数与代数课标解读

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1、数与代数内容分析与教学建议尊敬的各位领导,各位教师人们好！我是来自东小的数学教师贺蕾。一方面,感谢各级领导为我们提供本次交流、学习的机会。在这里我们三位工作站成员重要对“数与代数”这部分内容，环绕如下四个问题,和人们交流我们的结识及理解。在“数与代数”这领域中我们要研讨的重要问题分别是:. 如何建立“数”的概念? 2. 如何解决运算教学中的算理与算法的关系？ 如何在方程教学中协助学生经历从算术思维向代数思维过渡? 4. 如何在正反比例教学中体现函数思想? 我将重点和人们交流数与代数领域中的数的结识这个话题,重要环绕“如何建立“数”的概念?”和人们谈谈我对新课标的感悟。但愿通过交流可以引起人们更

2、多的思考和共鸣。下面我们先进入第一种话题的交流问题一: 如何建立“数”的概念一、课标中“数的结识”有何变化 。数的概念是数的结识这部分内容当中一种重要的内容，那有关数的结识在新课标当中又有那些变化呢？整体来说新课标中对数的结识的规定变化和调节不大,重要是在第一学段增长了“ 懂得用算盘可以表达多位数 ”。这一规定重要还是考虑到我们中国文化的因素，以及许多专家学者和一线教师对珠算在小学数学教学中的作用问题所提出的建议。在第二学段则重点强调了要加强对数的意义的理解。那教学中我们如何建立数的概念呢？如何把握这个教学重点呢?教师们在实行这部分内容当中又要注意哪些问题呢？二、在建立数的概念中要注意的问题

3、学习理解数的意义,建立对的的数的概念应当说是我们结识数的教学中重要的任务之一,我们一般从两个角度去理解数的意义， 一是从数的构成去理解,通过构成理解数的大小和多少,加强对数的感知。二是联系生活实际来体会 ，通过在具体的现实情境中,理解数在生活实际中的意义，使抽象的数和具体的量有机的结合，进一步理解数的意义。在实际教学中我们要把这两种方式有机地结合起来 ，这样更有助于学生体会数的意义,建立数的概念。 那么有关如何建立数的概念,在这里我们给人们提五点建议，供教师们参照:由于整数教学的重点是在于是学生从数量抽象到数，而抽象就离不开直观的现实的情景做支撑,因此第一点要提到的就是:1、注重借助具体情境理

4、解数的意义 学生对数并不陌生，在入学之前,学生已对具体的数有了比较丰富的感知,她们会读、会写,会说某些具体的数。我们在教学中就要关注从现实情景抽象出数的过程，例如从具体的 头牛， 2 个人，个小樱桃等等,抽象为 2这个数。这时用一种数字也是一种特殊的符号来表达数量,已经把具体的单位和这个数量的具体含义去掉，抽象为数“ 2 ”。反过来， 2 可以表达任何具有 2 这样数量特性的事物,例如 2只铅笔， 2个人、 2 只小动物等等，随着教学的进一步,还要引导学生结识到数的丰富含义,例如计数的数、数量的数、度量的数和计算的数。也就是说在教学中我们要让孩子经历从生活具体到数的抽象的过渡,然后再由抽象到具

5、体的一种过程。2、注重借助动手操作理解数的意义我们还可以通过非常熟悉的计数器，小棒等等这些教具和学具，让孩子通过数一数，摆一摆,圈一圈、画一画,来感受具体的数量。 3、注重借助多种模型理解数的意义 在数的结识过程中，我们要注意运用多种模型协助学生理解数的意义建立数的概念，例如说：计数器、数位桶,方格图、数位顺序表等，这样逐渐建立起抽象的数和现实中的数量之间的关系，并且可以懂得这个大小和现实中的多少之间的关系，这也是数感很重要的本质问题。下面我们给教师举个例子，就以方块模型为例，例如说:10个一是十, 0个十是一百，10 个一百是一千,10 个一千是一万,通过几何图形的点、线、面、体,使学生在头

6、脑中建立“一、十、百、千”的映像，同步建立十个千就是一种万,在学生的头脑中建立一种清晰的模型“满十进一”，对于学生理解基数单位和位值制是有很大好处的。其实，在分数的结识中我们也可以借助多种模型协助学生理解分数的意义。一方面，分数面积模型就较好的协助孩子们理解分数的意义,教材中呈现了部分和整体的关系表达分数,如一种圆平均提成四份，一份就是整体的1/4，引导孩子理解分数的意义呈现了许多面积模型;尚有一种分数集合模型,分数集合模型与面积模型有着密切的联系,它是用子集和全集表达分数。但是从理解上看,集合模型更难,水平上升了一层。难就难在单位一不再是一种整体,而是把几种或更多的物体当作一种整体,所取的一

7、份也不再是一种,也许是几种或更多。这就需要孩子有更高限度的抽象能力。核心在于把整体看做一种整体，孩子们的结识更抽象了；在分数教学当中，数线模型也是孩子们结识分数的一种更高水平的体现，从面积模型到有序地排列在一起，就抽象出了数轴，在数线上找到分数的相应点,每个分数均有了位置感。反过来，每个分数又能找到相相应的点;分数墙对协助学生理解分数意义上也发挥着形象直观的作用,特别对分数单位,分数单位的个数，简朴的分数加减法,分数墙读能发挥很大的作用。这些模型在协助学生理解数的概念起到了较好的作用。刚刚说了点要注意的问题，下面说一说第四点,也就是在数的概念建立的过程中最重要的一点。4、注重把握核心概念理解数

8、的意义教师们都不陌生的，一说到数的结识,位置制，也就是十进制计数法，涉及数位,计数单位等一系列都是孩子们在认数过程当中教师应当重点解说的核心概念，因此在这里还是要给教师们提出几点想法:第一点就是( 1 ）注重 1的概念的建立 0的结识应当说是学生结识整数的一种重要基本，因此在教学10的结识时,我们一定要注意要让学生在亲自动手操作当中去感受到由 9 再加变成 的过程,在这里小棒的作用是相称重要的,可以通过数、摆、捆、拨、说等活动,让学生感受10 个一是 1个十。在后续教学当中, 例如1-20 各数的结识中仍然要关注10的概念的建立,让学生体会满十进一的过程。在这里给人们举个例子吧：例如在教学10

9、的结识时,为了凸显1的作用，教师可设计摆小棒的活动,如何摆一眼就能看出是多少根小棒呢？那肯定是10根一捆的容易看出,如果有学生不承认,我们可以做个小游戏，同样13根小棒,一种摆法是零散摆的,另一种是10根一捆，再摆3根，2秒钟看谁能迅速数出小棒的根数,那肯定是10根一捆这种摆法数得快,由此让学生感受了10的作用。我想在我们的教学当中为了协助学生理解十进制计数法和位置制,我们还要注重计数单位的建立,这就是第二点建议：( 2 )注重计数单位： 为协助学生理解十进制计数法和位置制，要注重数计数单位 逐渐建立新的计数单位,10 个一是 个十,10 个十是一百,0 个百是一千，0 个千是一万，0 个万是

10、十万，个十万是一百万，1 个百万是一千万，从而引出新的计数单位十万,在一种单位、一种单位地数的活动中，学生充足体会每数满 10 个单位就产生一种新的计数单位,感受了两个相邻计数单位间的进率是十。计数单位是数的核心，也是非常重要的一种概念,要让孩子亲身经历这样数的一种过程，而不是把它作为一种事实，让孩子记住就可以了,经历过程很重要。（3)注重数位和位置制的理解说到数位,人们都不陌生,为了表达更大的数，数位的概念的建立是必要的，结识个位,十位,百位,千位，万位等不同数位，理解不同数位上的数字表达的是大小不同的数,这对于孩子们理解整数概念是必须的,让孩子们必须清晰的理解同样是这样一种数字，例如3，在

11、个位上,就表达3个一,在十位上,就表达3个十，在百位上就表达个百，就把刚刚孩子们在数数的大小的感觉用位置简洁明了地表达出来。刚刚说到要注重数位和位置制的理解,那所谓的位置制其实就是相似的计数符号由于它所处的位置不同,它表达的数的大小就不同，有了位置值,可以说就是用有限的数字来表达无限的数，应当说位置值是记录历史上一种发明,一种奇迹。马克思在她的数学手稿当中就称十进位置值计数法为最妙的发明之一，这也是人类文明的一种精髓。( 4）注重数位顺序表的使用 随着结识的数越来越大教师应不断扩大完善数位顺序表,从结识20 以内的数起就让学生理解个位和十位，结识百以内数时补充结识百位,在结识万以内数的时候第一

12、次浮现了数位顺序表,在结识整数的最后一种单元里学生将结识万级和亿级的数以及比亿更大的数。数位顺序表可以分两次扩展，先扩展到万级，再扩展到亿级。数位顺序表有助于学生理解十进制计数法，理解数的意义并掌握读、写数的措施。 刚刚在数概念的建立的第4点建议“注重把握核心概念理解数的意义”中，我讲了四个核心的着力点。有关如何建立数的概念，尚有最后一点建议: 5、注重在循序渐进中理解数的意义学生对数概念的理解绝不是一蹴而就的，需要一种循序渐进的过程,其实教材的编排也体现了这个原则，例如说自然数,从1以内数的结识,然后到1120各数的结识，百以内数的结识，甚至到万以内数的结识,亿以内数的结识，到大数的结识都是

13、遵循这种原则的。再例如小数分数的结识也是这样的:从初步结识,到小数分数意义的理解,那么学生的结识也是在这种不断地螺旋上升的过程当中来逐渐形成的,因此在教学当中我们要注重把握好每一阶段我们所要完毕的任务。 那我们就以分数的结识的五个阶段来阐明,我们共同来看一下:第一阶段平均分,二年级时就结识，它对结识分数起着至关重要的作用;第二阶段在分数初步结识的教学当中要协助学生建立部分与整体关系的结识,让孩子去感受分数；第三个阶段是在分数意义和基本性质的教学当中要重点使学生理解分数的比率和度量这两个维度，比率也就是分数,它不仅表达数,例如2米,/5千米,还表达一种关系，即部分与整体的关系，如把一种原平均提成

14、4份,每份就是它的1/4,尚有部分与部分的关系，如妹妹有个苹果,姐姐有5个苹果,那妹妹的苹果就是姐姐的35。这样就是让孩子从不同方面加深对比率维度的理解。度量是可以将分数理解为分数单位的累积,例如/4里面有3个1/4，事实上就是将1/4作为单位来度量3次的成果,出名的数学家华罗庚曾经说过“数来源于数，量来源于量”，因此对度量的研究可以大大的丰富学生对分数的结识,那么度量维度的体验也直接作用于分数加减法的学习当中去；第四个阶段就是在与除法的关系的教学当中重点发展学生对分数运作的理解，“运作”重要是将分数的结识转化为运算的过程;到了第五个阶段就是在分数的运算和解决问题的教学当中要鼓励学生综合运用对

15、分数意义理解的多种维度。其实这五个阶段并不是孤立的,更不是线性的排列的。因此我们在教学当中不能僵化的理解为到了这个阶段就必须或者是只能达到对某个维度的学习，在这五个阶段要不断的协助学生去完毕对分数的意义的结识，来共同协助学生实现对分数意义理解的不断地发展和整体的建构的这样一种过程。总之,数的结识是一种循序渐进的过程,需要我们教师在平常的教学当中系统的进行教学设计,这样才干让学生真正理解，纯熟的运用。我感觉就分数这一种概念，其实孩子的结识是一种全面的过程，刚刚提到了一种词叫整体建构,我想作为教师一方面应当对每一种核心的数的概念有一种整体的结识,才可以全面布局,有的放矢,在不同的学时当中达到不同的

16、目的，也就是吴教师说的专业的读教材。那有关如何建立数的概念这部分教学,接下来我结合刚刚的解说给教师们提某些具体可行的教学建议：三、 建立数概念教学的具体建议（一)在数结识中体现数感。数感的建立非常重要,教师要设计多种活动培养学生的数感。(二） 整体把握内容之间的联系：两个学段有关内容的整体把握和递进与衔接。(三）鼓励学生进行数学交流，关注数的应用 。有关数的结识涉及从数的意义、数的表达、数和数之间的关系、数的应用;其中数的应用不仅仅是一条主线,并且渗入在整个学习中。教学中要提供机会鼓励学生运用数来表达平常生活中的某些事物，并进行交流。 第一种问题“如何建立数的概念”我就和人们交流到这，下面请聂

17、秀琴教师继续和人们交流第二个问题“如何解决运算教学中的算理与算法的关系?”下面由我和人们交流第二个话题。 二、如何解决运算教学中算理与算法的关系 。人们都懂得，在我们小学数学的学习当中，孩子们随着对整数,分数和小数的陆续的结识，还要系统学习加减乘除的运算法则,甚至尚有综合在一起的综合运算，那有关数的运算这部分教学内容教师们都不陌生,都是老式的内容,但在我们以往的教学当中,一提到运算，似乎就是教会孩子们怎么算，孩子们只要算对就好了，要是算的又对又好就更好了，只要成果对就达到教学目的了。那在我们课标的修订版当中对这部分教学内容又有哪些新的规定呢?当我们面临着算理与算法如何有机结合的时候,还是我们教

18、师师教学当中的一种难点，那一方面我先环绕课标这部分内容的变化之处跟人们进行交流。一、课标对“数的运算”有什么新规定 新课程原则中明确指出，在数学课程中,应当注重发展学生的运算能力。 那什么是运算能力呢？其实运算能力重要是指可以根据法则和运算律对的地进行运算的能力。培养运算能力其实非常有助于学生理解运算的算理,从而谋求合理简洁的运算途径解决问题。也就是说学生不仅要会算，更要关注算理的理解。孩子如果掌握算理了，在运算的时候就会合理的选择，去运用了。同步在课标解读中也强调“应当淡化对运算的纯熟限度的规定。注重选择对的的计算措施,精确地得到运算成果,比运算的纯熟限度更重要，更有价值。因此我们应当注重学

19、生与否理解了运算的道理，与否能精确地得出运算的成果，而不是单纯地看运算的速度。”这一目的的提出就规定教师在数的运算教学中，不能仅仅关注于学生运算技能的掌握,更要注重学生理解算理、掌握算法的学习过程，也就是在教学中要注重将算理与算法有机的结合在一起，从而发展学生的运算能力。这样看来,虽然速度规定减少了，其实目的规定更多元了,对孩子综合能力的规定更高了,也就是更关注孩子的思维发展了。其实学习数的运算的过程就是发展逻辑思维、能力的过程，由于学生学习理解和掌握数的运算的内容的时候，它一方面要通过从具体到抽象，然后再从感性到理性的这样一种过程。当她掌握了后来又要把这些知识应用到实际当中去，在应用的过程当

20、中其实她又要通过一种由一般到特殊的这种演绎的过程。因此数的运算的学习的确有助于发展学生的思维能力。这就需要我们教师在教学过程当中不仅仅要关注成果关注措施，其实更要关注的是得到成果和得到措施的思维过程，这个思维过程其实就是学生理解算理、掌握算法的过程。那小学生其实仍然是以直观形象思维为主的,可是算理算法呢，又十分的抽象，因此如何去结合学生的思维特点去解决好运算教学中算理与算法的关系往往就是我们教学的难点所在。那我们可以结合学生的年龄特点借助生动有趣的童话情境、借助直观模型、借助学生已有的认知基本和生活经验，解决好运算教学中算理与算法的关系。 那在这里我结合具体的课例跟教师们交流三个方略。二、如何

21、解决运算教学中算理与算法的关系 方略一、借助生动有趣的童话情境,解决好运算教学中算理与算法的关系。 小学生,特别是低年级的学生，她们更多的是以形象思维为主,因此创设生动有趣的童话情境，不仅可以较好地调动她们的学习积极性，更可以借助童话情境协助她们理解算例、掌握算法。 在这里我和教师们分享我的一种教学案例:在教学2以内进位加法一课中，我就为学生创设了学生爱慕的小动物上车的童话情境来协助学生理解进位加的算理。一方面孩子们看到了车上一共有0个座位，有只小动物坐上来了,这时又来了5只小动物,那么目前一共有多少只小动物呢?这样就引出了9+=?这时孩子们借助自己喜欢的情景立即就会想到把5提成1和4，那这个

22、“1”自然而然就产生了，孩子们觉得得让一只小动物先坐上去，这样10个座位就满了,就由刚刚的+5通过度析要把5提成1和4，于是孩子就转化成了1+=14。这样的一种情境学生在轻松、愉悦的童话情境中，顺利的理解和掌握了进位加的算理与算法。 这个座位的设计，协助孩子在解决小动物们坐车的问题当中就理解了这个9+5怎么变成10+？，并且是为什么是0+？，很符合小学生的年龄和心理需求以及她们的思维特点,这样就使枯燥的数学变得生动有趣，让抽象的算理变得直观形象,使学生在明理中顺利、自然而然的掌握了算法。低年级学生更多的是以形象思维为主,我们可以借助学生喜欢的童话情景、生活情景来协助学生理解算理与算法,那到了中

23、高年级我们就可以借助某些直观模型来协助孩子解决好运算教学当中理与法的掌握。方略二、借助直观模型，解决好运算教学中算理与算法的关系。 下面还是结合一种课例来和教师们交流:皇城根小学史冬梅教师上的两位数乘两位数一课中，史教师就较好的结合三年级学生的思维特点，借助直观模型较好地解决了算理与算法的关系。史教师在这节课上没有将会写“竖式”作为最后的教学目的，而是在学生已经可以初步掌握竖式计算措施的基本上，引导学生探寻措施背后的道理。并提供应学生直观的点子图作为研究素材，在研究中，学生们呈现了丰富多彩的成果。虽然学生们的分法不完全相似,但“先分后合”的思路是一致的,这一点恰恰就是乘法竖式运算的基本思路。在

