第5章⑶协整分析与误差修正模型

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1、、长期均衡关系与协整二、协整检验三、误差修正模型第三节协整与误差修正模型12一、长期均衡关系与协整0、问题的提出经典回归模型(classical regression model)是建立在稳定数据变量基础上的， 对于非稳定变量，不能使用经典回归模型，否则会出现虚假回归等诸多问题。由于许多经济变量是非稳定的，这就给经典的回归分析方法带来了很大限 制。但是，如果变量之间有着长期的稳定关系，即它们之间是协整的(cointegration ，则是可以使用经典回归模型方法建立回归模型的。例如，中国居民人均消费水平与人均GDP变量的例子中：因果关系回归模型要比ARMA模型有更好的预测功能，其原因在于，从经

2、济 理论上说，人均GDP决定着居民人均消费水平，而且它们之间有着长期的稳定关 系，即它们之间是协整的(cointegration )。31、长期均衡经济理论指出，某些经济变量间确实存在着长期均衡关系，这种均衡关系意味 着经济系统不存在破坏均衡的内在机制，如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期 均衡点，则均衡机制将会在下一期进行调整以使其重新回到均衡状态。假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述Y t =aO+alX t +yt式中:yt是随机扰动项。该均衡关系意味着:给定X的一个值，Y相应的均衡值也随之确定为aO+alX。4在 t-1 期末，存在下述三种情形之一：（1）Y等于它的均衡值：Y t-1

3、= aO+alX t ；（2）Y小于它的均衡值：Y t-1aO+a1X t ；在时期t，假设X有一个变化量AX t，如果变量X与Y在时期t与t-1末期 仍满足它们间的长期均衡关系，则Y的相应变化量由式给出：AY t =alAX t +v t式中， v t =yt -yt-1 。5实际情况往往并非如此如果t-1期末，发生了上述第二种情况，即Y的值小于其均衡值，则Y的变 化往往会比第一种情形下Y的变化AY t大一些；反之，如果Y的值大于其均衡值，则Y的变化往往会小于第一种情形下的AY t 。可见，如果Y t =aO+alX t +咸正确地提示了 X与Y间的长期稳定的“均衡关系”，则意味着Y对其均衡

4、点的偏离从本质上说是“临时性”的。因此，一个重要的假设就是:随机扰动项咸必须是平稳序列。显然，如果咸有随机性趋势(上升或下降)，则会导致Y对其均衡点的任何 偏离都会被长期累积下来而不能被消除。6式Y t =a0+a1X t +yt中的随机扰动项也被称为非均衡误差(disequilibrium error)，它是变量X与Y的一个线性组合：pt =Y t aOalX t (*因此，如果Y t =aO+a1X t +pt式所示的X与Y间的长期均衡关系正确的话， (*)式表述的非均衡误差应是一平稳时间序列，并且具有零期望值，即是具有0 均值的1(0序列。从这里已看到，非稳定的时间序列，它们的线性组合也

5、可能成为 平稳的。例如：假设Y t =a0+a1X t +pt式中的X与Y是1(1序列，如果该式所表述的 它们间的长期均衡关系成立的话，则意味着由非均衡误差(*)式给出的线性组合 是1(0序列。这时我们称变量X与Y是协整的(cointegrated )。72协整如果序列Xlt ,X 2t，,X kt 都是d阶单整，存在向量a=(al, a2, , ak ，使得Z t = aX T I(d-b其中，b0, X =(Xlt ,X 2t , .,X kt T，则认为序列Xlt ,X 2t，,X kt 是(d,b 阶协整，记为X tCI(d,b, a为协整向量(cointegrated vector

6、)。在中国居民人均消费与人均GDP的例中，该两序列都是2阶单整序列，而且 可以证明它们有一个线性组合构成的新序列为0阶单整序列，于是认为该两序列是 (2,2阶协整。由此可见:如果两个变量都是单整变量，只有当它们的单整阶数相同时，才可 能协整；如果它们的单整阶数不相同，就不可能协整。8 三个以上的变量，如果具有不同的单整阶数，有可能经过线性组合构成低阶单 整变量。例如，如果存在：W t I (1, V t I (2, U t I (2并且P t =aV t +bU t I (1Q t =cW t +eP t I (0那么认为：V t , U t CI (2, 1W t , P t CI (1,

