大学文科数学-张国楚-集合、实数、极限

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1、第一章 微积分的基础问题 集合、实数、极限 教学目标：本章的目标是介绍集合、实数和极限。要 求了解集合、实数与极限在微积分中的作用。了解我 国数学家祖冲之在我国古代数学中所作出的杰出贡献。 教学重点：集合、实数与极限在微积分中的作用、邻 域的概念。 教学难点：极限概念及其在微积分中的作用、邻域的 概念。 教学时数： 6学时。 教学内容： 1 极限、实数与集合在微积分中的作 用 2 实数系的建立及邻域的概念 3 变量无限变化的数学模型 极限 数学家启示录 （一）数学之神 阿基米德 （二）我国古代伟大数学家 祖冲之 1 极限、实数与集合在微积分中的作用 微 积 分 极 限 理 论 实 数 理 论

2、自 然 数 集 合 论 从左到右，左边的理论为右边理论的基础。 布置作业 必作题：无 选作题：无 思考题： 推动微积分不断向前发展的因 素有哪些？哪些数学家对微积分的完善 与发展做出了重大贡献，各自的成就有 哪些？ 2 实数系的建立及邻域的概 念 2.1实数系的演变及性质 自 然 数 集 实 数 集 有 理 数 集 整 数 集 （ 1） （ 2） （ 3） （ 1）是为了使在自然数范围内减法运算也封闭。 （ 2）是为了使在整数范围内除法运算也封闭。 （ 3）数轴上除了有理点之外的成为无理数，合称为实数。 有理数集稠密，但不连续；实数集则连续。 2.2刻画极限的邻域概念 与点 的距离小于 的全体

3、实数的 集合称为点 的邻域。记作： ，称 为邻域的中心， 称为邻域的半径。这一 邻域可用集合符号表示为 。 如果点 的 邻域 不包括点 ， 则称为点 的去心邻域。 0 x 0 0 x ,0 xU 0 x 0 xxx 0 x ,0 xU 0 x 0 x 例题：用邻域符号和区间符号分别表示不 等式 所确定的 的范围。 解： 0212 x x 42 1 42 1 42 1 42 1 , 42 1 2 12 ， 示为：的邻域。用区间符号表 为半径为中心、以所以它表示以 。即得由 xxx 布置作业 必作题：无 选作题：无 思考题：实数系的演变过程是怎样的 ？ 3 变量无限变化的数学模型 极 限 3.1数

4、列极限（概念） 以正整数为自变量的函数 ，当 n依次 取 ， 称为无穷数列 ，简称数列。数列中的各个数 称为数列的项， 称为数列的通项。数 列常简记为 。 )(nfy 321,3,2,1 ，）（所得到的一列函数值 iifa i )(nfan na 1.数列极限的定性描述 定义 1：如果 n无限增大时，数列 的 同项 无限趋近于常数 a，则称该数列 以 a为极限，记作 其中 表示 n无限增大，此时也称为 该数列收敛；如果 时，不以任何常 数为极限，则称数列 发散。 na na .li m naaaa nnn 或 n n na 无穷小量：以零为极限的变量称为无穷 小量。 绝对值无限变大的变量称为无

5、穷大量。 常数列的极限仍是该常数。 时的无穷小量。就是 nn21 2.数列极限的定量描述 定义 2：如果对于任意正数 （无论它有 多小），总存在相应的正整数 N，使得满 足 nN的一切 n，能使不等式 恒成立，则称数列 以 a为极限，记作： aan na ).(,lim naaaa nnn 或 例 证明： .0 2 1lim nn 证明：设为任意小的正数 ，由 （不妨设 ）求 N： nn 2 10 2 1 1 . 2lg lg , 1 2 nn 即 取 由前面的推导过程可知，则当 nN 时，就有 ,2lglg N 得证。恒成立 ,0 2 1 n 3.数列极限中蕴含的辨证思想 极限的取得是变化过

6、程与变化结果的对 立统一。 极限是有限与无限的对立统一。 极限的取得体现了近似与精确的对立统 一。 3.2函数极限 1.自变量 无限趋进于有限数 的情形 定义 1：设函数 在点 的近旁有定 义（在点 处可以无定义）。如果对 于任意正数 （不管它有多小），总存 在相应的正数 ，使得满足 的一切 能使 恒成立，则 称函数 当 时以 A极限，记作： ，该定 义又称为“ ” 定义。 x 0 x )(xfy 0 x 0 x 00 xx x Axf )( )(xf 0 xx )()()(lim 00 xxAxfAxfxx 或 例：证明： 。 00lim xxxx 证明：对任意给定的 ，要使 成立，只需取

