高等数学ch03第5讲

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1、第三章第五讲 一 .曲线的凹凸性及拐点 . 二 .曲线的渐近线 . 三 .描绘函数图形 . (一 )曲线凹凸的定义 问题 :如何研究曲线的弯曲方向 ? x y o x y o 1x 2x )(xfy 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 x y o 1x 2x 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 A B C )(xfy 曲线的凹凸性及拐点一 . ;),()( , 2 )()( ) 2 (, ),(,),()( 2121 21 内的图形是凹的在那末称 恒有两点 内任意如果对内连续在设 baxf xfxfxx fxx babaxf ;),()( , 2 )()( ) 2 ( ,),( 2121 21 内

2、的图形是凸的在那末称 恒有内任意两点如果对 baxf xfxfxx f xxba ;)(,)(,)( ),(,)( 的或凸内的图形是凹在那末称的或凸 内的图形是凹且在内连续在如果 baxf babaxf 定义 x y o )(xfy x y o )(xfy a b A B 递增)( xf a b B A 0y 递减)( xf 0y 定理 1 .,)(,0)()2( ;,)(,0)()1( ),(, ),(,)( 上的图形是凸的在则 上的图形是凹的在则 内若在二阶导数 内具有在上连续在如果 baxfxf baxfxf ba babaxf (二 )曲线凹凸的判定 2121 xxbaxx1 ，且设，

3、：任取证明 由拉氏中值公式，则 ，记 ,hxxhxx hxxxxx 2 xx 0201 10020 21 10,hhxfhxfxf 10,hhxfxfhxf 22000 11000 hhxfhxfxf2hxfhxf 2010000 上再应用拉氏公式得，在对 hxhxxf 1020 ,hfhhxfhxf 2212010 ,0 xf2hxfhxf,0f 000 ，即 0 00 xf 2 hxfhxf . 2 xxf 2 xfxf 2121 即 上的图形是凹的，在 baxfy 例 1 .3 的凹凸性判断曲线 xy 解 ,3 2xy ,6 xy 时，当 0 x ,0y 为凸的；在曲线 0,( 时，当

4、0 x ,0y 为凹的；在曲线 ),0 .)0,0( 点是曲线由凸变凹的分界点注意到 , (三 )曲线的拐点及其求法 连续曲线上凹凸的分界点称为 曲线的拐点 . 定理 2 如果 )( xf 在 ),( 00 xx 内存在二阶导 数 , 则点 )(, 00 xfx 是拐点的必要条件是 0)( 0 xf . 1.定义 注意 :拐点处的切线必在拐点处穿过曲线 . 2.拐点的求法 例 2 .1x4x3y 34 的拐点及凹、凸的区间求曲线 解 ),(: D ,1212 23 xxy ).32(36 xxy ,0y令 .32,0 21 xx得 x )0,( ),32( )32,0(0 32 )(xf )(

5、xf 0 0 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 )1,0( )2711,32( ).,32,32,0,0,( 凹凸区间为 例 3 .3 的拐点求曲线 xy 解 ,0时当 x ,31 3 2 xy ,94 3 5 xy .,0 均不存在是不可导点 yyx ,0,)0,( y内但在 ;0,( 上是凹的曲线在 ,0,),0( y内在 .),0 上是凸的曲线在 .)0,0( 3 的拐点是曲线点 xy 二 .曲线的渐近线 1.铅直渐近线 )( 轴的渐近线垂直于 x .)( )(l i m)(l i m 0 00 的一条铅直渐近线就是那么 或如果 xfyxx xfxf xxxx 例如 ,)3)(2( 1 xx

6、y 有铅直渐近线两条 : .3,2 xx 2.水平渐近线 )( 轴的渐近线平行于 x .)( )()(lim)(lim 的一条水平渐近线就是那么 为常数或如果 xfyby bbxfbxf xx 例如 ,a r c t a n xy 有水平渐近线两条 : .2,2 yy 3.斜渐近线 .)( ),(0)()(l i m 0)()(l i m 的一条斜渐近线就是那么 为常数或 如果 xfybaxy babaxxf baxxf x x 斜渐近线求法 : ,)(lim axxf x .)(l i m baxxfx .)( 的一条斜渐近线就是曲线那么 xfybaxy ; )( lim)1( 不存在 如果