7、1从协整的定义可以看出:（d,d ）阶协整是一类非常重要的协整关系，它的经济意义在于：两个变量， 虽然它们具有各自的长期波动规律，但是如果它们是（d,d）阶协整的，则它们之 间存在着一个长期稳定的比例关系。例如：前面提到的中国CPC和GDPPC，它们各自都是2阶单整，并且将会 看到，它们是（2,2阶协整，说明它们之间存在着一个长期稳定的比例关系，从计量 经济学模型的意义上讲，建立如下居民人均消费函数模型CPC t =aO+alGDPPC t +咸变量选择是合理的，随机误差项一定是“白噪声”（即均值为 0，方差不变的稳 定随机序列），模型参数有合理的经济解释。这也解释了尽管这两时间序列是非稳定的

8、，但却可以用10经典的回归分析方法建立回归模型的原因。从这里，我们已经初步认识到：检验变量之间的协整关系，在建立计量经济 学模型中是非常重要的。而且，从变量之间是否具有协整关系出发选择模型的变量，其数据基础是牢固 的，其统计性质是优良的。11二、协整检验121、两变量的 Engle-Granger 检验为了检验两变量 Y t ,X t 是否为协整， Engle 和 Granger 于 1987 年提出两步检 验法，也称为 EG 检验。第一步，用OLS方法估计方程Y t =aO+alX t +yt并计算非均衡误差，得到:=a0+a1X t Y t=Y -Y ettt称为协整回归（cointegr

9、ating或静态回归（static regression。t 的单整性。如果 e t 为稳定序列，则认为变量 Y t , X t 第二步，检验 et为1阶单整，为（1,1阶协整；如果e则认为变量Y t , X t为（2,1阶协整；。13t 的单整性的检验方法仍然是 DF 检验或者 ADF 检验。 e由于协整回归中已含有截距项，则检验模型中无需再用截距项。如使用模型 1Ae t =8e t l+*i Ae t -i +sti =1p进行检验时，拒绝零假设H 0： 8=0，意味着误差项e t是平稳序列，从而说明X 与 Y 间是协整的。需要注意是，这里的 DF 或 ADF 检验是针对协整回t而非真正

10、的非均衡误差咸进行的。归计算出的误差项e而 OLS 法采用了残差最小平方和原理，因此估计量8是向下偏倚的，这样将导致拒绝零假设的机会比实际情形大。于是对e t平稳性检验的DF与ADF临界值应该比正常的DF与ADF临界值还 要小。14MacKinnon(1991通过模拟试验给出了协整检验的临界值，表9.3.1是双变量 情形下不同样本容量的临界值。表9.3.1双变量协整ADF检验临界值样本容量25 50 100 y0.01-4.37-4.12-4.01-3.90显著性水平0.05-3.59-3.46-3.39-3.330.10-3.22-3.13-3.09-3.0515例9.3.1检验中国居民人均

11、消费水平CPC与人均国内生产总值GDPPC的协整 关系。在前文已知CPC与GDPPC都是1(2序列，而2.10中已给出了它们的回归式CPC t =49. 764106+0. 45831GDPPC t R 2=0.9981通过对该式计算的残差序列作ADF检验，得适当检验模型飞=-1. 55e飞-1+1. 49Ae 飞1+2. 27Ae 飞-3Ae(-4.47)(3.93 (3.05LM(1=0.00 LM(2=0.00t=-4.47v-3.75=ADF0.05，拒绝存在单位根的假设，残差项是稳定的，因此中国 居民人均消费水平与人均GDP是(2,2阶协整的，说明了该两变量间存在长期稳定 的“均衡”

12、关系。162、多变量协整关系的检验一扩展的E-G检验多变量协整关系的检验要比双变 量复杂一些，主要在于协整变量间可能存在多种稳定的线性组合。假设有4个1(1变量Z、X、Y、W，它们有如下的长期均衡关系：Z t =aO+alW t +a2X t +a3Y t +yt (*其中，非均衡误差项咸应是1(0序列：pt =Z t aOalW t -a2X t -a3Y t (*17然而，如果Z与W，X与Y间分别存在长期均衡关系：Z t =P0+P1W t +v 1tX t =y0+y1Y t +v 2t则非均衡误差项v 1t、v 2t 一定是稳定序列1(0。于是它们的任意线性组合也 是稳定的。例如v t