24、这之后，史教师再次将分点子图与竖式进行了相应,引导学生一步步进一步地理解竖式计算中每一种细节背后的道理。“分点子图”不仅给学生发明了积累活动经验的珍贵机会,同步又使学生可以借助直观模型，较好的理解了两位数乘法算法背后的道理。其实在我们以往的教学中,并不太注重引导学生摸索计算的过程，或者当学生刚刚摸索出措施后，就立即引导学生学习竖式，在学生对竖式运算的每个环节没有真正理解的状况下就开始追求计算措施。这就很也许导致学生在没有真正理解道理的状况下,只能靠记忆法则来习得措施和技能。这显然对学生的发展是不利的,那史教师这节课恰恰是为学生真正地、扎夯实实地经历理解的过程提供了鲜活而典型的案例。因此在教学中

25、教师要舍得拿出时间让学生有机会经历,有机会感受,有机会理解,有机会发明。新的课程原则中也明确提出了学生活动经验的目的，它背后深远的意义还需要广大教师在自己的实践中开动脑筋,进一步挖掘，潜心感悟。 教师们，刚刚我们简介的两位数乘法的这个案例是借助直观模型来帮协助孩子们理解算理和算法，那是不是所有的计算课都要借助直观模型呢?固然不是这样的。应当说直观模型的确是在协助学生理解算理、掌握算法这方面发挥了很大的作用,但是我们还要结合具体教学内容借助学生已有的认知经验、生活经验来理解算理与算法的关系。方略三、借助学生已有的认知基本和生活经验,解决好运算教学中算理与算法的关系。我们还是结合一种案例来阐明：北

26、京小学于萍教师曾经上过的小数加减法一课，在这节课中于教师就是借助学生已有的认知基本和生活经验,协助学生理解小数加减法的算理。于教师让学生自主进行编题,看谁能编出新状况，其中就有一名学生编出了一道0.834= ,教师们一看就能敏锐的捕获到，这是一种一位小数加两位小数,这种类型将要揭示的“小数点对齐”是本节课的重点所在，也是小数加减法解决算法讲算理的重要时机。为了让学生有机会调动已有的整数加减法的认知经验，经历判断、推理、抽象的思维过程,于教师就让每个学生自己试做，并阐明自己这样做的道理。当孩子试做完毕后,于教师就问孩子们：整数加减法都是把末位的数字对齐，可这道题为什么不末位对齐呢？ 有的孩子就说

27、：整数的末位是个位，末位对齐也就是个位对齐了。而小数的末位不一定是相似的,因此不能末位对齐。此时教师的这个问题就引起了她的辨析和思考。尚有的孩子说:把小数点对齐,也就是相似数位对齐了。 看来孩子对措施有了理解了。除此之外尚有的孩子说:如果不把小数点对齐，而把末位对齐的话，十分位的 8 就和百分位的4对齐了,相加之后肯定就不对了。那这时其实孩子已经对计数单位有了理解了。 正是在这个问题的引导下孩子们思维得到了碰撞,尚有的孩子说：我举个例子说吧,例如买两样东西,一种是 .8 元,也就是8角,另一种 3.74 元,也就是元7角4分，如果把末位的 8 和 4 相加,就是用8 角加 分，那肯定不对了。

28、孩子们一下就明白了为什么这样算,浅显的例子阐明了深奥的道理。因此正是在这样的探究过程当中孩子们从小数点对齐这个措施探寻到了背后相似数位对齐的道理，以至于进一步的理解到了计数单位在计算当中的作用。那小数加减法在小学阶段数与代数这个学习领域当中究竟占有什么样的位置？我们又如何把握她与整数加减法的关系呢?在这节课上，我们又如何呈现知识的本质，去抓住核心的概念进行教学呢?我想于教师的教学实践较好的回答了这个问题。于教师在引导学生在探究小数加减法的过程当中于教师始终抓住了本节课知识的“魂”实行教学，她没有满足学生能对的地计算出成果，而是步步进一步引导学生逼近数学本质的理解，来引起学生对小数加减计算道理的

29、深刻理解，也就是:小数加减法与整数加减法的本质意义是一致的，即相似的计数单位相加减。像这样,将“讲理”与“明法”有机的结合,让学生在理解算理的基本上总结算法,掌握算法,有助于学生更进一步地理解数学核心概念，才可以更好地 实现“培养学生根据法则和运算律对的地进行运算的能力”的目的。 在刚刚这个案例当中提到了数学核心概念，那数的运算当中核心概念究竟有哪些呢?我想无论是整数小数还是分数的运算,其背后最核心的概念就是计数单位。整数和小数运算当中的末位对齐也好，小数点对齐也好,其实都是在统一计数单位，在计数单位相似的状况下,其实我们在算的就是计数单位的个数。而分数运算同样也凸显了这个特点,例如说同分母分

30、数相加减，为什么分母不变,分子相加减,就是计数单位是相似的,那到了异分母分数要先通分，其实通分的目的也就是要统一计数单位。因此说从这一点来看，应当说抓住了计数单位的教学，也就是抓住了数的运算的教学的核心。因此运算教学要讲理法融合，只有让学生真切的理解了每一种运算背后的道理,才可以让孩子更好的掌握算法，同步呢，也只有抓住了这种不变的理，学生们才可以可以具有自主摸索运算措施甚至是发明性的选择运算措施的意识和能力。新课程原则中对课程内容也有这样的表述,就是课程内容要反映社会的需要,数学的特点要符合学生的认知规律，我想她不仅涉及数学的成果,也涉及数学成果形成的过程,以及蕴含着数学思想措施的一种重要的方

31、面，那课程内容的选择要贴近学生的实际,要有助于学生的思考和摸索,这种组织要注重过程，解决好过程和成果的关系。刚刚我们的这个案例就是要向教师阐明就是在以往比较注重成果的教学当中如何把握好孩子们经历的学习过程。刚刚在数的运算教学这个专项和人们进行了交流,在这个专项的最后环绕着数的运算给教师们提某些教学方面的建议:三、 对“数的运算”教学的建议 (一)解决好算理直观与算法抽象的关系。这个理是学生不容易理解的，教师可以通过现实情境、直观的图、学生已有的知识基本等协助学生去理解。 （二）解决好算法多样化与算法优化的关系 。算法多样化,要关注学生的个性，也许这个学生适合这样的措施,那个学生喜欢另一种措施，

