高等数学8-1多元函数微分法及其应用

《高等数学8-1多元函数微分法及其应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学8-1多元函数微分法及其应用（37页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、1 推广 第八章 一元函数微分学 多元函数微分学 注意 : 善于类比 , 区别异同 多元函数微分法 及其应用 2 第一节 一、区域 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 多元函数的基本概念 3 一、 区域 1. 邻域 点集 称为点 P0 的 邻域 . 例如 ,在平面上 , ),(),( 0 yxPU (圆邻域 ) 0 PP 0P 4 0 0 PP 说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成 .)( 0PU 点 P0 的去心邻域记为 在空间中 , ),(),( 0 zyxPU (球邻域 ) 5 在讨论实际问题中也常使用方邻域 , 平面上的方邻域为 ),(),U( 0 yxP

2、。 0P 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含 . 6 2. 区域 (1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P : 若 存在 点 P 的 某邻域 U(P) E , 若 存在 点 P 的 某邻域 U(P) E = , 若对点 P 的 任一邻域 U(P) 既 含 E中的内点 也 含 E的外点 , E 则称 P 为 E 的 内点 ； 则称 P 为 E 的 外点 ; 则称 P 为 E 的 边界点 . 显然 , E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 7 (2) 聚点 若对 任意 给定的 , 点 P 的 去心 E 邻域 内 总有 E

3、中的点 , 则 称 P 是 E 的 聚点 . 3.聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 ) 1.内点一定是聚点； 说明： 2.边界点可能是聚点； 9 D (3) 开区域及闭区域 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为 开集 ； 若点集 E E , 则称 E 为 闭集 ； 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折 线相连 ,则称 D 是 连通 的 ; 开区域连同它的边界一起称为 闭区域 . 连通的开集称为 开区域 ,简称 区域 ; 。 。 E 的边界点的全体称为 E 的 边界 , 记作 E ; 10 例如，在平面上 0),( yxyx 41),( 22 y

4、xyx 0),( yxyx 41),( 22 yxyx 开区域 闭区域 x y o 21 x y o x y o x y o 21 11 整个平面 点集 1),( xyx 是开集， 是最大的开域 , 也是最大的闭域 ； 但非区域 . 1 1o x y 12 0|),( yxyx 有界闭区域； 无界开区域 x y o 例如， 则称为无界点集 为有界点集，否成立，则称对一切 即 ，不超过间的距离与某一定点 ，使一切点如果存在正数对于点集 EEP KAP KAPAEP KE 41|),( 22 yxyx 13 3. n 维空间 n 元有序数组 的全体称为 n 维空间 , ,Rn n 维空间中的每一个

5、元素 称为空间中 称为该点的第 k 个坐标 . 记作 即 RRRR n 的一个点 , 当所有坐标 称该元素为 nR 中的零元 , 记作 O . 14 的 距离 记作 中点 a 的 邻域为 ),( 21 nyyyy 与点 ),(R 21 nn xxxx 中的点 规定为 ),(R 21 nn xxxx 中的点 与零元 O 的距离为 22221 nxxxx .,3,2,1 xxn 通常记作时当 0R axaxn 满足与定元中的变元 .ax 记作 nR 15 二、多元函数的概念 引例 : 圆柱体的体积 三角形面积的海伦公式 c b a h r 16 设 D 是平面上的一个点集， 如果对于每个点 Dyx

6、P ),( ，变量 z 按照一定的法则总有确定的 值和它对应，则称 z 是变量 yx , 的二元函数，记为 ),( yxfz （或记为 )( Pfz ） . 二元函数的定义 当 2n 时， n 元函数统称为多元函数 . 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、 因变量等概念 . 类似地可定义三元及三元以上函数 18 二元函数 的图形 ),( yxfz 设函数 ),( yxfz 的定义域为 D ，对于任意 取定的 DyxP ),( ，对应的函数值为 ),( yxfz ，这样，以 x 为横坐标、 y 为纵坐 标、 z 为竖坐标在空间就确定一点 ),( zyxM ， 当 P 取遍 D 上一切点时，得一

7、个空间点集 ),(),(|),( Dyxyxfzzyx ，这个点集称 为二元函数的图形 . （如下页图） 19 二元函数的图形通常是一张曲面 . 20 x y z o xyz s in 例如 , 图形如右图 . 2222 azyx 例如 , 左图球面 . .),( 222 ayxyxD 222 yxaz .222 yxaz 单值分支 : 21 例 1 求 的定义域 2 22 )3a rcs i n ( ),( yx yxyxf 解 0 13 2 22 yx yx 2 22 42 yx yx 所求定义域为 .,42|),( 222 yxyxyxD 22 例 2 求 的定义域 22 ( , ) l

8、 n( ) 1 xyf x y y x xy 解：要使函数有意义，必须 22 0 0 10 yx xy xy 即 22 0 1 yx xy xy 定义域 22 ( , ) , 0 , 1 D x y y x x y x y 23 定义 2. 设 n 元函数 ,R),( nDPPf ,),( 0PUDP 则称 A 为函数 (也称为 n 重极限 ) 当 n =2 时 , 记 20200 )()( yyxxPP Ayxf ),(lim 0 APfPP )(lim 0 P0 是 D 的聚点 若存在常数 A ,使得 : 记作 Ayxf yy xx ),(l i m 0 0 都有 三、多元函数的极限 0

9、, 0 , 00 PP 24 说明： （ 1）定义中 的方式是任意的； 0PP （ 2）二元函数的极限也叫二重极限 );,(lim 0 0 yxf yy xx （ 3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似 25 仅知其中一个存在 , 推不出其它二者存在 . (4)二重极限 ),(l i m 0 0 yxf yy xx 不同 . 如果它们都存在 , 则三者相等 . 例如 , 显然 ),(l iml im 00 yxfyyxx 与累次极限 ),(li mli m 00 yxfyx ,0 由后例 6 知它在 (0,0)点二重极限不存在 . 26 例 3 求证 证 01s i n)(l i m 222

10、2 0 0 yx yx y x 01s i n)( 2222 yxyx 22 22 1s i n yxyx 22 yx ,0 , 当 时， 22 )0()0(0 yx 01s i n)( 2222 yxyx 原结论成立 27 例 4 求极限 2 220 0 l im x y xy xy 当 时， ( , ) ( 0 , 0 )xy 2 2 2 20 , 2x y x y x y 且 22 , ) ( 0 , 0 ) xy xy xy 因 此 是 （ 时 的 有 界 变 量 ， ( , ) ( 0 , 0 )y x y 而 是 时 的 无 穷 小 量 ， 所以 2 220 0 l im 0 x

11、y xy xy 2 2 2 2 2 x y x y y x y x y 解 28 例 5 求极限 . )s i n(lim 22 2 0 0 yx yx y x 解 22 2 0 0 )s i n (lim yx yx y x ,)s i n(lim 22 2 2 2 0 0 yx yx yx yx y x 其中 yx yx y x 2 2 0 0 )s i n (lim u u u sinli m 0 ,1 22 2 yx yx x2 1 ,00 x .0)s i n(l i m 22 2 0 0 yx yx y x yxu 2 0222 yxyx 29 趋于不同值或有的极限不存在 ， 解

12、: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 22),( yx yxyxf 222 2 00 lim),(lim xkx xkyxf x kxy x 在点 (0, 0) 没有极限 . ),( yxf故 则可以断定函数 则有 21 k k k 值不同极限不同 ! 在 (0,0) 点极限不存在 . 若当点 ),( yxP 以不同方式趋于 ,),( 000 时yxP 极限不存在 . 例 6. 证明函数 函数 30 例 7 证明 不存在 证 26 3 0 0 l i m yx yx y x 取 ,3kxy 26 3 0 0 lim yx yx y x 626 33 0 3

13、 l i m xkx kxx kxy x ,1 2k k 其值随 k的不同而变化， 故极限不存在 ,y kx 42 6 2 2 4 200l im l im 0 xx y k x y k x x k x k x x k x k 32 四、多元函数的连续性 定义 3 . 设 n 元函数 )(Pf 定义在 D 上 , )()(lim 0 0 PfPfPP 0)( PPf 在点 如果函数在 D 上各点处都连续 , 则称此函数在 D 上 连续 . ,0 DP 聚点 如果存在 否则称为不连续 , 此时 称为间断点 . 则称 n 元函数 连续 , 33 例如 , 函数 0,0 0, ),( 22 22 2

14、2 yx yx yx yx yxf 在点 (0 , 0) 极限不存在 , 又如 , 函数 上间断 . 122 yx 故 ( 0, 0 )为其间断点 . 在圆周 34 例 9 讨论函数 2 22 22 22 ,0 ( , ) 0 , 0 xy xy xyf x y xy 在 (0,0)的连续性 解： 由前面的讨论可知 ， 2 220 0 l im 0 x y xy xy (0 , 0 )f 所以该函数在原点连续。 35 多元初等函数 ：由多元多项式及基本初等函数 经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可 用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数 定义区域 是指包含在定义域内的区域或闭区域 ).(

15、)(l i m )()( )()(l i m 00 0 0 0 PfPfP PfPfP PfPf PP PP 处连续，于是点 在的定义域的内点，则是数，且 是初等函时，如果一般地，求结论 : 一切多元初等函数在定义区域内连续 . 36 .11l i m 0 0 yx yx y x 解 : 原式 21 例 11.求 11 1l i m 0 0 yx y x 37 定理 ：若 f (P) 在有界闭域 D 上连续 , 则 )()2( Pf 在 D 上至少可取得最大值 M 及最小值 m 一次 ; (3) 对任意 ，DQ (有界性定理 ) (最值定理 ) (介值定理 ) 闭域上多元连续函数有与一元函数类

16、似的如下性质 : (证明略 ) 在有界闭区域 D上的多元连续函数，如果在 D上 取得两个不同的函数值，则它在 D上取得介于这 两值之间的任何值至少一次 38 若点 ),( yx 沿着无数多条 直 线趋向于点 ),( 00 yx 时，函数 ),( yxf 都趋向于 A ，能否断 定 Ayxf yxyx ),(lim ),(),( 00 ？ 思考题 39 思考题解答 不能 . 例 ,)(),( 242 23 yx yxyxf )0,0(),( yx 取 ,kxy 2442 223 )(),( xkx xkxkxxf 00 x 但是 不存在 . ),(l i m )0,0(),( yxfyx 原因为若取 ,2yx 244 26 2 )(),( yy yyyyf .4 1 40 作业 P11 5 (2), (4), (6); 6 (2), (3), (5), (6); 7.