lec11正态分布样本分布.pptx

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1、正 态 分 布样 本 分 布第 十 一 讲 大 纲 正 态 分 布 性 质 、 计 算 与 应 用 样 本 分 布 总 体 与 样 本 参 数 、 样 本 统 计 量 与 估 计 样 本 分 布 及 其 观 察 正 态 分 布 统 计 学 中 最 常 用 、 最 重 要 的 分 布 均 值 Mean中 位 数 Median众 数 Mode X f(X) 正 态 分 布 发 现 的 历 史 对 正 态 分 布 的 认 识 始 于 对 测 量 误 差 的 研 究 ， 因此 最 初 被 称 为 “law of errors” 几 个 重 要 人 物 Abraham De Moivre 1 6 6 7

2、 -1 7 5 4 1 7 3 3 年 私 下 里 出 版了 一 本 小 册 子 ， Doctrine of Chance。 他 第 一 次 提 到 ，独 立 的 离 散 随 机 变 量 可 以 近 似 地 用 一 个 指 数 函 数 来描 述 Marquis de Laplace 1 7 4 9 -1 8 2 7 长 期 对 测 量 误 差 的性 态 进 行 研 究 ， 他 证 明 了 ， 几 乎 所 有 独 立 同 分 布 的随 机 变 量 都 会 随 着 样 本 的 增 加 迅 速 收 敛 于 一 个 指 数分 布 ， 即 正 态 分 布 Carl Friedrich Gauss 1 7

3、 7 7 -1 8 5 5 正 态 分 布 也 被 称为 “ 高 斯 分 布 ” 。 高 斯 在 1 8 0 9 年 第 一 个 建 立 了两 参 数 的 指 数 函 数 ， 来 描 述 天 文 观 测 中 的 误 差分 布 1 9 2 4 年 ， 英 国 统 计 学 家 Karl Pearson 偶 然 发 现 ，De Moivre在 1 7 3 3 年 就 已 经 写 出 了 正 态 分 布 的 概率 密 度 的 数 学 表 达 式 形 状 特 点 钟 型 ， 对 称 正 态 分 布 的 曲 线 是 钟 形 ， 故 有 时 又 称 为 “ 钟 形曲 线 ” ， 它 反 映 了 这 样 一

4、种 极 普 通 的 情 况 ： 天下 形 形 色 色 的 事 物 中 ， “ 两 头 小 ， 中 间 大 ” 的居 多 ， 如 人 的 身 高 ， 太 高 太 矮 的 都 不 多 ， 而 居于 中 间 者 占 多 数 均 值 =中 位 数 =众 数 随 机 变 量 值 域 无 限 正 态 分 布 与 颐 和 园 玉 带 桥 它 们 的 形 状 极 其 相 像05级 经 济 学 系 刘 振 楠 提 供 的 拟 合 结 果蓝 色 的 曲 线 为 一 条 正 态 分 布 曲 线 正 态 分 布 的 重 要 性 正 态 分 布 在 数 理 统 计 学 中 占 有 极 重 要 的 地 位 描 述 许 多

5、 随 机 的 活 动 和 连 续 现 象 统 计 推 断 基 础 现 今 仍 在 常 用 的 许 多 统 计 方 法 ， 就 是 建 立 在 “ 所 研究 的 量 具 有 或 近 似 地 具 有 正 态 分 布 ” 这 个 假 定 的 基础 上 ， 而 经 验 和 理 论 （ 概 率 论 中 “ 中 心 极 限 定 理 ” ）都 表 明 这 个 假 定 的 现 实 性 现 实 世 界 许 多 现 象 看 来 是 杂 乱 无 章 的 ， 如 不 同 的 人有 不 同 的 身 高 、 体 重 。 大 批 生 产 的 产 品 ， 其 质 量 指标 各 有 差 异 。 看 来 毫 无 规 则 ， 但

6、它 们 在 总 体 上 服 从正 态 分 布 。 这 一 点 ， 显 示 在 纷 乱 中 有 一 种 秩 序 存 在 正 态 分 布 概 率 密 度 函 数 与 概 率 密 度 函 数 p = 3 .1 4 1 5 9 ; e = 2 .7 1 8 2 8 s =总 体 的 标 准 差 m = 总 体 均 值 x 的 定 义 域 为 ( , + ) 正 态 分 布 的 概 率 ： 22 )(2121)( mssp xexf dc dxxfdXcP )()( c d Xf(X) 正 态 分 布 概 率 密 度 曲 线 C A B 概 率 密 度 曲 线 的 性 质 图 形 以 直 线 x = m