13、 =v 1t +v 2t =Z t p0Y0p1W t +X t 丫1丫 t (*一定是I(0序列。由于vt象（*）式中的咸一样，也是Z、X、Y、W四个变量的线性组合， 由此（*）式也成为该四变量的另一稳定线性组合。（1, -a0,-al,-a2,-a3）是对应于（* ）式的协整向量，（1,-卩0-丫0,-卩1,1,-丫1）是 对应于（*）式的协整向量。18检验程序：对于多变量的协整检验过程，基本与双变量情形相同，即需检验变量是否具有 同阶单整性，以及是否存在稳定的线性组合。在检验是否存在稳定的线性组合时，如果不平稳，。当所有的变量都被作为被解释变量检验之后，仍不能得到平稳的残差项序列， 则认

14、为这些变量间不存在（d,d）阶协整。19同样地，表9.3.2给出了 MacKinnon（1991通过模拟试验得到的不同变量协整 检验的临界值。表 9.3.2 多变量协整检验 ADF 临界值样本容量2550100*变量数=3 显著性水平 0.010.050.1-4.92-4.1-3.71-4.59-3.92-3.58-4.44-3.83-3.51- 4.30-3.74-3.45变量数=4显著性水平0.010.050.1-5.43-4.56-4.15-5.02-4.32-3.98-4.83-4.21-3.89-4.65-4.1-3.81变量数=6显著性水平 0.010.050.1-6.36-5.4

15、1-4.96-5.78-5.054.69-5.51-4.88-4.56-5.24-4.7-4.42202、多变量协整关系的检验一JJ检验Johansen于1988年，以及与Juselius于1990年提出了一种用极大或然法进行 检验的方法，通常称为JJ检验。高等计量经济学（清华大学出版社，2000年9月）P279-282.E-views 中有 JJ 检验的功能。2122三、误差修正模型然而，这种做法会引起两个问题：(1 如果 X 与 Y 间存在着长期稳定的均衡关系Y t =aO+alX t +yt且误差项yt不存在序列相关，则差分式AY t =a1AX t +vt中的vt是一个一阶移动平均时间

16、序列，因而是序列相关的；(2 如果采用差分形式进行估计，则关于变量水平值的重要信息将被忽略，这 时模型只表达了 X 与 Y 间的短期关系，而没有揭示它们间的长期关系。因为，从长期均衡的观点看， Y 在第 t 期的变化不仅取决于 X 本身的变化，还 取决于 X 与 Y 在 t-1 期末的状态，尤其是 X 与 Y 在 t-1 期的不平衡程度。另外，使用差分变量也往往会得出不能令人满意回归方程。24例如，使用AY t =a1AX t +vt回归时，很少出现截距项显著为零的情况，即我 们常常会得到如下形式的方程：八O+aJAX t +v t AY t =a0#0a(*在X保持不变时，如果模型存在静态均

17、衡(static equilibrium)， Y也会保持 它的长期均衡值不变。但如果使用(*)式，即使 X 保持不变， Y 也会处于长期上升或下降的过程中 (Why? ，这意味着 X 与 Y 间不存在静态均衡。这与大多数具有静态均衡的经济理论假说不相符。可见，简单差分不一定能解决非平稳时间序列所遇到的全部问题，因此，误差 修正模型便应运而生。25误差修正模型（Error Correction Model，简记为ECM ）是一种具有特定形式 的计量经济学模型，它的主要形式是由Davidson、Hendry、Srba和Yeo于1978 年提出的，称为DHSY模型。为了便于理解，我们通过一个具体的模

18、型来介绍它的结构。假设两变量X与 Y 的长期均衡关系为:Y t =aO+alX t +yt由于现实经济中X与Y很少处在均衡点上，因此实际观测到的只是X与Y间 的短期的或非均衡的关系，假设具有如下（1,1阶分布滞后形式Y t =P0+P1X t +P2X t 1+jiY t -1+st该模型显示出第t期的Y值，不仅与X的变化有关，而且与t-1期X与Y的 状态值有关。 26AY t =piAX t 九（Y t 1aOalX t 1 +st（*）式可以写成：AY t =p1AX t 九ecm +st （*）称为一阶误差修正模型（first-order error correction model。（

19、 * ）其中:ecm表示误差修正项。由分布滞后模型Y t =P0+P1X t +P2X t 1+jiY t 1+st知，一般情况下|山1，由关系式九=1-卩得0九1。可以据此分析ecm的修正作 用：（1若（t-1时刻Y大于其长期均衡解a0+a1X，ecm为正，贝O（-Xecm为负，使得 AY t 减少；(2若(t-1时刻Y小于其长期均衡解aO+alX , ecm为负，贝O(-Xecm为正，使得 AY t增大。(*)体现了长期非均衡误差对的控制。28需要注意的是：在实际分析中，变量常以对数的形式出现。其主要原因在于变量对数的差分近似地等于该变量的变化率，而经济变量的变 化率常常是稳定序列，因此适