7、，显然当 时， 恒成立，所以原式成立。 0 0 xxAxf 00 xx 0 xxAxf 2.左极限和右极限（不作为讲解内容） 3.自变量的绝对值无限增大时的情形 . 2 a r c t a nlim, 2 a r c t a nlim ).(lim)(lim )(00 .0 1 lim0 , 1 )( ,)( xx xfxf xfx x x A xxx x xf xxfy xx xx x 例如： 或 的极限分别记作时，函数或 当为极限，记作：以常数 时，该函数或即当 见的绝对值无限变小，可函数 无限增大时，当而言对于函数 4.函数极限的性质 ).0(0 ),0(0lim 000 0 0 0 x

8、f xUxxUx Axf xfx xfxx xx 恒有，对一切的某邻域在点 则存是正（负）数。即若 也数值的某一去心邻域内，函数，则在点 的极限值是正（负）函数定理：如果 正是所要证明的。 分成立，不等式的左半部即 恒成立，时，使得当 ，则存在相应的正数定义可知，若限定任意 ”所以由“证明：由于 AAxfAA AAxfxx A xxAxf 0 )(0 , ),(,0 0 0 .0,lim ,0 0 AAxf xf xx 那么且 非负。即如果定理：非负函数的极限 成立。假设不不成立，原命题 的假设矛盾，故这与的某邻域内 在由以前所学定理可知，不成立，即设 证明：（反证法） 0.0 .00 0 x

9、fxfx AA .li mli m, , 00 0 BAxgxfBxg Axfxxxgxf xxxx ，即则 时，且当推论：若 3.3无穷小量 1.无穷小量的概念（前面已介绍过） 定理：函数 f（ x）在某个极限过程中以常 数 A为极限的充分必要条件是，函数 f（ x） 能表示为常量 A与无穷小量 之和的形 式， f（ x） = A+ 。 2.无穷小量的性质 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。 有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量。 无穷小量与无穷小量的乘积仍是无穷小量。 常量与无穷小量的乘积是无穷小量。 无穷小量（ 0除外）的倒数是无穷大量。 无穷大量的倒数是无穷小量。 3.无穷小量阶的比较

10、 如果在某个极限过程中两个无穷小量 与 之比的极限是非零常数，表明这两个无 穷小量趋近于 0的速度处于同一个级别， 则称 与 是同阶无穷小；特别地，当这 个常数等于 1时，则称 与 是等价无穷小； 如果这个常数是 0，则 是较 高阶的无穷 小；如果比值趋于无穷，则 是较 低阶 的无穷小。 3.4极限的四则运算 定理：有限个变量代数和的极限等于极限 的代数和； 定理：有限个变量之积的极限等于极限之 积。 推论：常数可以提到极限符号外。 推论：正整指数幂的极限等于极限的幂。 定理：当分母的极限不等于 0时，两个变量 之商的极限定语极限之商。 例 1 求 ).53(li m 22 xxx 解 )53

11、(lim 22 xxx 5lim3limlim 22 2 2 xxx xx 5limlim3)lim( 22 2 2 xxx xx 22 23 5 3 注： 设 ,)( 110 nnn axaxaxf 则有 )(li m 0 xfxx n n xx n xx axaxa 1 10 )lim()lim( 00 nnn axaxa 10100 ).( 0 xf 完 例 2 求 .275 92lim 2 2 3 xx x x 解 275 92lim 2 2 3 xx x x )275(l i m )92(l i m 2 3 2 3 xx x x x 23735 932 2 2 .229 注 ： 设

12、,)( )()( xQ xPxf 且 ,0)( 0 xQ 则有 )(li m 0 xfxx )(lim )(lim 0 0 xQ xP xx xx )( )( 0 0 xQ xP ).( 0 xf 当 0)( 0 xQ 时， 则商的法则不能应用 . 完 例 3 求 .32 1l i m 2 2 1 xx x x 解 1x 时 , 分子和分母的极限都是零 . 此时应先 约去不为零的无穷小因子 1x 后再求极限 . )1)(3( )1)(1(lim 32 1lim 12 2 1 xx xx xx x xx .2131lim1 xxx 消去零因子法 完 例 4 计算 .35 4lim 4 x x x