32、但是它们背后的道理是同样的，教师要想措施通过不同的措施，让学生去理解这个道理,使学生可以更有效的进行数学学习。 （三）解决好技能训练与思维训练的关系。它不是一种单纯的、机械的、做题量的积累,在这个过程当中，要注重协助学生积累经验,发展思维。 （四)注重计算与平常生活以及解决问题的联系 。学习加减乘除的计算,最后要为解决问题服务,在解决问题过程中，让学生体会到计算措施的实际价值。 以上就是我对前两个问题的感悟理解，下面请赵丽君教师和人们谈谈有关方程教学如何渗入代数思想三、如何在方程教学中协助学生经历从算术思维向代数思维过渡下面我和教师们一起交流第三个话题：如何在方程教学中协助学生经历从算术思维向

33、代数思维过渡?有的教师也说这叫如何渗入代数思想。教师们都非常清晰：数学思想措施呢,应当说它是人们对数学知识和本质规律的结识,也是我们分析、解决与解决数学问题的主线途径。那么代数思想措施呢，它是数学思想措施当中最重要的内容之一,也是培养学生抽象思维能力的重要的素材。那么究竟什么是这种代数思想呢?我想在这里简朴地跟教师们做一种解读。代数思想是运用字母来替代具体数值进行思考的一种思维形式。它是一种特殊的抽象思维形式。教师们都懂得,算术是“数” 的运算,而代数则是“式”的运算,这也是算术与代数的一种主线的区别,一种差别。算术它应当是代数的基本，没有算术那么孩子们很难去理解代数中的诸多的知识及某些核心的

34、东西，因此说算术是代数的基本。而方程呢,则是我们代数的一种主题。因此有关方程的教学也自然而然的就跟代数思维，和这样的一种思维水平紧密的挂起钩了。算术思维措施应当说它重要是从具体问题的已知数出发,通过对已知数或计算产生的中间数来进行的一系列的计算而达到问题的解。思考的过程往往是从已知数出发,最后达到未知数。它建立在数的运算之上的。而方程的思想措施呢,它是从设立未知数出发,根据未知数所应满足的条件，把问题表达为具有未知数的等式,也就是建立我们的数学模型。然后运用等式的性质对方程进行同解变形,在变化的过程中它始终保持方程两端对称的这种等量关系。从表达等量关系、保持等量关系，始终到求得方程的解，它较好

35、地体现了方程的这种构造的特点。因此维果茨基说代数对算术就像书面语言对口头语言。这一比方是非常形象的。那么如何在方程教学中协助学生经历从算术思维向代数思维的过渡呢?在这里想提几点建议。一是打好算术的基本，为学生从算术思维向代数思维的过渡做好积淀。这一点非常好理解就不再展开解读了。第二点是用字母代表数应当说是从算数思维迈向代数思维的起步,因此一定要提前做好孕伏。提到这个孕伏,我想一定不是等到了五年级学习字母表达数,学习方程的时候,教师才想到,哦，我要培养孩子们的代数思维。一定是在前期的很长的学习当中，教师就应当不断的有这样的一种意识,逐渐地给孩子种下代数思维的种子，这样,到了五年级孩子们才可以比较

36、好地完毕这样一次结识上的奔腾。从我们的教材来看,其实也有诸多这样的孕伏的契机，值得教师们关注。例如说在一年级的教材当中就有这种用括号来表达一种未知的数,其实这就是一种初步的孕伏。到了二年级也有某些用符号来表达未知数的,这是孩子们初步感受的一种机会。我们学校就有教师环绕这样的内容展开过某些进一步的研究，上过有关的研究课。再例如说教材当中尚有某些用实物图片来表达未知数的,在这里其实这个天平就已经是“方程”这样具体的这种模型的一种初步的渗入了。到了字母表达数,其实就是对孩子们的这种代数思维提高的一次重要的挑战。其实在教学当中,也许教师们也均有这样的感受，就是每一种孩子经历从算术到代数的这种结识的转变

37、,都会是一种很艰难的一种过程。并且这个转变，对孩子们来说一般都不会是不久就完毕的，需要经历一种比较漫长的过程。我想这也体现了孩子们认知的一种客观的特点，需要我们教师们充足的予以关注,并且给孩子漫长的转变过程、提高过程，发明条件，并且予以某些必要的辅导。下面以某些具体的案例和教师们交流一下。用字母表达数这节课教师们都非常熟悉。在这节课当中，教师一上来就给孩子们带来一种神奇的魔盒，一下子就抓住了孩子们的爱好点。一种数进去之后进行加工,出来了一种数，仿佛看不出什么。换了一种数再加工又出来了一种,先后进去几种不同的数,出来的数有规律,孩子自然而然地就感受到了这个魔盒神奇的地方所在,也就感受到了数的一种

38、统一的变化规律。在这之后呢,就是数青蛙的活动，这也是诸多教材的一种呈现方式。孩子们随着一只青蛙、两只青蛙、三只青蛙,以及诸多只青蛙数的过程当中就会感受到：几只眼睛,几张嘴,几条腿，数起来,用数总这样表达下去有困难，自然而然也就产生了但愿谋求一种新的方式来体现这种规律的认知需求。这个时候教师把机会和空间留给了孩子们,给每个孩子这样一种小条,请你来填一填，根据你的思路，几只青蛙，几张嘴,几只眼睛,几条腿。于是孩子们不同的认知水平，也可以说我们课堂上丰富的课程资源就在这个填空的过程当中呈现了。有的孩子写无数只，都是无数只,只要这样数下去。有的孩子就写只青蛙 张嘴，c 只眼睛d条腿。是不太同样,但是也