7、为 对 称 轴 呈 钟 形 对 称 曲 线 ， 并且 f (x)在 x = m处 达 到 最 大 值 在 x = m s 处 有 拐 点 当 x 时 ， 曲 线 以 x轴 为 渐 进 线 参 数 m 和 s 变 化 对 分 布 图 形 的 影 响 如 果 s 固 定 ， 改 变 m 的 值 ， 则 f (x)的 图 形 沿 着 x轴 平行 移 动 ， 但 不 改 变 形 状 如 果 m 固 定 ， s 大 时 ， 曲 线 平 缓 ， s 小 时 ， 曲 线 陡峭 f (x)图 形 的 形 状 完 全 由 s 决 定 ， 而 位 置 完 全 由 m 决 定sp21 正 态 分 布 的 标 准 化

8、 一 般 正 态 分 布 ： XN(m ,s2) 记 它 的 密 度 函 数 和 分 布 函 数 为 f(x)和 F(x) 正 态 分 布 ： ZN(1 ,0) 记 它 的 密 度 函 数 和 分 布 函 数 为 f(x)和 F(x) 一 般 正 态 分 布 与 标 准 正 态 分 布 的 关 系 ： mZ = 0sz = 1Z正 态 分 布 标 准 正 态 分 布Xms s m XZ)1,0( NXZ s m 示 例 ZmZ= 0 sZ = 1.12 标 准 化 示 例正 态 分 布 标 准 正 态 分 布 Xm = 5s = 10 6.2 12.010 52.6 s mXZ 证 明 对 于

9、 XN(m ,s 2)， 有 令 ， 则 有 即 221 ( )21Pr( ) 2 xbaa X b e dxmsps z x ms 2121Pr( ) ( ) ( ) ( ) ( )2b za b aa X b F b F a e dzmsms m ms sp F FPr( ) Pr( ), (0,1)a b Xa X b Z Z Nm m ms s s 运 用 Excel计 算 正 态 分 布 的 概 率 正 态 分 布 函 数 NORMDIST 用 于 计 算 给 定 均 值 和 标 准 差 的 正 态 分 布 的 累 积 函 数 语 法 结 构 为 ： NORMDIST(x, mean

10、, standard_dev, cumulative) cumulative 为 是 否 返 回 累 积 分 布 函 数 标 准 正 态 分 布 函 数 NORMSDIST 用 于 计 算 标 准 正 态 分 布 的 累 积 函 数 ， 该 分 布 的 均 值为 0 ， 标 准 差 为 1 语 法 结 构 为 ： NORMSDIST(z)： 。 其 中 ： z为 需 要 计 算 其 分 布 的 数 值 。 续 正 态 分 布 函 数 的 反 函 数 ： NORMINV 根 据 已 知 概 率 等 参 数 确 定 正 态 分 布 随 机 变 量 值 。 其 语 法 结 构 为 ： NORMINV

11、(probability, mean, standard_dev) 标 准 正 态 分 布 函 数 的 反 函 数 NORMSINV 根 据 概 率 确 定 标 准 正 态 分 布 随 机 变 量 的 取 值 。 其 语 法 结 构 为 ： NORMSINV(probability) 练 习 设 ZN(1 ,0) ， 求 Pr(Z -0.09) Pr(|Z|1.96) Pr(2.15 Z 6.7) 设 XN(1, 4)， 求 P (0 X 1.6) 已 知 XN(2 ,s 2)， 且 P( 2 X 4 ) = 0.3， 求 P ( X 0 ) 自 学 查 正 态 分 布 表 例 ： 已 知 分

