构造法在求数列通项公式中的应用-毕业论文设计

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1、 本科生毕业论文（设计）题 目： 构造法在求数列通项公式中的应用 系 别： 数学与计算机科学系 专业班级： 数学与应用数学2009级 安 顺 学 院本科生毕业论文（设计）原创性申明本人郑重申明：所呈交的论文（设计）是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文（设计）不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式表明。本人完全意识到本申明的法律后果由本人承担。作者签名： 日期：本科生毕业论文（设计）版权使用授权书本科生毕业论文（设计）作者完全了解学校有关保留、使用本科生毕业论文（设计）的规定，

2、同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权安顺学院可以将本论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本本科生毕业论文（设计）。 作者签名： 日期：导师签名： 日期： 摘 要 构造法在求数列通项公式中的应用 专业：数学与应用数学 学 号：200902014065 姓名：陈斌 指导教师：刘太河摘 要所谓构造法，就是将陌生的模型转变为熟悉的模型，而不改变原题意的一种方法，其中转变的分析过程就是构造思想。构造法本身具有灵活性，应用上具有广泛性，是解决数学模型以及其他模型的一种重要方法。本文以常见的数列题型作为

3、课题研究对象来探讨构造法在求数列通项公式中的应用，其中涉及了简易数列和复合数列两大板块，包含十一种常见模型。在内容上以“模型构造结论”为主线构建，核心是构造思想，重点是模型和结论。构造法在解题中虽然没有固定的模型可套，但是有一定的思路可循，我通过对常见数列模型的研究，可以给读者一定思维上的启发，同时，本论文所涉及到的模型也可成为解决其他模型的基础。关键词：数列模型 构造法 构造思想II ABSTRACT Application of method to find the general formula of the structure The method of construction, i

4、s the model transformation of strange familiar model, without changing the original meaning of a method, the structure is thought to analyze the transformation process method has the flexibility,extensive application,is an important method to solve the mathematical model and the other models,Based o

5、n the test sequence common application as the object of study to explore the construction method to find the general term formula,which involves the simple sequence and composite series two plate,contains eleven kinds of common model.In the content to “modelstructureconclusion”as the main line const

6、ruction,the core is to construct thought,is focused on the model and conclusions.conclusion method solving the problem is there is no fixed model can be set,but the ideas to follow certain,I through the study of the common sequence model,can give readers some inspiration thinking,at the same time,th

7、is thesis involved the model can be the basis to solve the other model.Keywords: sequence model, construction method, construction idea 目 录 目 录引言.1第一章 绪论.2 1.1 构造法简介 .2 1.2 构造法的前景.3第二章 简易构造.42.1 一级构造.4 2.1.1 一级构造的数列表达式.4 2.1.2 超一级构造.52.2 二级构造 .9 2.2.1 二级构造的数列表达式1.9 2.2.2 二级构造的数列表达式2.10 2.2.3 二级构造的数列

8、表达式3.112.3 三级构造的概念.12 2.3.1 三级构造的数列表达式1.12 2.3.2 三级构造的数列表达式2.14第三章 复合构造.17 3.1 特征方程构造法.17 3.2 关于的复合构造.18 3.3 关于的复合构造.19第四章 总结.21 4.1 知识点总结.21 4.2 课题研究总结.23结束语.25参考文献26致谢27 引 言 引 言构造法作为数学的一种重要的思想方法，它一直伴随着数学的发展而成长，构造法的内涵十分丰富，具有广泛的适用性，在数学解题尤其是在高中数列解题中具有广泛的应用。本文以“构造法在求数列通项公式中的应用”为题，是以实习过程中学生出现的相关问题为重点、以

9、典型的例题和以构造性思维方式进行讲解、以及在相关老师的指导和帮助下完成的。内容上比较偏重于思想，偏重于方法，偏重于应用，而不是过于追求严格的数学推导。在实习期间，我主要授课内容是高一数列部分，通过与同学们的交流，我了解到学生在解决数列问题上存在的问题；通过与老师的交流，我得出了一些很好的解决方法，并形成了很多很好的结论，比如说，对于等差数列和等比数列以及它们的前n项和所成的数列都是一些最特殊、最基本的数列，它们的通项公式用演绎法套公式解决，大多数学生都能掌握，而让学生以及老师困惑的都是其他类型的数列。在不断探讨过程中，我发现构造法求通项公式是一种重要的有效方法，它比较灵活，可以通过构造一个与原