39、都用字母来表达了。也有的孩子说a只青蛙 a张嘴，b 只眼睛条腿。从这就能看出，孩子已经可以关注到这个只数和嘴数是有关的,因此在选用字母的时候她也一定有自己的思考。也有的孩子说a 只青蛙a 张嘴，aa 只眼睛aa条腿。其实很小朋友化的一种表达方式,已经呈现出了孩子对字母以及抽象的这样的一种理解水平。固然也有的孩子可以达到这种水平，a 只青蛙 张嘴, 只眼睛 4a 条腿。教师在这节课当中呈现了学生不同的思维层次。第一种学生我们看到她还没有走近用字母来表达数，并且她只停留在用语言来描述数量以及它们之间的关系。而第二个孩子她已经逐渐地开始走近了用字母表达数,但是她没有表达出数量关系。第三个孩子走近了“

40、用字母表达数”,并且有了一定的数量关系，但是还不全面。到了第四个孩子,应当说不仅走近了“用字母表达数”,并且她还明白了数量之间的这种关系，但是表达得还不够精确，还需要教师的引导。 那么最后一种孩子，应当说她是完全走进了“用字母表达数”,并且可以精确地用字母来表达出数量之间的这种关系。在这节课上,最重要的、特别珍贵的就是教师把孩子们这些不同的认知水平的素材都拿到课堂上，和孩子们一起探讨，一起去交流,在对比当中让孩子们感觉到这些不同措施，它们哪一种更好,它们表达的意思有什么不同?其实这个过程就是在协助孩子们从算术思维逐渐地走向代数思维的一种重要的过程。第三点建议就是,抓住方程思想的本质、核心，体现

41、它的价值和意义。那究竟什么是方程呢?教材为我们呈现的概念是，具有未知数的等式就叫做方程。那么西南大学的陈重穆专家呢,也有她的想法。她觉得:教材这样的定义要淡化,不要记，更无需背，更不要考，核心在于理解方程思想的本质,它的价值和意义。例如函数也是具有未知数的等式，我们教材当中许多的数量关系，也都是用关系式的形式来呈现的,如s=，就容易和方程混淆。用字母来表达运算定律也存在这样的问题， 如abb+a,那它是不是方程呢？尚有我们教师常常有争议的,孩子们也常常会写的x=0，究竟是不是方程？其实这些在我们小学阶段,我们是不研究的,由于它不可以协助我们谋求未知的信息。那在我们小学要研究的,应当说是，为了谋

42、求未知数,在未知数和已知数之间建立起来的等式关系。应当说方程是一种关系,它的特性是“等式”的关系,这种等式的关系，就把未知数和已知数联系了起来。我们借助这一关系，就可以协助我们去谋求未知数。因此方程的核心是规定未知数,是把未知当成已知来看待,并且参与到运算当中,进而求出未知数。而教材的定义呢,应当说恰恰没有较好的体现出这一点。因此我想在教学当中,我们不仅要让孩子懂得具有未知数的等式是方程,更应当抓住方程的本质、方程的核心，它的价值所在。也就是我们的数学教学不应当仅仅的把目光放在形式化的定义上,而是真正的把握好它的核心的内涵,和孩子们共同地朝着理解内涵的方向去不断地努力。在实践当中,我想有关方程

43、教学这一部分,孩子们的确会常常浮现诸多多种各样的困难和困惑,教师们也均有自己的想法。例如说,有关方程很普遍的一种现象，就是孩子们不可以不久地理解已知数和未知数之间的这种平等的关系。其实这种平等的关系恰恰标志着孩子从算术思维向代数思维过渡的一种水平,例如教学中也许常常会有孩子列出这样的方程，你非要让我用品有未知数的等式写，那就x=100-203，反正也符合规定了，但是很显然,这是一种披着代数思维外衣的一种算术解法。这仅仅是一种算术解法,只但是是换了一种形式。那针对这个困难点，究竟我们该如何去解决呢?在这里我也提供一种案例供人们分享。解决措施的第一点，我想能不能运用直观,使孩子去感受“”表达相等的

44、关系。由于对于孩子来说,从一年级到五年级之前她们觉得等号就是让她写出算式的成果,那对于等号表达左右相等关系的这层意思,应当说在孩子结识的前期阶段还缺少某些感性的结识。在陈千举教师上的方程这节课中。吴正宪教师建议:能不能在教具上做些文章,做一种可以让学生到前面动一动的天平模型，充足发挥天平的作用。于是陈教师就较好地借助天平这个直观的教具让孩子充足感受到了等号表达的这种相等的关系。在这节课的前期陈教师是用天平作为直观的一种支撑。在背面的练习当中，吴正宪教师又提出建议：天平教具做得好,能不能用的再充足些?于是，陈教师就把本来的问题:“想一想,你能在图中找到相等的关系吗?”进行了修改。这样就更充足发挥

45、了天平的主作用。针对图一她提出的问题是：你能像“天平”那样观测图中谁和谁相等吗?这其实就是让一种隐形的天平出目前孩子的脑子当中，其实就是有一种隐形的天平在支撑着她。对于图二她提出的问题是:用相等的式子表达这两幅图中蕴含的“天平”。这样的问题事实上就是让孩子在思考问题的过程当中,借助这个隐形的天平来感受等号左右两边相等的关系。这样，通过教师有效的练习，就更充足发挥了天平的主作用,也就可以协助孩子更好地去理解。解决措施的第二点，就是将模型与生活建立起联系。这节课,在吴教师的建议下，陈教师还让学生结合方程来讲故事。陈教师请一名学生和自己站在一起,问：我们两个往这儿一站,有方程吗？然后让孩子去构造方程

46、。在这个过程中，孩子根据教师和学生的身高,教师和学生的年龄,教师和学生的体重，真的构造出了不同的方程。这就是把孩子需要的方程植入到生活的实际情境当中，更近一步的来理解。我和教师们分享的第三个措施，是把算术措施和方程措施进行有效的比较,在对比中强化孩子对方程的结识和理解。这种措施我觉得在实践当中教师们用的也比较多。在我们有关方程的教学当中,刚刚已经和教师们看了一种孩子们普遍存在的一种困难,这个例子刚刚已经看过了，就不再解读了。 此外一种困难，看上去是一种形式的困难，但事实上反映出的也是一种孩子对方程的理解上的一种结识的差距,就是孩子在书写格式上总是容易浮现多种各样的问题。特别是类似这样的x+61

