无穷小量与无穷大量

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1、4/11/2021 2:06 PM 2.3 无穷小量与无穷大量 1. 无穷小量 2. 无穷大量 3. 无穷小量与无穷大量的关系 4/11/2021 2:06 PM 1. 无穷小量 【 定义 2.5】 以 0为极限的变量， 例 1 因为 ， 1lim 02 nn 变量 为无穷小量。 12n ny 第 2章 极限与连续 小量（ 简称为 无穷小） 。 过程中， 0 即对任意给定的 ， y 不等式 恒成立， 总有那么一个时刻， 在那个时刻以后， y若在变量 的变化 y则称变量 为无穷小量。 称为 无穷 n所以当 时， 4/11/2021 2:06 PM 例 2 因为 ， 1li m 0 x x 变量

2、为无穷小量。 1y x 例 3 因为 ， 20lim 0 x x 变量 为无穷小量。 2yx 说明 （ 1）不要将无穷小量与很小的数 第 2章 极限与连续 x 所以当 时， 0 x 所以当 时， 10010（如 ）混为一谈 ， 小量的常数。 0是唯一一个是无穷 4/11/2021 2:06 PM （ 2）无穷小量与变化过程有关。 例如 当 时是无穷小量； 2yx 0 x 当 时就不是无穷小量。 1x 因为 211li m li m 1 0 xxyx 第 2章 极限与连续 4/11/2021 2:06 PM 无穷小量与变量极限的关系 【 定理 】 lim yA yA 其中 为同一变化过程中的无穷

3、小量。 证明 lim yA 0 总有那么一 个时刻， 恒成立。 令 yA lim 0 , 即 故 是无穷小量， 证毕。 第 2章 极限与连续 在那个时刻以后， yA 不等式 yA 且 4/11/2021 2:06 PM 【 定理 】 有界变量与无穷小量的乘积是 证明 即存在一个正数 ， M ( 1 )yM ( 2 )M 又设 是无穷小量， 第 2章 极限与连续 无穷小量 。 在这一时刻之后， 恒有 么一个时刻， 0即 ， 总存在那 在那个时刻以后，恒有 y设 在某个时刻之后是有界变量， 4/11/2021 2:06 PM 在上述两个时刻中较晚的那个时刻以后， 因此，在那个较晚的时刻以后， yy

4、 成立， 证毕。 【 推论 】 常量与无穷小量的乘积是无穷 第 2章 极限与连续 （ 1）和（ 2）都成立。 恒有 y所以 是无穷小量。 M M 小量。 4/11/2021 2:06 PM 例 4 求 0 1lim si nx x x 解 因为 ， 1si n 1x 又 0lim 0 ,x x 所以当 时， 0 x 与无穷小量的乘积， 0 1li m si n 0 x x x 则 第 2章 极限与连续 1sin x所以 是有界变量 1sinx x是有界变量 4/11/2021 2:06 PM 2. 无穷大量 引例 讨论函数 当 时的 1 1y x 1x O x y 1 11xy 如图所示 1

5、1y x 可以任意的大。 称当 时， 是一个无穷大量。 1x 1 1y x 在 无限接近 1的过程中， x 第 2章 极限与连续 变化趋势。 4/11/2021 2:06 PM 【 定义 2.6】 若对任意给定的正数 ， E 变量 是 无穷大量 ， y 例如 1 1lim 1x x 21 1lim ( 1 )x x 0lim lnx x 2lim x x 第 2章 极限与连续 y变量 在其变化过程中， 在那个时刻以后， 总有那么一个时刻， yE不等式 恒成立， 则称 lim y 记作 y或称变量 趋于 无穷大 。 4/11/2021 2:06 PM 说明 （ 1）无穷大量（ ）不是数 ， 10

6、 0 10 0l i m 10 10 （ 2）无穷大量与变化过程有关。 1 1lim 1x x 但 2 1li m 1 1x x 在 时，变量 是无穷大量； 1x 1 1y x 在 时，变量 不是无穷大量； 2x 1 1y x 第 2章 极限与连续 10010不可与很大的数（如 ）混为一谈。 4/11/2021 2:06 PM （ 3）无穷大量一定无界 ； c o sy x x 例如 函数 ( ) c o sf x x x 如图所示 取 ，则 2xn ( 2 ) ( )f n n 取 ，而 2xn ( ) 0 ( )2f n n 所以， 时， x 函数无界。 第 2章 极限与连续 成立。 反之

7、，不一定 无穷大量。 ( ) c o sf x x x函数 不是 4/11/2021 2:06 PM 3. 无穷小量与无穷大量的关系 【 定理 】 在变量 的变化过程中 y （ 1）若 是无穷大量， y （ 2）若 是无穷小量， ( 0)y 证明 （ 1）若 是无穷大量， y 总有那么一个时刻， 1y 即 1 , y 因此 是无穷小量。 1 y 第 2章 极限与连续 0,则对 在那个时刻之后，恒有 1 y则 是无穷小量； 1 y则 是无穷大量。 4/11/2021 2:06 PM 同理可证（ 2），证毕。 由此定理知， 例 2limx x 21lim 0 x x 2 0lim 0 x x 2

8、0 1lim x x 第 2章 极限与连续 以相互转化的。 无穷大和无穷小的问题是可 4/11/2021 2:06 PM 内容小结 1.无穷大量与无穷小量的概念 2.无穷大量与无穷小量的关系 -互为倒数关系。 3.无穷小量与变量极限的关系 第 2章 极限与连续 4/11/2021 2:06 PM 备用题 证 0M 要使 1 2 1 122xy x x x M 只要 1 ,2x M 取 1 ,2M 当 时 0 x 有 ,yM 12 xy x即函数 是无穷大量。 1.根据定义证明： 第 2章 极限与连续 时的无穷大量。 0 x 12 xy x函数 为当 4/11/2021 2:06 PM 2.根据

9、无穷大量的定义，填写下表 0 xx x ()fx ()fx ()fx 0, 0MX xX当 时 ()f x M有 0 , 0M 00 xx 当 时 ()f x M有 0 , 0M 0 xx 当 时 ()f x M有 0 xx 当 时 0 , 0M ()f x M有 , 0MX xX当 时 ()f x M有 , 0MX xX当 时 ()f x M有 第 2章 极限与连续 4/11/2021 2:06 PM 3.证明 函数 在区间 上无界， 11siny xx (0,1 证 0,M取 1 , 2 2 x n 当 时 2 2 M n ,yM 所以函数无界。 当 时， 12x n 0,y 而 时， n 0 x 即在 邻域内， 0 x 函数不是无穷大量。 第 2章 极限与连续 0 x 但函数不是 时的无穷大量。 因此， 0y 总存在 的点， 4/11/2021 2:06 PM 4. （ 2007） 32 3 1l i m ( si n c os ) 2 xx xx xx x 第 2章 极限与连续 解 32 3 1l i m 0 2 xx xx x s in c o s 2xx 因此 32 3 1l i m ( si n c os ) 0 2 xx xx xx x 有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小。 0