10、数列相关的新数列，转化为具有特殊性质的数列，从而找到解题的新方法。在论文的选题上，我主要依据以下两点：一是在实习过程中对学生在数列上存在的问题有所了解，以及本人在数列求通项公式上有一定的知识积累；二是数列的实质是按照一定的规律排列成的一列数，描述这种规律的最简单的形式是通项公式，因此，求数列的通项公式就成为研究数列的一个主要课题。学习构造法，最主要的是掌握其思想（构造思想）方法，学会应用，将构造法的思维模式变成自己思考问题的模式之一。遇到问题，首先想到解决该问题需要哪些资源，从哪里可以获得这些资源；其次要考虑获得资源后，如何使这些资源得到合理利用，使其产生最大效益。如果若干年后，你即使将学过的

11、公式忘得一干二净，最后头脑中剩下来的还是构造法的这种思维模式，则表明你抓住了构造法的精髓。下面我主要对以下几个方面对“构造法在数列求通项公式的应用”进行展开讨论。 - 1 - 第一章 绪论 第一章 绪论1.1 构造法简介 在数学的发展史上，数学家一直注重思维的缜密性、相关联的逻辑性和对新领域的创造性，从而在发展过程中不断形成种种数学模型，数学思维，数学方法以及数学结论，数学模型的构建，数学思维的多样化不仅是科学发展的力量，也使我们在解决相关问题时更加灵活。构造法作为解决数学问题的重要思维方法，它没有固定的思维方式，是以广泛的普遍性和特殊性的现实问题为基础，针对具体问题所呈现出来的特点而采取相应

12、的解决问题的办法，应用起来比较灵活，在解决数学问题，特别是数列问题上占有重要地位。历史上不少著名的数学家，如欧几里德，高斯，欧拉，拉格朗日维尔斯特拉斯等，都曾利用构造法成功解决过数学上的难题。构造法历史进程大概可分为这样三个阶段：一是直觉数学阶段，德国的克隆尼克明确提出并强调了能行性，并主张没有能行性就不得承认它的存在性，成为直觉数学阶段的先驱者。他认为定义应当包括由有限步骤所定义对象的计算方法，而存在性的证明对于要确立其存在的那个量，应当许可计算到任意的精确度。另一个强有力的倡导者是彭加勒，他主张所有的定义和证明都必须是构造性的。近代构造法的系统创立者是布劳威，他从哲学和数学两方面贯彻和发展

13、了“存在必须被构造”的观点。二是算法数学阶段。算法数学是由马尔科夫及其合作者创立的，它以递归函数理论为基础，是一种把数学的一切概念都归约算法的构造性方法。马尔科夫用哥德尔数的办法来处理每个函数，每个实数代表一个特定的递归函数等来严格定义每一个概念。他用标准构造性的方法，采纳直觉派逻辑，他所形成的是一种即限制对象的类，又限制可容许证明方法的类的理论。接着，沙宁通过对各种古典理论在马尔科夫算法数学中的模拟物的研究，能够展述分析中象希尔伯特空间和勒贝格积分的构造性理论。马尔科夫的工作使构造性方法进入了“算法数学”阶段，但是，由于这种构造法依赖于递归函数理论的术语，使得这种算法数学外行人读起来十分困难

14、，加之马尔科夫的后继者们似乎对于算法数学实践本身没有对于复杂理论及其在计算机科学上的应用更有兴趣，使之算法数学由于缺乏合适的框架来进行数学实践，而处于一种冬眠的状态。 三是现代构造数学阶段，自1967年比肖泊的书出版以后，构造法进入“现代构造数学”阶段。比肖泊重新建立现代分析的一个重要部分，从而激发了构造法的活力。他研究的课题包含测度论、泛函微积和对偶理论。尤其是测度理论的创立，证明了构造的连续统在一种强的意义下是不可数的，消除了人们对于在实直线上构造可数可加测度的可能性的种种忧虑。比肖泊摆脱了理论方法的不必要的依赖，跨越了直觉数学的自我禁锢，避免了对直觉派的超数学原理的使用，超脱了对于形式体