47、=10-64,很显然孩子的这种变换方式，她是停留在这种恒等的变换方式上，并没有提高到对同解的变换的这种理解。我想这种形式上的书写格式上的问题也不容我们忽视，也应当透过这种现象去分析孩子在结识以及理解水平上的某些差别，予以孩子某些更深层次的指引,而不是仅仅停留在“这样写不对,你擦了重新写,要这样来写”而已。对这一问题,我们有无更好的解决的措施呢?我想能不能更好地去发挥等式的作用呢。由于孩子在学等式的性质之前，如果借助四则运算各部分之间的关系，它同样也可以达到解方程，但是它毕竟还是停留在算术的思路上,还没有迈向方程思想,因此这样的话,运用四则运算各部分之间的关系,可以,但它不利于中小的衔接，也更不

48、利于孩子到中学学习的一种起步。因此这样的话呢，我们可以借助等式的性质,更好地让孩子去体验、感受方程左右两边相等的这种关系。这样就从表达等量关系、保持等量关系,再到求得方程的解,应当说个过程就体现了方程的构造的特点，也更好、更有助于孩子去理解、感受方程的这种本质。这样这个心里的天平就从始至终地发挥着重要的作用。那针对方程的教学,也和教师们分享两个教学建议。第一点建议就是精确地把握内容定位,对的地理解其价值。那这个定位是不是就指：有关教师们在教学当中说的,等式的性质解方程有的时候并不好用，我是不是只要用代数措施，算术关系让孩子们能解出来就行了。对于这个问题,我想还是需要我们不断地提高对“用等式的性

49、质解方程这样的一种教学规定的价值”的进一步的理解，进而更好地来设计我们自己的教学。第二点建议就是有效地开发教学内容，为学生代数思维的形成应当做好前期的铺垫和孕伏。有关方程教学的交流,我就交流到这，下面请艾主任和教师们交流第四个话题“如何在正反比例教学中体现函数思想？”。四、如何在正反比例教学中体现函数思想。在六年级的数学教学当中,正比例和反比例始终都是一种很重要的内容，这部分内容同样肩负了一次让孩子结识上经历奔腾的一种重要任务。可以说，学生在此之前从大量的对“常量”的也就是具体数据的结识和感受的经验当中逐渐的要过渡到结识“变量”,这也是函数思想渗入的重要契机。 但是，函数在我们小学教学当中是不

50、浮现的，那么如何在小学学习正比例和反比例过程中有效地渗入函数思想呢？在第二学段中,引入正比例与反比例，它是一类常用的数量关系，这教师们都很熟悉,那么这部分内容的学习是函数思想在小学的具体的体现。 在现实中，其实有许多数量关系可以表达为成正比例的量或成反比例的量,其本质是两个量按一定的比例关系发生变化。 我们先来看一下正反比例的含义:其实教师们都很熟悉了。如果一种量增长或者减少,另一种量按一定的比例增长或减少,这两个量是成正比例的量;如果分别用X 和 表达两个变化的量,则可以表达到 =aX（这里的0); 反之如果一种量增长或减少,另一种量按一定的比例减少或增长,两个量是成反比例的量;如果也用 和

51、 Y 来表达的话,就可以表达到 a/ ,或=a(这里的a0) 。通过刚刚所说的,我们更加明白了正反比例的关系,懂得了正比例和反比例的关系本质上是函数关系,小学阶段并不浮现函数的概念，但要让学生感知两个量之间的关系。一是使学生对数量关系的结识和理解更加丰富,二是为第三学段也就是孩子们进入中学的学习,进一步学习正反比例函数以及学习一般的函数知识做好充足准备。因此教学中应与实际情境紧密联系,用品体的学生可以理解的具体的方式呈现这些内容，引导学生从数量关系的角度，以及两个量之间变化的规律的角度来理解和掌握这个内容。那例如学生对“正反比例”的学习，其实就是从简朴的“数量关系”过渡到对“变化关系”的结识和

52、学习。此前是“数量”关系,她目前得学会结识“变化”,与以往的教材和教学规定相比,在方格纸上画图是一种新的规定,此前就是让孩子结识正比例及反比例的关系，目前教材中也浮现了“正比例”及“反比例”的图像，那么这些图像它的价值是什么？教师该如何发挥好“图像”的作用,更好地去体现和渗入函数思想呢? 下面就结合具体的案例来谈一下这个问题。北京实验一小郭雯砚教师执教的成正比例的量,在这节课上郭教师就紧紧抓住了“图像”，作为协助学生结识和理解正比例关系的重要素材。 我们先看一下郭教师是如何讲的,在当时课堂上,孩子们通过数量的研究,不难发现这样一组关系，并且也用字母表达出了这样一组关系，在这之后，按以往的教学,

53、就已经达到目的了,就是在这个时候,郭教师把“图像”作为正比例关系表达的第三种方式隆重地简介给了学生,把它作为新朋友简介给孩子。由于孩子已有了某些画折线记录图的经验，根据表格当中的数据在图上去描点对于孩子们来讲并不难，于是郭教师就把完毕或者是谋求图像究竟长什么样子的经历放给了孩子们，让孩子们自己去描点去画,但是就在画的过程当中，孩子们又找到了新的问题,也就是当孩子们把点都连好之后,在0和第一种数据之间该不该连成了孩子们聚焦的一种新问题,这时候,也就凸显了图像的作用,其实，想想孩子们对于找点连线这个过程并不难，但是这个没有浮现的这一段数据究竟有无,该不该连就困扰了孩子,其实孩子有点困惑是在哪呢，就

54、由于她在学折线记录图中，其实那样的结识迁移到目前的知识点是错误的，是一种负迁移，可是就是对这一部分的分析恰恰体现了变量的含义，我们看看郭教师针对孩子存在困惑的地方也是难点所在，是怎么解决的？当时课堂上郭教师就非常巧妙地运用课件运用信息技术的辅助手段把这个局部放大,让孩子们去理解，就在路程和时间的变化当中它会不会从“0”一下就变化到这个点，孩子们立即就明白了，其实在这个过程当中，应当有诸多诸多点,例如说汽车从0小时开始，到02小时、0.4小时，它是要经历这样一种过程的,孩子们是有这个生活经验的,这样孩子们发现这里面会有诸多点，甚至很密,甚至是持续的,连成了一条线,就在这个点越来越密的过程当中，孩