12、 布 求 概 率 一 种 自 动 包 装 机 向 袋 中 装 糖 果 ， 标 准 是 每袋 6 4 g。 但 因 随 机 误 差 ， 每 袋 的 具 体 重 量 有波 动 ， 根 据 以 往 的 资 料 显 示 ， 一 袋 糖 果 的重 量 服 从 均 值 为 6 4 g， 标 准 差 为 1 .5 g的 正 态分 布 。 问 随 机 抽 出 一 袋 糖 果 ， 其 重 量 超 过6 5 g的 概 率 为 多 少 ? 重 量 不 足 6 2 g的 概 率 为 多少 ? 例 ： 已 知 概 率 求 x值 某 企 业 对 生 产 中 某 关 键 工 序 调 查 后 发 现 ，工 人 们 完 成 该

13、 工 序 的 时 间 （ 以 分 钟 计 ） 近似 服 从 正 态 分 布 N(2 0 , 3 2 )。 问 ： 从 该 工 序 生 产 工 人 中 任 选 一 人 ， 其 完 成 该 工 序时 间 少 于 1 7 分 钟 的 概 率 是 多 少 ？ 要 求 以 9 5 %的 概 率 保 证 该 工 序 生 产 时 间 不 多 于2 5 分 钟 ， 这 一 要 求 能 否 满 足 ？ 为 鼓 励 先 进 ， 拟 奖 励 该 工 序 生 产 时 间 用 得 最 少的 1 0 %的 工 人 ， 奖 励 标 准 应 定 在 什 么 时 间 范 围内 ？ 例 假 设 某 种 汽 车 电 池 的 寿 命

14、 服 从 正 态 分 布 ，平 均 数 为 8 0 0 天 ， 标 准 差 为 1 0 0 天 。 现 随 机抽 取 一 个 汽 车 电 池 ， 其 寿 命 小 于 5 0 0 天 的 概率 有 多 大 ？ 大 于 1 0 0 0 天 的 概 率 有 多 大 ？ 介于 7 0 0 天 至 9 0 0 天 的 概 率 有 多 大 ？ 如 果 该 公司 想 制 定 一 个 保 质 期 ， 在 保 质 期 内 可 以 免费 更 换 电 池 ， 公 司 最 多 可 以 承 担 1 %的 免 费更 换 ， 保 质 期 应 该 定 在 多 长 ？ 样 本 分 布 总 体 与 样 本 参 数 、 样 本 统

15、 计 量 与 估 计 样 本 分 布 及 其 观 察 什 么 是 总 体 描 述 统 计 中 的 总 体 定 义 被 观 察 对 象 的 全 体 ， 我 们 所 感 兴 趣 的 全 体 总 体 分 布 表 征 总 体 的 分 组 变 量 的 次 数 分 布 ， 与 总 体 均 值 、方 差 联 系 在 一 起 例 ： 某 班 学 生 按 性 别 分 组按 性 别 分 组 人 数 （ 频 数 ） 人 数 比 重 (频 率 )%男 生 30 60女 生 20 40 合 计 50 100 用 随 机 变 量 表 示 总 体 现 在 我 们 从 班 上 任 意 抽 取 一 名 学 生 ， 令 随 机

16、变量 X 表 示 该 名 学 生 的 性 别 ， 有 随 机 变 量 X 的 概 率 分 布 于 是 为 ： 发 现 ： 随 机 变 量 X 的 概 率 分 布 与 它 所 对 应 的 总体 的 次 数 分 布 完 全 一 致12X 该 学 生 为 男 生该 学 生 为 女 生X 1 2p i 0.6 0.4 概 率 分 布 与 总 体 分 布 我 们 可 以 用 一 个 随 机 变 量 来 表 示 一 个 总 体 ，这 个 随 机 变 量 的 概 率 分 布 就 是 该 总 体 分 布总 体 分 布 表 征 总 体 的 随 机 变 量 X的 概 率 分 布分 布 频 率 概 率均 值 期 望

17、方 差 方 差 样 本 从 总 体 中 按 照 随 机 原 则 抽 出 的 个 体 组 成 的小 群 体 设 X1, X2, Xn是 一 组 相 互 独 立 与 X具 有 相 同分 布 的 随 机 变 量 ， 称 (X1, X2, Xn)为 来 自 总体 X的 简 单 随 机 样 本 ， 简 称 样 本 ， n为 样 本容 量 X1, X2, Xn为 样 本 单 位 或 样 本 点 样 本 观 察 值 或 观 察 结 果 (x 1, x2, xn)称 为 样 本 值 总 体 与 样 本 我 们 可 以 用 一 个 随 机 变 量 X来 描 述 一 个 总 体 因 为 它 们 具 有 相 同 的