15、系的任何束缚，从而保留了进一步创新的余地。为了让一般数学家容易看懂，他采用数学上大家熟悉的习惯术语和符号。比肖泊为构造法建立了一个更为广泛，更为完整的理论，他在马尔科夫的基础上解决了阅读困难和数学实践上存在的问题，体现出构造法的灵活性、广泛性和实用性，激发了人们对构造思想的认可。1.2 构造法的前景 构造法伴随数学成长，解决了数学中很多难以解决的问题，为数学的发展做出了成就，在以后数学的发展中，构造法还可以用于开发构造性数学的新领域，组合数学、计算机科学中所涉及的数学，都是构造性数学的新领域，尤其是图论更是构造数学发展的典型领域之一。因为图的定义就是构造性的，同时图的许多应用问题，如计算机网络

16、，程序的框图，分式的表达式等，也都是构造性很强的问题。同时，构造法还可以用于对经典数学的概念、定理寻找构造性解释。此外，拓扑学，特别是维数理论，也是可以为构造法的洞察力提供实例的数学分支，所以也是构造数学有待开发的新领域。- 3 - 第二章 简易构造 第二章 简易构造 2.1 一级构造 所谓一级构造，就是只通过一次模型转换就得出结论的思想方法。一级构造也称为初级构造，它是构造法在数列中应用的基础，也就是说，在利用构造法解决数列题型的问题中，最终都要将题型转变成一级构造的数列表达式形式，所以说，一级构造是构造初步，也是构造法的核心。2.2.1 一级构造的数列表达式一般地，形如（，c,d为常数）的

17、式子，我们称为一级构造的数列表达式。注意：（，c,d为常数）是其中一种一级构造的数列表达式，而不是唯一的一级构造的数列表达式。模型1：在数列中，已知，且数列满足（，c,d为常数），求通项公式。分析：不妨设 即 又 即 （验证：） 数列是以为首项，c为公比的等比数列 从而得出： 结论1（重点结论）: 一级构造的数列表达式（，c,d为常数）的通项公式为： （）。 例1：在数列中，已知，且数列满足（），求通项公式。解： 不妨设 即 又 即： 数列是以为首项，2为公比的等比数列 从而得出：当时，满足 所以数列的通项公式为2.1.2 超一级构造在一级构造表达式（，c,d为常数）中，d为常数，然而在很多数

18、列题型中，d是一个关于n的函数，于是，我们把形如 （，c为常数，f(n)为关于n的函数）的式子，我们称为超一级构造的数列表达式。下面我们以两种常用的超一级构造的数列表达式（）和（）来讲解超一级构造思想。模型2：在数列中，已知，且数列满足（），求通项公式。思想构造：不妨设 即 又 （验证：） 数列是以为首项，c为公比的等比数列。 从而得出： 结论2：超一级构造数列表达式（）的通项公式为： （）例2：在数列中，已知，且数列满足（），求通项公式。 解2： 不妨设 即 又 数列是以4为首项，2为公比的等比数列。 从而得出： 当时，满足 所以数列的通项公式为模型3：在数列中，已知，且数列满足（），求通项

19、公式。思想构造： 不妨设 即 又 即 （验证： ） 数列是以为首项，c为公比的等比数列。 ， 从而可得： 结论3：超一级构造数列表达式（）的通项公式为： 例3：在数列中，已知，且数列满足（），求通项公式。解： 不妨设 即 又 即： 数列是以2为首项，4为公比的等比数列。 从而可得： 当时，满足 所以数列的通项公式为通过观察我们不难发现：我们将超一级构造数列表达式（）两边同时除以，就可以将其转化为一级构造数列表达式（），在引用重要结论就会很快得出答案，我们把这一类型称为二级构造（见下一节）。需要注意的是，不是所有的超一级构造都能转变成一级构造，比如说：超一级构造数列表达式（）就不能转变成一级构造

20、。2.2 二级构造 二级构造是在一级构造的基础上进行讨论的，也就是通过一定的方法取构，能转变成一级构造数列表达式的方法，我们称为二级构造。二级构造在思维上增加了难度，但在对一级构造的理解的基础上来学习二级构造，也是比较容易理解掌握的。由于题型具有多变性，我仅以几种常见的题型来分析构造法在数列中的应用。2.2.1 二级构造的数列表达式1（除法构造）一般的，形如（，是指数函数且）的式子，我们称为二级构造数列表达式。特殊地，当p=1时，（）等差。模型4：在数列中，已知，且数列满足（），求通项公式。思想构造：将两边同时除以，可得： 设，则（满足一级构造数列表达式） 由结论1得： 从而得出： 例4：在数