55、子们就丰富了对整个这一条图像的完整的结识和理解，在这基本上形成对正比例图像的完整结识,看得出来,郭教师在学生根据表格、算式等熟悉的方式表达出正比例关系之后，巧妙地引出了“图像”,把它作为新朋友隆重的简介给孩子们。让学生通过初步的猜想和分析,对图像有初步的感知,这样也为背面进一步而细致的研究奠定了基本。其实，正比例教学就是从“常量”数学到“变量”数学学习的启蒙阶段;那图像教学呢可以直观地呈现两个变量之间的相依的关系,你变了它也随着变，使学生加深对正比例意义的理解。通过这节课的教学，可以有效地渗入函数思想,增进中小的这种结识的衔接，为孩子们此后的学习奠定基本。通过刚刚的分析，教师们也感受到了，在课

56、堂上郭教师就巧妙而精确地捕获到了孩子们结识上的一种难点,就是从到第一种点之间该不该连,为什么该连，这样就把结识图像的过程作为孩子们丰富对变量的结识过程，真正地把图像作为理解概念的有效素材，并且是很形象的有效素材，从刚刚的简介当中,我们可以看出,课堂上虽然学生能画出图像，但她们大多是根据画折线记录图时的经验，这其实是存在一定错误的。在教学中， 郭教师及时抓住了学生生成的问题，逐渐进行进一步的剖析,使学生明确这条直线是由无数个处在同一条直线上的点所形成的。孩子们找到了无数的点，也就结识到了无数组数据,同步我们也看到，学生在探究的过程中,虽然能找到某些变化的规律,但是并没可以顺利地在图像、表格和规律

57、之间建立有机的联系。也就是说对于数学的结识还是比较孤立，比较静止的，缺少这种运动的观点和变量的意识。“运动的观点和变量的意识”这正是函数的核心所在，也是引导学生进一步地去理解正比例关系的要害所在，也正是发挥“图像”作用的一种非常好的契机。课堂上,应当说郭教师精确而巧妙地捕获到了这一点,借助直观的课件，协助学生进一步展开了分析，对图像的补充的过程,其实恰恰是学生对正比例关系结识的完善的过程。那么教师们都很清晰,函数有三种数学表达措施:表格、关系式和图像，这就是人们一般所说的函数的多重体现。多重表达的措施不仅可以加强对概念的理解，也是解决问题的重要方略。那么图像对于理解变量之间的关系应当说具有十分

58、重要的意义,那么函数关系用图像来表达,它的直观性是其她方式所不能替代的，它是让学生“看见”两种量之间关系和“变化”状况的重要的途径之一。学生在现阶段学习正比例图像，应当说还是存在一定的困难的,这是她们第一次接触函数图像。因此在学习的过程中,就要关注学生对图像的结识,感受图像的作用、图像的价值甚至是图像的美，为将来继续学习函数及其图像做好这种心理准备。看来在郭教师的课堂上比较好的发挥了“图像”的作用，可以有效地协助学生更加进一步地来理解正比例的概念，感受变化关系，可以说悄然地就实现了对函数思想的感悟。我觉得这一点，不仅在郭教师设计的这节课的前面的结识函数图像的探究过程中有了较好地体现，并且在背面

59、的练习中也有特别巧妙的体现。当时在课堂上孩子们已经结识了图像了,通过刚刚的探究过程，已经懂得了，背面的练习郭教师仍然紧紧抓住图像,让图像成为孩子们解决问题的手段和工具，当时郭教师给出数据后说：苹果的重量和价格、总价告诉人们了，接着提问道:你能从图里发现什么信息呢？孩子们就能从图像上找到相应的点,找到10公斤苹果是0元, 公斤苹果 48元。都找到了，在这之候又浮现了一种香蕉的价格，也用一条线表达，那这两个水果哪个更贵呢？在这无形当中就培养了学生的读图能力，去观测去读懂图，去从图当中提取有用的信息，每一条线上均有无数的点,也相应无数组数据,那孩子们选择哪一组来阐明自己的观点，这里面就有思考了，在这

60、基本之上将两幅图合在一起，孩子们更是进一步直观地感受到了两条线的倾斜限度,就表达着她们各自的那个更贵，哪个更便宜，孩子会说“陡某些的贵某些”，其实，“陡某些的、缓某些的”不恰恰就是图像的直观特点,它表达的就是变量变化的幅度,其实这也是孩子们感受函数思想的一种珍贵的经验，也将为孩子们此后长远的学习奠定了一种非常好的基本。这时候郭教师又浮现了橙子，那这橙子的单价会跟此外两种水果什么关系呢?又给了孩子们一种综合运用函数图象并且全面结识函数图象的这样一种机会和过程,可以说通过这样一组练习,孩子们对图像的感觉更加亲近了，你看,通过这种层层递进的问题,让孩子感受图像,我觉得郭教师在这一点上做得很有特色,由

61、此我们也可以看出,图像已经成为了孩子们分析变化关系，理解变化关系，呈现变化关系的重要工具了。可以说图像让抽象的变化关系变得直观,变得让学生更有“感觉”了。 那么说到这里,结合正反比例教学提三点建议： 、让抽象的直观起来。通过刚刚的交流,教师们已经看到了。 2、让静止的动起来。(这正是函数的核心所在。）3、让零散的持续起来。（教师要有一种整体的设计）看来多维教学目的的达到真是离不开我们对数学核心概念有清晰的结识和精确的把握,今天我们和教师们一起环绕着数的结识、数的运算、式与方程、以及正反比例这一部分，也就是数与代数的部分进行了交流，相信教师们在这一部分的内容教学中会有更多的珍贵经验,但愿后来能和教师们有更多的分享，共同提高。谢谢人们！