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1、全国高中数学联赛江西省初赛试题解答年月日上午一、填空题(每题分,共分）、若的值域为，那么的取值范畴是 .答案:解：由值域,，.、四周体中，是一种正三角形，则到面的距离为 .答案：.解:如图,据题意得，,于是,因，得,从而以为顶点的三面角是三直三面角，四周体体积,而,若设到面的距离为，则,由,得到、若对于所有的正数,均有，则实数的最小值是 答案：.解:由,得,当时取等号.、已知是正方形内切圆上的一点，记，则 .答案:.解:如图建立直角坐标系，设圆方程为,则正方形顶点坐标为，若点的坐标为,于是直线的斜率分别为,因此，由此立得.解2:取特例，在坐标轴上,则,这时，,、等差数列与的公共项（具有相似数值
2、的项）的个数是 .答案:解:将两个数列中的各项都加，则问题等价于求等差数列与等差数列的公共项个数；前者是中的全体能被整除的数，后者是中的全体能被整除的数，故公共项是中的全体能被整除的数,这种数有个、设为锐角,则函数的最大值是 答案:.解：由,得，因此当时获得等号、若将前九个正整数分别填写于一张方格表的九个格子中，使得每行三数的和,每列三数的和皆为质数,你的填法是解答：(答案有多种）、把从到这个持续正整数按合适顺序排成一种数列，使得数列中每相邻两项的和为平方数,则正整数的最小值是 .答案:.例如，排出的一种数列为.解:这是一种操作问题，若用文字体现较为繁琐，故合适作为填空题直接操作.记这个持续正
3、整数的集合为,由于，则中必有，而,因此，当时,从到这个数可以搭配成满足条件的三个数段：,但它们不能连接成一种项的数列，故应增长后续的数，增长可使得第一段扩大成,增长可使得第二段扩大成,但新的三段也不能连接,还需增长新数，即，而之前的数若与邻接，只有,这三段扩大为,仍旧不能连接，应当借助新的平方数，从到这个数能搭配成和为的最小数是，则，而当时，可排出上面的情形:二、解答题(共分)、（分）如图,是椭圆的一条直径,过椭圆长轴的左顶点作的平行线,交椭圆于另一点，交椭圆短轴所在直线于,证明：证1:椭圆方程为，点的坐标为，则直线方程为, 代入椭圆方程得到,， 因此，又据,则点坐标为：，由于在椭圆上，则，而
4、,，因此证：易知的斜率存在,不妨令,与椭圆方程联系,解得 , 方程为: .将方程与椭圆方程联立,得 , 、(分)如图，是的旁心，点有关直线的对称点为.证明：、三点共线;、四点共圆.证:1、延长到,延长到,连,为旁心,平分，又有关对称,平分，,、三点共线。、过作交于，则 为内心。连,则平分,，、四点共圆，,、四点共圆。、（分）设为正数，满足：，证明:证:据条件，即要证 也即 将此式各项齐次化，由于 代入,只要证即也即。此为显然,故命题得证证2:由题设得:，三式相乘，故原不等式等价于证明:上式两边展开并化简得: 配方得： 即显然成立. 、(分）设集合，对于的任一种元子集,若存在,满足,则称为“好集
5、”,求最大的正整数，（),使得任一种含的元子集皆为“好集”解:因任何正整数可以表为形式,其中，为正奇数，于是集合可划分为如下个子集：,对于集合的任一种元子集，只要集中具有某一种中的至少两个元素，因，则；此时为好集;如下证明正整数的最大值为： 若时，对于的任一种元子集,如果中具有某个中的至少两个元素,则便是好集；如果中的个集合,每个集合中恰有一种元素在中,那么也有一种元素在中,但为单元素集,于是,而，,这阐明仍是好集，因此合于规定 下面阐明当时，存在含的集不是好集；分两种状况：、若，取元集，则,因中任两个不同元素，均有，故不为好集,这种不合规定.、若，记，令,则,且,若中存在,因,，则;若,如果,只有或者，此时的取值只能是:,或者；由于，这阐明，这两个数已被挖去,不在集合中； 若，假若,只有,这种数也已悉数被挖去，即,因此不是好集,这种也不合规定.综上所述，的最大值为
高中数学联赛江西省预赛试题及其解答