21、列中，已知，且数列满足（），求通项公式。解：将两边同时除以，可得： 设，则（满足一级构造数列表达式） 由结论1得：（） 从而得出： （） 当时，满足 所以数列的通项公式为2.2.2 二级构造的数列表达式2 (取倒构造)一般的，形如（，c,d为常数且）的式子，我们称为二级构造数列表达式。模型5：在数列中，已知，且数列满足（），求通项公式。思想构造：将两边取其倒数，可得： 设，则（满足一级构造数列表达式） 由结论1得： 从而得出： 例5：在数列中，已知，且数列满足（），求通项公式。解：将两边取其倒数，可得： 设，则（满足一级构造数列表达式） 由结论1得： 从而得出： 当时，满足 所以数列的通项公式

22、为2.2.3 二级构造的数列表达式3 (取对构造)一般的，形如（，a,b为常数，且）的式子，我们称为二级构造数列表达式。模型6：在数列中，已知，且数列满足（），求通项公式。思想构造：将两边取其对数，可得： 设，则（满足一级构造数列表达式） 由结论1得： 从而得出： 例6：在数列中，已知，且数列满足（），求通项公式。解：将两边取其对数，可得： 设，则（满足一级构造数列表达式） 由结论1得： 从而得出： 当时，满足 所以数列的通项公式为2.3 三级构造三级构造是一级构造和二级构造的叠加，思维更加缜密，难度要求更大，它结合了地推、替代 、取对等构造方法，逐步转换为最简单的一级构造。这使得构造法在数列

23、中体现得更加完美。以下是两种典型的三级构造模型。2.3.1 三级构造的数列表达式1一般地，形如（，a,b为常数）的式子，我们称为三级构造数列表达式。模型7：在数列中，已知，且数列满足（），求通项公式。分析： 构造假设： 则： 又由题意： 相比较得： 从而解得： 于是有：（取倒） 设，则（满足一级构造数列表达式） 由结论1得： 从而得出： 例7：在数列中，已知，且数列满足（），求通项公式。解： 构造假设： 则： 又由题意： 相比较得： 从而解得： 于是有： 设，则 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，即： 从而得出： （）当时，满足所以数列的通项公式为2.3.2 三级构造数列表达式2一般地，

24、形如（，a,b为常数，且）的式子，我们称为三级构造数列表达式。模型8：在数列中，已知，且数列满足（），求通项公式。分析： 构造假设： 进一步假设：， 即 ， 可得： . 由题意： . /得： 两边取对数： （取对） 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列。 于是有： 于是得出： 例8：在数列中，已知，且数列满足（），求通项公式。解： 构造假设： 假设c=2,可得： . 由题意： . /得： 两边取对数： 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列。 于是有： 于是得出： 当时，满足 所以数列的通项公式为- 29 - 第三章 复合构造 第三章 复合函数 3.1特征方程构造法 对于部分题型，我们可以引

25、入特征方程进行构造，比如说：数列满足（，a、b、c、d为常数，且），我们引入特征方程，化解可得：，假设解得方程的两个根为、，若，则可令，则数列是以首项为，公比为c的等比数列；若，则可令，则数列是以首项为，公差为c的等差数列，让后带入，的值可求得c值，进而求出。例1：在数列中，已知，且数列满足（），求通项公式。解：由特征方程：化解得： 解得： ， 令： 由，得，进而得： 所以数列 是以首项为，公比为的等比数列 故： 解得：3.2 关于的复合构造对于形如（a,b为常数，且都不为0）的数列，我们可以引入特征方程来构造。分析：不放设特征方程的两个根为， . 当时，数列等差 . 当时，不妨设 则： 即：

26、 两边同时除以得： 所以数列是以为首项，为公差的等差数列 从而解得： . 当时， . . 由-得： 从而解得： . 当特征方程无解时，该数列无意义。例2：在数列中，已知，,且数列满足，求通项公式。解：由特征方程解得： 于是有： 即： 两边同时除以得： 所以数列是以为首项，3为公差的等差数列 即有： 从而解得： 例3：在数列中，已知，,且数列满足，求通项公式。解：由特征方程解得：， 于是有： . . -得： 所以： 3.3 关于的复合构造对于这一类型的复合数列，我们需要构造一个新数列，使之等差或等比。比如说：对于复核数列求通项，我们可以构造新数列：，即，在令，即，求出的值，而构成了以为首项，为公