20、合于包含在经典回归方程中。于是:(1 长期均衡模型Y t =aO+a1X t +yt中的al可视为Y关于X的长期弹性(long-run elasticity)(2短期非均衡模型Y t =PO+P1X t +P2X t-l+pY t-l+st中的pl可视为Y关于X的短期弹性(short-run elasticity)。2、误差修正模型的建立1）Granger 表述定理误差修正模型有许多明显的优点：如a ）一阶差分项的使用消除了变量可能存在的趋势因素，从而避免了虚假回归 问题；b ）一阶差分项的使用也消除模型可能存在的多重共线性问题；c ）误差修正项的引入保证了变量水平值的信息没有被忽视；d ）由

21、于误差修正项本身的平稳性，使得该模型可以用经典的回归方法进行估 计，尤其是模型中差分项可以使用通常的t检验与F检验来进行选取；等等。因此，一个重要的问题就是：？32就此问题，Engle与Granger 1987年提出了著名的Grange表述定理（Granger representaiontheorem ）：如果变量 X 与 Y 是协整的，则它们间的短期非均衡关系 总能由一个误差修正模型表述：AY t =lagged （AY , AX 九pt -1+st 0九1 （*）式中，卩九是t-1是非均衡误差项或者说成是长期均衡偏差项，短期调整参数。对于（1,1 阶自回归分布滞后模型Y t =P0+P1X

22、 t +P2X t-1+pY t-1+st如果Yt1（1, Xt1（1 ;那么AY t =piAX t 九（Y t 1aOalX t 1 +st的左边AY t1（0，右边的AX t1（0，因此，只有Y与X协整，才能保证右边 也是 I（0。33因此，建立误差修正模型，需要首先对变量进行协整分析，以发现变量之间的协整关系，即长期均衡关系，并 以这种关系构成误差修正项。然后建立短期模型，将误差修正项看作一个解释变量，连同其它反映短期波动 的解释变量一起，建立短期模型，即误差修正模型。注意，由于AY=lagged（AY, AX+ 九yt-1 +st 0九1中没有明确指出Y与X的滞后项数，因此，可以是多

23、个；同时，由于一阶差 分项是1（0变量，因此模型中也允许使用X的非滞后差分项AX t。Granger表述定理可类似地推广到多个变量的情形中去。34（2）Engle-Granger 两步法由协整与误差修正模型的的关系，可以得到误差修正模型建立的E-G两步 法：第一步，进行协整回归（OLS法），检验变量间的协整关系，估计协整向量长期均衡关系参数）；第二步，若协整性存在，则以第一步求到的残差作为非均衡误差项加入到误差 修正模型中，并用 OLS 法估计相应参数。需要注意的是：35（3）直接估计法也可以采用打开误差修整模型中非均衡误差项括号的方法直接用OLS法估计 模型。但仍需事先对变量间的协整关系进行

24、检验。如对双变量误差修正模型AY t =P1AX t f（Y t -1-aO-alX t -1 +st可打开非均衡误差项的括号直接估计 下式：AY t =Xa0+piAX t 九Y t 1+九alX t -1+st这时短期弹性与长期弹性可一并获得。需注意的是，用不同方法建立的误差修正模型结果也往往不一样。36例9.3.2中国居民消费的误差修正模型经济理论指出，居民消费支出是其实际收入的函数。以中国国民核算中的居民 消费支出经过居民消费价格指数缩减得到中国居民实际消费支出时间序列（C）； 以支出法GDP对居民消费价格指数缩减近似地代表国民收入时间序列（GDP时间段为19782000 （表9.3.

