区间内取值：x ），（， 91782570)58.258.2( 00 nn 那么 =71.20不在区间之外。与前面相比，在区间之外，这种事件发生的概率小于 1%，即小概率事件没有发生。因此，我们认为这次考试成绩可能服从上述正态分布，也就是说，升入高中后学习条件的改变对学生的成绩没有构成影响是成立的，考试成绩正常。 在此，前面的评价说明样本指标的平均数与参照标准指标的平均数有显著性差异，后面的评价
11、说明它们没有显著性差异。但这并不矛盾，只是我们要注意到，前面得评价与后面的评价判断小概率事件的标准不同，分别小于5%与1%。x 教学评价与测量60 例 2013.10 2本例属于大样本成数检验，参照标准指标值：P0=60%，样本指标值为：p = 63%，n = 100。 由于考虑某班同学英语四级通过率的增长，所以采取右侧检验的形式（ a = 0.05）。 原假设H 0: P = P0 备择假设 H 1: P P0 计算统计量：).1,0()1( )( 00 0 Nn PP PpZ 65.16123.0100 )6.01(6.0 60.063.0)1( )( 05.00 Zn PP PpZ Z=
12、0.6123 2.57= t0.05/2(6-1)，即在0.05 显著性水平拒绝原假设H 0，原报表数据有误。 教学评价与测量60 例 2013.10置信水平1-a显著性系数a显著性系数a/2临界值Za临界值Za/20.900.950.99 0.100.050.01 0.0500.0250.005 1.281.642.33 1.651.962.58常用的置信水平和显著性系数 附录： 教学评价与测量60 例 2013.10 常用双侧Z检验判断规则| Z | 与Za/2比较P检验结果|Z| 1.96=Z0.05/2Z 0.05/2=1.96 |Z 0.050.01P0.05P0.01拒绝H1 接受
13、H0在0.05显著性水平拒绝H0 接受H1在0.01显著性水平拒绝H0 接受H1常用单侧Z检验判断规则| Z | 与Z a比较P检验结果|Z| 1. 65 =Z0.05Z 0.05=1.65 |Z | 0.050.01P0.05P0.01拒绝H1 接受H0在0.05显著性水平拒绝H0 接受H1在0.01显著性水平拒绝H0 接受H1 教学评价与测量60 例 2013.10 常用单侧t检验判断规则| t | 与ta比较P检验结果|t| t 0.05(n-1)t 0.05(n-1) |t | 0.050.01P0.05P0.01拒绝H1 接受H0在0.05显著性水平拒绝H0 接受H1在0.01显著性水平拒绝H0 接受H1常用双侧t检验判断规则| t | 与t a/2比较P检验结果| t | t 0.05/2(n-1)t 0.05/2(n-1) | t | 0.050.01P0.05P0.01拒绝H1 接受H0在0.05显著性水平拒绝H0 接受H1在0.01显著性水平拒绝H0 接受H1
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