18、 概 率 分 布 以 及 相 同 的 数 字 特 征 ， 如 期 望 和 方 差 我 们 可 以 用 一 组 相 互 独 立 与 总 体 X具 有 相 同分 布 的 随 机 变 量 (X1, X2, Xn)来 描 述 一 个 样本 按 照 随 机 原 则 从 总 体 X中 抽 取 的 每 一 个 样 本 点一 定 与 总 体 X具 有 相 同 分 布 参 数 、 样 本 统 计 量 与 估 计 参 数 ： 与 总 体 有 关 的 数 字 特 征 总 体 的 均 值 m 与 方 差 s 总 体 原 点 距 、 中 心 距 等 样 本 统 计 量 ： 根 据 样 本 值 构 造 出 的 一 些 特

19、定 的 量 ， 是 样 本 的 函 数 ， 用 它 对 总 体 参 数进 行 估 计 时 ， 又 称 作 估 计 量 样 本 均 值 = ， 用 来 估 计 m； 样 本 方 差 = ， 用 来 估 计 s 2 样 本 矩 用 于 估 计 总 体 矩X2 211 ( )1 n iiS X Xn 样 本 分 布 样 本 分 布 样 本 统 计 量 的 概 率 分 布 样 本 统 计 量 是 随 样 本 不 同 而 变 化 的 量 ， 是 随 机变 量 ， 有 一 定 的 概 率 分 布 。 例 ： 已 知 一 个 盒 子 里 放 了 8 个 球 ， 每 个 球 的重 量 分 别 为 1 g， 2

20、 g， ， 8 g。 现 从 中 简 单 随机 （ 即 放 回 重 复 抽 取 ） 抽 取 2 个 球 ， 求 样 本平 均 重 量 的 概 率 分 布 。 两 个 球 的平 均 重 量 第 二 个 球 的 重 量1 2 3 4 5 6 7 8第 一个 球的 重量 1 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.52 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 53 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.54 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 65 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.56 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 77 4 4.5 5 5.5 6 6

21、.5 7 7.58 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 Xbar的 概 率 分 布64/18/18/1)1()1()1( 21 XPXPXP 64/22)8/18/1()1()2()2()1()5.1( 2121 XPXPXPXPXP X 1 1 .5 2 2 .5 3 3 .5 4 4 .5p 1 /6 4 2 /6 4 3 /6 4 4 /6 4 5 /6 4 6 /6 4 7 /6 4 8 /6 45 5 .5 6 6 .5 7 7 .5 8p 7 /6 4 6 /6 4 5 /6 4 4 /6 4 3 /6 4 2 /6 4 1 /6 4X 总 体 与 样 本 均 值 分

22、布 图 0.000 0.025 0.050 0.075 0.100 0.125 0.150 1 2 3 4 5 6 7 8 总 体 分 布 图 0.000 0.020 0.040 0.060 0.080 0.100 0.120 0.140 样 本 均 值 分 布 n = 2 n = 3 样 本 均 值 分 布 的 性 质 样 本 均 值 的 期 望 等 总 体 均 值 ： 因 为 来 自 总 体 的 简 单 随 机 样 本 X1, X2, , Xn相 互独 立 ， 并 与 总 体 具 有 相 同 的 分 布 ， 则 所 以 有 样 本 均 值 的 方 差 等 于 总 体 方 差 除 以 样 本

23、 容 量 含 义 ： 样 本 容 量 越 大 ， 样 本 均 值 越 稳 定m)(XE ( )iE X m1 1 1( ) ( ) ( )n ni i i iE X E X E X nn n n m m 222 21 1 1( ) ( ) ( )n ni ii iD X D X D X nn nn n ss 正 态 总 体 样 本 均 值 分 布 的 性 质 如 果 总 体 服 从 正 态 分 布 XN(m,s 2)， 则 其 样本 均 值 Xbar， 服 从 参 数 为 (m,s 2/n) 的 正 态 分布 ， 即 ： 并 有 2 ( , / )X N nm s (0,1)/XZ Nnms