25、3）表9.3.3 19781998年间中国实际居民消费与实际GDP数据（单位：亿元， 1990年价）年份 1978197919801981198219831984C GDP 年份 3810 4262 4581 5023 5423 5900 663378098658899894541038011265129331985198619871988198919901991C GDP 年份7579802586169286878891139977145211571417031178891697618320205811992199319941995199619971998C 1132512428132881

26、4693161891707218230GDP23509 27340 29815 31907 34406 36684 3900837(1)对数据lnC与InGDP进行单整检验容易验证lnC与lnGDP是一阶单整的，它们适合的检验模型如下：Ain C t =0. 056-0. 744Aln C t -1 (2.76 (-3.23LM(1=0.929 LM(2=1.1212A2ln GDP t =0. 13-1. 54Aln GDP t -1+0. 81A2ln GDP t -1+0. 59A2ln GDP t -2+0.58A2ln GDP t -3(3.81(-4.01)( 2.66)2.26)

27、(2.54)LM(1=0.38 LM(2=0.67 LM(3=2.34 LM(4=2.4638(2)检验lnC与InGDP的协整性，并建立长期均衡关系首先，建立lnC与 lnGDP 的回归模型ln C t =0. 047+0. 923ln GDP t( 0.30) (57.48R 2=0.994 DW=0.744发现有残关项有较强的一阶自相关性。考虑加入适当的滞后项，得lnC与 lnGDP 的分布滞后模型ln C t =0. 152+0. 698ln GDP t +0. 622ln C t -1-0. 361ln GDP t -1(1.63 (6.62)( 4.92)( -2.17)R 2=0

28、.994 DW=1.92 LM(1=0.00 LM(2=2.31自相关性消除，因此可初步认为是lnC与lnGDP的长期稳定关系。(*39残差项的稳定性检验：飞=-0. 9975e 飞-1Ae-4.32)R 2=0.994 DW=2.01 LM(1=0.04 LM(2=1.34t=-4.32-3.64=ADF0.05说明 lnC 与 lnGDP 是(1，1)阶协整的，(*)式即为它们长期稳定的均衡关系:ln C t =0. 152+0. 698ln GDP t +0. 622ln C t -1-0. 361ln GDP t -140(3) 建立误差修正模型飞做为误差修正项，可建立如下以稳定的时间

29、序列 e 误差修正模型：飞-1 A In Ct = 0.686A In GDPt + 0.784A In Ct -1 0.484A In GDPt -1 - 1.163e (* (6.96) R2=0.994 (2.96 DW=2.06 (-1.91 LM(1=0.70 (-3.15 LM(2=2.04 由(*式 ln Ct = 0.152 + 0.698 ln GDPt + 0.622 ln Ct -1 - 0.361ln GDPt -1 可得 lnC 关于 lnGDP 的长期弹性： (0.698-0.361/(1-0.622=0.892； 由(*)式可得 lnC 关于 lnGDP 的短期弹

30、性：0.686 41下面用打开误差修正项括号的方法直接估计误差修正 模型，适当估计式为： A ln C t = 0.153 + 0.698A ln GDPt - 0.378 ln C t -1 + 0.337 ln GDPt -1 (1.63) (6.62) (-2.99 (2.88 R2=0.791 =0.0064 DW=1.93 LM(2=2.31 LM(3=2.78 写成误差修正模型的 形式如下 A ln C t = 0.698A ln GDPt - 0.378(ln C t -1 - 0.405 - 0.892 ln GDPt -1 (* 由(*)式知， lnC 关于 lnGDP 的短

31、期弹性为 0.698， 长期弹性为 0.892。 可见两 种方法的结果非常接近。 42(4) 预测 由(*式 ln Ct = 0.152 + 0.698 ln GDPt + 0.622 ln Ct -1 - 0.361ln GDPt 1给出1998年关于长期均衡点的偏差：八98 =ln(18230-0.152-0.6981n(39008- 0.6621n(17072 e +0.3611n(36684= 0.0125 由(*)式飞1 A ln Ct = 0.686A ln GDPt + 0.784A ln Ct -1 - 0.484A ln GDPt -1 - 1.163e 预测 1999 年的

32、短期波动：AlnC99=0.686(ln(41400-ln(39008+0.784(ln(18230-ln(17072 -0.484(ln(39008-ln(36684- 1.163x0.0125= 0.048 43于是 ln C 99 = 0.048 + ln C 98 = 0.048 + ln(18230 = 9.859 C 99 = e 9.859 = 19125 按照(* )式 A ln C t = 0.698A ln GDPt 0.378(ln C t -1 0.405 0.892 ln GDPt -1 预测的结果为：AlnC99=0.698 (ln(41400-ln(39008-0.378(ln(18230-0.405 - 0.8921n(39008=0.051 于是 ln C 99 = 0.051 + ln C 98 = 0.051 + ln(18230 = 9.861 C 99 = e 9.861 = 19176以当年价计的1999年实际居民消费支出为39334亿元，用居民消 费价格指数(1990=100)紧缩后约为19697亿元，因此：两个预测结果的相对误 差分别为2.9%与 44 2.6%。