27、比的等比数列，进而求出，。例4：在数列中，已知，,且数列满足，求通项公式。解：构造新数列，则有： 令，解得：或 所以数列是首项为，为公比的等比数列 即： 当时，有： . 当时，有： . 联立、得： 从而解得：， 第四章 总结 第四章 总结4.1 知识点总结通过对构造法在求数列通项公式中的应用的研究，构建了多种常用的相关模型，讲述了不同题型的构造思想的常规点和注重点，得出一系列有用的结论。同时，构造法在解题中虽没有固定的模型可套，但有一定的思路可循，我通过对简单数列模型的研究，给读者一定思维的启发，其中的模型也可成为解决其他模型的基础。下面我对本课题涉及到的相关知识点进行总结，让读者能很快的了解

28、本课题的内容，以及能有效的抓住本课题的重点内容。知识点一：一级构造模型： ， 结论： 。它是本课题研究的核心知识点，之所以为核心，是由于它在构造法应用中具有广泛性。知识点二：二级构造模型： ，结论： ； 模型： ，结论： ；模型： ，结论： 。分别应用了除法构造，取到构造和取对构造。知识点三：三级构造模型： ，结论： 模型： ，结论： 知识点四：特征方程模型： ，特征方程：模型： ，特征方程：特征函数一般情况是根据数列表达式中项数的梯度来决定特征函数的次数，如题型的特征方程为，当然，不是说所有的特征方程都符合这一规律，比如说题型 的特征方程为。特征函数的实质是通过一定模型构造，对元的相消转换而

29、得出的方程，我以求题型的特征方程为例来说明：假如存在，为题型的两个根，下面对，两种情况进行讨论:.当时，构造数列： 转换化简得： 由相比较得： 从而可得特征方程：.当时，构造数列： 转换化简得： 由相比较得： 从而可得特征方程：综上可知，题型的特征方程为，或者表示为。知识点五：双数列型题型： ，构造新数列：4.2 课题研究总结本课题通过对简易数列和复合数列两大环节的处理，对十一种常见数列题型的分析，以求数列通项公式为结论，以构造思想为核心，讲述了构造法在求数列通项公式中的应用。其中通过字母代替数字，将特殊性转换成一般性，也得出了许多很重要的公式和思维构造方法。本课题的重点不是对题型的讲解，而是

30、探讨一种构造方法，贯通一种构造思想，题型是千变万化的，只有掌握了方法和思想，在解题中才能得心应手，如鱼得水。在题型设计上，我采用由易到难来布置题型，使读者在思维上层层上进，对我所讲的知识也更容易理解和接受。本课题重点在第二章简易数列和第三章复合数列，其中第二章设计了一级构造、二级构造和三级构造，都属于简单的构造题型，一级构造是构造思想的基础，其中的题型（，c,d为常数）和重点结论（）是需要读者注重记忆的，因为二级构造、三级构造以及更高级的构造都可以逐步构造最终转换成一级构造的形式，而题型（，c,d为常数）是一级构造中最常见的题型，记住该题型和结论可以减少计算量和简化思维。同时，对二级构造和三级

31、构造中的相关题型和结论的熟练掌握，有利于提升构造思维，在面对一些陌生的数列题型时，可以有依靠，也就是有思路，因为构造法就是把陌生的题型转化为熟悉的模型，多掌握一种题型就多有一种思维方法。对于第三章复合数列，在题型的难度上有所增加，其中讲到了一种媒介物质特征函数，它是处理本章内容的重要知识点，只有真正理解特征方程的来源，才能完全理解该类题型。从内容变更上，大致经历了以下变更，论文的选题经过了一次变更，章节的设计经过了两次变更，内容的构造上经过了两次变更。第一，题目的变更。我的论文属于自主命题，刚开始我的论文题目是“构造法在数列中的应用”，内容上设计了数列求通项公式、数列求和、差次数列和高次数列四

32、个板块，但在撰写的过程中，我发现内容太多，不利于突出重点，如果在细节上进行简化，就体现不出构造法的精髓，本论文也就失去了研究的价值，同时，在解决数列求和、差次数列和高次数列与数列求通项公式的构造方法上有异曲同工之处，所以，我决定在内容上简化，只研究数列求通项公式；在细节上加工，注重体现构造法的应用，将题目改为“构造法在求数列通项公式中的应用”。第二，章节的变更。第一次变更是将一级构造，二级构造和三级构造归纳为简易构造，第二次变更是增加了一个章节总结。通过这两次的变更，章节的结构得以完善。第三，内容的变更。内容变更的路线可以归纳为：“题型构造模型构造模型结合题型构造”，也可以归纳为：“数字研究字