13、 解 当 4x 时 , ,0)35( x 不能直接使用商的极限运算法则 . 但可采用分母有理化消去分母中趋向于零的因子 . )35)(35( )35)(4(lim 35 4lim 44 xx xx x x xx 4 )35)(4(lim 4 x xx x )35(lim4 xx .635lim 4 xx 完 12 14l i m5 2 2 1 x x x 求：例 .13 12.6 3 3 lim n nn n 求：例 212lim 2 1 x x 解：原式 3 2 1 3 11 2 3 32 l i m l i m n nn n n解：原式 定理 2(复合函数的极限运算法则 ) 设函数 )(

14、xgfy 是由函数 )(ufy 与函数 )(xgu 复合而成 , 若 ,)(l i m 00 uxgxx ,)(l i m0 Aufuu 则 )(lim 0 xgfxx )(l i m 0 ufuu .A ,)( 0uxg 且在 的某去心邻域内有 0 x 注 : 若函数 )(uf )(xg和 满足该定理的条件 , 则作代换 ),(xgu 可把求 )(lim 0 xgfxx 化为求 ),(lim 0 ufuu 其中 ).(l i m00 xgu xx 定理 2表明 : 完 例 7 计算 .2s i nlim0 xx 解 令 ,2xu 则函数 xy 2s inxu 2 构成的复合函数 . 因为 ,

15、0 x 且 0u 时 ,0sinu 所以 .0sinlim2sinlim 00 ux ux 完 可视为由 ,si nuy ,02 xu 例 8 计算 .2lim 1xx 解 令 ,1xu 则 ,01lim xx 且 ,12lim0 uu 所以 .12l i m2l i m 0 1 u u x x 完 例 9 解 求 .t a nli m0 x xx xx x x x xx cos 1s inlimt anlim 00 xx x xx co s 1limsinlim 00 .1 完 例 10 求 .3s inlim0 x xx 解 x x x x xx 3 3sin3l i m3sinl i m

16、 00 .3 tx3令 t t t s inlim3 0 完 例 11 解 求 . c o s1lim 20 x x x 原式 2 2 0 2s i n2lim x x x 2 2 0 2 2 si n l i m 2 1 x x x 2 0 2 2 si n l i m 2 1 x x x 21 2 1 . 2 1 完 例 12 求 .2s in 2s inli m 0 xx xx x 解 x x x x xx xx xx 2sin 1 2sin1 li m 2sin 2sinli m 00 x x x x x 2 2s i n21 2 2s i n21 lim 0 .3121 21 完 例

17、 13 解 求 . 11l i m 3 x x x 31 1l i m x x x 31 111l i m xx x x 31 111lim xx x x 1e .e 完 例 14 解 求 .11l im x x x x x x 11lim x x x 11lim 1 11lim x x x xx x 11 1lim .1e 完 . 3 115 lim x x x ：求例题 ，有解：作变量代换，令 uxxu 3,31 于是得：时，显然，当 . ux u u x x ux 31 131 l i ml i m 3 3 11lim e u u u 例 16 求 .)1(lim 1 0 y y y 解

18、 令 ,1xy ,x则 0y 时 , 于是 .11l i m)1(l i m 1 0 exy x x y y 注 : 本例的结果 .)1(l i m 1 0 ey y y 今后常作为公式使用 . 完 例 17 解 求 .2 3l i m 2 x x x x x x x x 2 2 3l im 2 2 11lim x x x 222 2 11lim x x x 422 2 11 2 11lim xx x x .2e 完 数学家启示录 数学之神 阿基米德 阿基米德是古希腊大数学家、大物 理学家，公元前 287年生于西西里岛的叙 拉古，公元前 212年被罗马入侵者杀害。 （ 1）阿基米德的主要成就是在纯几何方 面； （ 2）阿基米德是一位运用科学知识抗击 敌人入侵的爱国主义者。 我国古代伟大数学家 祖冲之 祖冲之（ 429500），我国南北朝时期的伟大科学家、 数学家，生于刘宋文帝元嘉六年，卒于南齐东昏侯永 元二年，他天资聪明，勤奋好学。 （ 1）在天文、历法方面，祖冲之制定了“大明历”； （ 2）在数学方面，祖冲之求出圆周率在 3.1415926与 3.1415927之间。 （ 3）在生产应用方面，祖冲之改造了指南车，制作了 水推磨等。 （ 4）祖冲之兴趣广泛，在哲学、音乐等方面均有很深 的造诣。 布置作业 思考题： 阿基米德与祖冲之在数学上都有哪些重 大贡献，对我们有哪些启示？