考研数学冲刺模拟卷数学二

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1、考研数学冲刺模拟卷(数学二） 答案与解析 一、选择题：1~８小题，每题4分，共3２分，下列每题给出的四个选项中,只有一项符合题目规定的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上． （１)若函数在处持续,则( ） (A）ﻩ ﻩ(B)ﻩﻩﻩﻩ(C)ﻩﻩﻩﻩ（D) 【答案】Ａ． 【解析】在处持续选A． (２)设二阶可导函数满足且,则( ） (A) （Ｂ)　(C)　(D） 【答案】A. 【解析】为偶函数时满足题设条件，此时,排除Ｃ,D. 取满足条件，则,选A. （3）设数列收敛，则( 　) (A)当时, (B）当时, （C)当时, (D)当时,

2、【答案】D． 【解析】特值法：(A）取,有，A错; 取,排除B,C.因此选D. (4）微分方程的特解可设为（ 　　) (Ａ) 　 (B） (C） 　　　　　 （D） 【答案】C. 【解析】特性方程为:， 由于，故,选C． (５)设具有一阶偏导数，且对任意的,均有，则 （A） （B) (C） (Ｄ) 【答案】C. 【解析】是有关的单调递减函数,是有关的单调递增函数, 因此有,故答案选C. （6）甲乙两人赛跑,计时开始时，甲在乙前方1０（单位:ｍ)处，图中实线表达甲的速度曲线(单位:),虚线表达乙的速度曲线,三块阴影部分面积的数值依次为１０，2０,3,计时

3、开始后乙超过上甲的时刻记为(单位:ｓ),则( ） (A) ﻩﻩ (B）　ﻩﻩ(C)　ﻩ (Ｄ) 【答案】Ｄ. 【解析】从０到这段时间内甲乙的位移分别为则乙要超过甲，则 ,当时满足,故选D． (7)设为阶矩阵,且,则下列结论对的的是 (A)的任意阶子式都不等于零 　 (B)的任意个列向量线性无关 (C)方程组一定有无穷多解 　 　(D）矩阵通过初等行变换可化为 【答案】Ｃ． 【解析】对于选项C,因此选项C对的, 对于选项Ａ和B，r（A)=m,由秩的定义可得，存在一种m阶行列式不为零，从而m阶行列式所在的列向量组线性无关,因此选项A和B不对的 对于选项Ｄ,矩

4、阵通过初等行变换和列变换才可化为,因此选项D不对的 (8)设， 　，其中为任意实数,则 （Ａ)必线性有关 　 　　 (Ｂ)必线性无关 （C）必线性有关　 　 　 　　 (D）必线性无关 【答案】Ｄ. 【解析】 因此,从而选项Ａ和B均不对的 ,从而选项C不对的 运用排除法可得对的答案为Ｄ 对于选项D,, 从而可得,因此必线性无关 二、填空题：９-14小题，每题4分,共2４分,请将答案写在答题纸指定位置上． (９) 曲线的斜渐近线方程为_____＿_ 【答案】 【解析】 （10) 设函数由参数方程拟定,则___＿＿＿ 【答案

5、】 【解析】 　(11） ___＿___ 【答案】－１ 【解析】 （１2）　设函数具有一阶持续偏导数,且，, 则. 【答案】. 【解析】故 , 因此,即，再由,可得 (１3)已知，则． 【答案】. 【解析】互换积分顺序: ． （14)设为四维非零的正交向量，且，则的所有特性值为 　 　 ． 【答案】0,0,0,０ 【解析】设矩阵的特性值为,则的特性值为 由为四维非零的正交向量 从而 因此的特性值的特性值为 因此4阶矩阵的4个特性值均为0. 三、解答题:15—23小题,共94分．请将解答写在答题纸指定位置上．解答应写出文字阐明、

6、证明过程或演算环节. （１５)（本题满分1０分）求极限 【答案】． 【解析】,令，则有 (１６)(本题满分１0分)设函数在内具有二阶导数,且满足等式,若求函数的体现式． 【解析】(I)由于题目是验证，只要将二阶偏导数求出来代入题目中给的等式就可以了 同理 代入,得 　　　 , 即 . 则相应的特性方程为,,故. 由得,即 (17)(本题满分10分)求 【答案】． 【解析】 原式＝. (18）(本题满分10分）设函数持续，且.已知，求的值. 【解析】令，则,因此代入 得　 　 　 　　 　 将等式两边对求导得 　

7、 　　　　 　 化简得 令得，，化简得 （1９)（本题满分１0分）设是区间上的任一非负持续函数,在区间内可导,且试证明在内，存在唯一实根. 【解析】（1）要证，使;令,要证，使．可以对的原函数使用罗尔定理： ， 又由在持续在持续，在持续,在可导.根据罗尔定理，，使． (2) 由,知在内单调增,故(1)中的是唯一的. （２0）（本题满分1１分）已知平面区域计算二重积分。 【答案】． 【解析】 (21)(本题满分１1分)设是区间内的可导函数,且，点是曲线L:　上任意一点，L在点P处的切线与ｘ轴相交于点,法线与y轴相交于点，若，求Ｌ上点的坐标满足的方程。 【答

8、案】 【解析】设的切线为，令得，法线，令得。由得,即。令,则,按照齐次微分方程的解法不难解出 ，故. (22)(本题满分１1分)设均为四维列向量，,非齐次线性方程组的通解为 (Ⅰ)求方程组的通解； （Ⅱ)求方程组的通解. 【解析】(Ⅰ)由　的通解为 可得，即 因此可由线性表出,可由线性表出即可由线性表出 从而 因此方程组只有唯一解 ②+2①得 因此程组的唯一解为; 由(Ⅰ）可得可由线性表出， 可由线性表出 从而 因此 因此齐次线性方程组的基本解系中有2个线性无关的解向量，非齐次线性房出租有无穷多解 由（Ⅰ)中的 即 且线性无关 因此的基本解系

9、为 由 可得的一种特解为 因此的通解为： ． (2３)（本题满分11分)设二次型的 矩阵合同于． (Ⅰ）求常数; （Ⅱ)用正交变换法化二次型为原则形. 【解析】（Ⅰ）此二次型相应的实对称矩阵 由于实对称矩阵与合同 因此 而,解得　 (Ⅱ）　 解得矩阵的特性值为 当时，解齐次线性方程组 解得相应的一种线性无关的特性向量为 当时，解解齐次线性方程组 解得相应的一种线性无关的特性向量为 当时,解解齐次线性方程组 解得相应的一种线性无关的特性向量为 由于矩阵有三个不同的特性值,因此三个特性值相应的特性向量均正交 将单位化得 从而正交变换矩阵在正交变换,使得．