33、母研究字母结合数字研究”。经过以上变更，使得在内容上具有一般性，结论上具有特殊性，应用价值上具有广泛适用性。从价值取向看，构造法作为解决数学和生活中的一些模型的重要方法，具有很强的逻辑能力和推理能力，它没有固定思维可套，具有一定难度，但在解决问题中因构造法比较灵活，适应模型广，与其他方法相比具有一定优越性，另外，通过构造思想的学习，可以有效地提升人的思维能力，所以一直成为学术界研究的课题。我以求数列通项公式来讨论构造法，以点带面来讲述构造思想，讲解中完整的体现了题型中利用构造法解题的构造思想，能表达出构造法的精髓，例举的题型也是较简单的和较常用的，通过认真思考是可以理解和掌握的，适合大多数人阅

34、读。 结束语 结束语 上述是我在实习实践中发现学生遇见的问题，通过与相关老师的交流和自己的构思和总结，以及查阅了相关资料，得以完成这次论文的写作。在此次论文的编写过程中，让我学习到了不少东西，无论是知识结构上，还是论文设计上；无论是知识水平上，还是人际关系上，都有很多收获。我也希望此论文能在知识结构，思维方式等各个方面上帮助到读者朋友。下面我对本文在编写过程中的几点考虑作些说明。第一，在编写过程中，力图做到“由浅入深，循序渐进”和“少而精”；注意突出重点，力求论证详细明了，便于读者自学。在模型的证明中，注重构造思想的讲解，希望读者不但了解模型及结论，同时要掌握模型构建的构造思想。第二，考虑到题

35、型的适应范围，本人以字母代替数字，将题型转为模型研究，并形成一定结论。在计算的过程中，可以直接通过结论得出结果，简化了计算过程，同时，通过对模型的记忆，可以增强做题人的构造思维，因为构造法是需要一定的模型作为构造基础的。第三，在加强基本理论科研的同时，注意运算技能的培养和训练。文中所研究的都是比较典型的模型，并配有相关例子。此外，本文研究的内容有限，但数列求和等很多问题与文中模型的构造方法类似，读者可以对感兴趣的相关问题进行探讨。基于上述的考虑，我将内容分章编写，设计为绪论、简易构造、复合构造和总结四个章节，其中，第一章绪论是介绍构造法的历史和构造法对未来的发展，第四章总结是对本文知识点和课题

36、研究两方面的总结，使读者对本文所涉及的内容能更快的了解，第二章简易构造和第三章复合构造是本文的重点，包含了所有构造模型、思维方法和得出的结论。在内容上，以高中数列难度来要求，所选模型均为高中经常遇到的模型，具有代表性，比如一级构造模型，作为数列构造的基础，多数模型构造都会转变为该模型，在利用结论，最终得出结果。本文设计的内容较多，很多结论需要大量题型论证，由于时间匆促，更受科学水平和教学经验的限制，一定存在不少缺点，甚至还有错误之处，恳切希望读者朋友们提出批评和指正。 参考文献 参考文献1.侯繁义，数学思维与数学方法，长春，东北师范大学出版社，1991；2.蒲怡萧，一道题的构造解法J，数学大世

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39、理工大学学报（高教 版），2009年11月，第四卷第11期。 致 谢 致 谢 通过四年的学习，在老师的指导和朋友的帮助下，我收获了多方面的知识，积累了一定的工作经验，懂得了更多生活的哲理；在即将离校之际，我特别感谢在生活中和学习上帮助过我的人。首先，我要感谢我的班导、授课老师以及数计系的所有老师，你们让我增长了不少知识，教会了我不少生活的技巧，帮助了许多我力不能及的事情，特别是我的论文指导老师，为我的论文认真指导，细心批改。我今天所取得的成就，与老师们的辛劳汗水是分不开的。其次，我要感谢我的室友，四年的时间说快也漫长，如果没有你们的陪伴，我不仅会过得寂寞，也会很无助，你们像亲人，让我感受到了温暖，为我的生活添加了不少快乐。最后，我要感谢校内校外的朋友，你们让我学会了珍惜、学会了成长，你们的陪伴，让我在困难面前不退缩，对待生活更有信心，因为有你们，我四年的路程才会走得如此轻松，才会有更多美好的回忆。