24、样 本 均 值 性 质 的 Excel模 拟 模 拟 工 具 ： 随 机 数 发 生 器 从 均 值 为 3 ， 标 准 差 为 5 的 正 态 总 体 中 分 别抽 取 样 本 容 量 为 4 ， 1 0 ， 4 0 的 样 本 ， 每 种 样本 容 量 的 抽 取 各 重 复 2 0 0 0 次 观 察 不 同 样 本 容 量 下 的 样 本 均 值 的 描 述 统计 结 果 样 本 均 值 样 本 方 差 Xbar的 描 述 统 计 结 果样 本 容 量 n 4 10 40均 值 2.987733 3.038573标 准 误 差 这 里 的 n为 255 0.054672 0.03509

25、8中 值 3.019952 3.075469模 式 #N/A #N/A标 准 偏 差 S 2.444986 1.569619方 差 5.977957 2.463705峰 值 0.215253 -0.08111偏 斜 度 0.00546 0.000619区 域 19.95369 10.13068最 小 值 -6.21058 -1.94074最 大 值 13.74311 8.189938/S n 例 股 市 中 随 机 选 取 1 6 支 股 票 。 假 定 该 日 股 市 波 动幅 度 服 从 以 均 值 为 1 .5 ， 标 准 差 为 2 的 正 态分 布 。 试 问 所 选 取 的 1 6

26、 支 股 票 的 平 均 价 格 上 涨的 概 率 是 多 少 ？ 令 为 1 6 支 股 票 的 平 均 波 动 幅 度 则 =1 - normdist( 0 , 1 .5 %, 0 .5 %, true) = 9 9 .8 7 %， 所 选 取 的 1 6 支 股 票 的 平 均 价 格 上 涨 的 概 率 是 9 9 .8 7 %X )0( XP )16/2,5.1( 2NX Stata模 拟 从 l=3 的 指 数 分 布 总 体 中 分 别 抽 取 样 本 容 量为 4 ， 2 5 ， 4 0 0 的 样 本 ， 每 种 样 本 容 量 的 抽取 各 重 复 2 0 0 0 0 次

27、prog simu rndexp 4 3 /rnd用 于 生 成 各 种 分 布 中 的 随 机 数 qui sum xe /rndexp产 生 的 随 机 数 记 作 xe end simulate simu m=r(mean), reps(2 0 0 0 0 ) hist m,normal 分 布 图 0 1 2 3 y 0 1 2 3 4 5x 0 .2 .4 .6 .8 Density 1 2 3 4 5 6r(mean) 0 .1 .2 .3 Density 0 5 10 15r(mean) 0 .5 1 1.5 Density 2 2.5 3 3.5 4 4.5r(mean) l=

28、3 的 均 匀 分 布总 体 n=4 的 样 本 均 值 分 布 n=2 5 的样 本 均 值 分 布n=1 0 0 的样 本 均 值 分 布 作 业 1 5 .1 2 5 .1 3 设 由 自 动 线 加 工 的 某 种 零 件 的 内 径 X (mm) N (m ,1 )。 已 知 销 售 每 个 零 件 的 利 润 T (元 )与销 售 零 件 的 内 径 X 有 如 下 的 关 系 ： 问 平 均 直 径 m 为 何 值 时 , 销 售 一 个 零 件 的 平均 利 润 最 大 ？ 12,5 1210,20 10,1 XXXT 作 业 2 请 你 运 用 散 点 图 工 具 分 别 作

29、 一 下 均 值 和 标 准 差为 (0 , 1 ) 以 及 (-5 , 4 2 ) 的 正 态 分 布 的 概 率 密 度 图以 及 概 率 分 布 图 ， 并 回 答 以 下 问 题 ： 在 这 两 个 分 布 中 ， X落 在 以 均 值 为 中 心 ， 一 个 标 准差 为 半 径 的 区 间 中 的 概 率 分 别 为 多 少 ？ 请 写 出 你 所输 入 的 Excel函 数 形 式 。 你 从 计 算 的 结 果 中 得 到 了 什么 启 示 ？ 请 你 在 这 两 个 分 布 中 ， 分 别 找 到 一 个 以 均 值 为 中 心的 对 称 区 间 ， 保 证 X落 在 该 区 间 的 概 率 为 9 9 %。 请写 出 你 所 输 入 的 Excel函 数 形 式 。 你 从 计 算 出 的 这 两个 区 间 中 发 现 了 什 么 规 律 ？