7、 x xf x ,)(l i m,)(l i m)2( 不存在但存在 axxfax xf xx .)( 不存在斜渐近线可以断定 xfy 例 1 .1 )3)(2(2)( 的渐近线求 x xxxf 解 ).,1()1,(: D )(lim 1 xfx , )(lim 1 xfx , .1 是曲线的铅直渐近线 x x xf x )(lim又 )1( )3)(2(2l i m xx xx x ,2 x2)1x( )3x)(2x(2l i m x 1x )1x(x2)3x)(2x(2l i m x ,4 .42 是曲线的一条斜渐近线 xy 的两条渐近线如图1 )3)(2(2)( x xxxf 三 .描

8、绘函数图形 用微分法描绘函数图形的步骤是 : (1)确定函数的定义域 (2)研究函数的对称性 . (3)研究函数的增减和极值情况 (4)研究曲线的凹凸和拐点 . (5)求渐近线方程 . (6)求参考点坐标 . (7)画图 . (三 )作图举例 例 2 .2)1(4)( 2 的图形作函数 xxxf 解 ,0: xD 非奇非偶函数 ,且无对称性 . ,)2(4)( 3xxxf .)3(8)( 4xxxf ,0)( xf令 ,2x得驻点 ,0)( xf令 .3x得特殊点 2)1(4lim)(lim 2 xxxf xx ,2 ;2y得水平渐近线 2)1(4lim)(lim 200 xxxf xx ,

9、.0 x得铅直渐近线 列表确定函数升降区间 ,凹凸区间及极值点和拐点 : x )3,( ),0( )2,3( 3 )0,2( )(xf )(xf 0 0)(xf 2 0 不存在 拐点 极值点 间 断 点 3)926,3( :补充点 );0,31(),0,31( ),2,1( A ),6,1(B ).1,2(C 作图 x y o 2 3 2 1 1123 6 A B C 例 3 .21)( 2 2 的图形作函数 x ex 解 ),(: D 偶函数 , 图形关于 y轴对称 . ,2)( 2 2x exx ,0)( x令 ,0 x得驻点 ,0)x( 令 .1,1 xx得特殊点 .4.021)(0:

10、xW .2 )1)(1()( 2 2x exxx 2 2 2 1l i m)(l i m x xx ex ,0 .0y 得水平渐近线 x )1,( ),1( )0,1(1 )1,0( )(x )(x 0 0)(x 0 1 拐点 极大值 2 1) 21,1( e 列表确定函数升降区间 ,凹凸区间及极值点与拐点 : 0 拐点 )21,1( e x y o 11 21 2 2 2 1)( xex 例 4 .1)( 23 的图形作函数 xxxxf 解 ),(: D 无奇偶性及周期性 . ),1)(13()( xxxf ).13(2)( xxf ,0)( xf令 .1,31 xx得驻点 ,0)( xf令

11、 .31x得特殊点 :补充点 ),0,1(A ),1,0(B ).85,23(C 列表确定函数升降区间 , 凹凸区间及极值点与拐点 : x )31,( ),1( )31,31(31 )1,31( 0 3 1 1 拐点 极大值 27 32 ) 2716,31( 0)(xf )(xf )(xf 极小值 0 x y o )1,0(B ) 85,23(C 11 3131 123 xxxy 一、 填空题： 1 、 曲线 x ey 1 的水平渐近线为 _ _ _ _ _ _ _. 2 、 曲线 1 1 x y 的水平渐近线为 _ _ _ _ _ _ _ ， 铅直渐近线为 _ _ _ _ _ _ . 二、 描出下列函数的图形： 1 、 x xy 1 2 ； 2 、 22 )1( xxy ； 3 、 xy s inln . 三、求曲线 x xy 1 的渐近线并画图 . 练 习 题 1y 0y 1x 作业 P151:8(1)9(1),;p166:1,2: