高等数学练习答案12-2

《高等数学练习答案12-2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学练习答案12-2（9页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、 习题12- 1. 求下列微分方程的通解: （1）xy-yny=; 解 分离变量得 , 两边积分得 , 即 ln（l y)=ln x+ln C,故通解为y=eC . ()3x2+5-5=; 解分离变量得 5y=(3+5)dx, 两边积分得 , 即 ,故通解为,其中为任意常数. (）; 解 分离变量得 , 两边积分得 即 asn =acsix+C,故通解为y=sin(acsin x+C). （）-xy=（y2+y）; 解 方程变形为（1-x-a)y=a2, 分离变量得 ,两边积分得 , 即 , 故通解为,其中C=aC1为任意常数. (5)s2x tnydx+sey n xdy=0; 解 分离变量

2、得 ,两边积分得 , 即 ln(an y）=-ln(tnx)+nC,故通解为an ta y= . （6); 解 分离变量得 1-y=10x, 两边积分得 , 即 , 或 10-y=10+,故通解为y=-lg(C-0x). （7)(ex+y-x)dx+(ex+y+e）dy=0; 解 方程变形为ey(e+1）dy=(1-e)dx,分离变量得 , 两边积分得 ,即 -ln（ y)=ln（x+)-lnC,故通解为(e+1)（ey-1)=C . ()cs x sin ydx+sinx sydy=0; 解 分离变量得 , 两边积分得 ,即 (sin y)=-ln(sinx）+nC, 故通解为i x sin

3、 y=C . （); 解 分离变量得 (y+1)2dy=-x3dx,两边积分得 ,即 ,故通解为(y+1）+34= (C=12C). (1）yd+(2-4x）d=0. 解 分离变量得 , 两边积分得 , 即 l y4=lnx-l(4-)+l C,故通解为y4(4-x)=Cx . 4444 2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解: (1)y=e2x-y, y=0=0; 解 分离变量得 ydy=e2xd, 两边积分得 ,即 , 或 . 由y|x=0=0得, ,因此特解. (2)cos i ydy=co yinxd,; 解 分离变量得 tan dy=tan x , 两边积分得 , 即 -(cs

4、y)=-ln（cs x)-ln C, 或 o y=C cx. 由得, , 因此特解为. (3)ysix=yln , ; 解 分离变量得 , 两边积分得 , 即 , 或 . 由得, C=1,因此特解为. (4)cos ydx+（+e-x)sin ydy=0, ; 解 分离变量得 , 两边积分得 ,即 ln|osy|=ln(x+1)+n |C|, 或 cy=C(ex+）. 由得, ,因此特解为. (）xdy+2yx=0, y|x=. 解 分离变量得 , 两边积分得 ,即 ln y=-2ln x+ln C,或 y=C-2. 由=2=得C2-=1, C=4,因此特解为. 3. 有一盛满了水的圆锥形漏漏

5、斗， 高为10cm, 顶角为6， 漏斗下面有面积为0 5c2的孔, 求水面高度变化的规律及流完所需的时间. 解 设t时该已流出的水的体积为V,高度为, 则由水力学有 , 即. 又由于, 故 , 从而 ， 即 , 因此 . 又由于当t=时,x=1, 因此, 故水从小孔流出的规律为 . 令x=0, 得水流完所需时间约为10. 4.质量为1g(克)的质点受外力作用作直线运动, 这外力和时间成正比, 和质点运动的速度成反比 在t=10s时, 速度等于5cs， 外力为g /s,问从运动开始通过了一分钟后的速度是多少？ 解已知, 并且法s时, v=50m/s,F4gm/s2, 故, 从而=0,因此. 又由

6、牛顿定律, F=, 即, 故v v=20t . 这就是速度与时间应满足的微分方程. 解之得 , 即. 由初始条件有，C=5. 因此 . 当t=6s时, 5. 镭的衰变有如下的规律: 镭的衰变速度与它的现存量R成正比. 由经验材料得知， 镭通过1后, 只余原始量0的一半. 试求镭的量R与时间t的函数关系 解 由题设知, , 即, 两边积分得 ln =-l+C1,从而 . 由于当t=0时，=R0， 故0=e0=C,即R0e-. 又由于当10时, , 故, 从而. 因此 . 6.一曲线通过点(2， ）,它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分,求这曲线方程. 解 设切点为P（, ）, 则切线在x轴

7、， y轴的截距分别为2x, 2y,切线斜率为 , 故曲线满足微分方程:, 即,从而 ln yl x=ln C, xy=C. 由于曲线通过点(2, ）, 因此=3=， 曲线方程为xy=6. . 小船从河边点O处出发驶向对岸(两岸为平行直线) 设船速为a, 船行方向始终与河岸垂直,又设河宽为h, 河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为k). 求小船的航行路线 解 建立坐标系如图. 设t时刻船的位置为(x, y), 此时水速为, 故dx=k（y)d . 又由已知, y=at, 代入上式得 dxkat(h-at）dt, 积分得 . 由初始条件x|t0=0,得C=, 故 因此船运动路线的函数方程为 , 从而一般方程为