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1、第五章大数定律与中 心极限定理 第一节 大数定律的概念 概率论与数理统计是研究随机现象统计规 律性的学科 . 随机现象的规律性只有在相同的条件下进 行大量重复试验时才会呈现出来 . 也就是说，要从随机现象中去寻求必然的 法则，应该研究大量随机现象 . 与 大数定律 中心极限定理 下面我们先介绍大数定律 研究大量的随机现象时，随机试验的次 数 n 要足够大，因此常常采用极限形式 ，由此导致对极限定理进行研究 . 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有 两种 : n 第五章第二节 大数定律 一、切贝谢夫不等式 设随机变量 有期望值 和方差 ， 则任给 ，有 E D 0 2DPE 21 DPE 或 P
2、E xE f x d x 2 2 xE xE f x d x 2 2 1 x E f x dx 2D 证明：如果 是连续型 r.v.，其概率密度为 ，则 fx 切贝谢夫不等式的意义： 给出了 r.v. 的分布未知时，事件“ ” 的概率的一个估计。 E 切贝谢夫不等式的适用范围： （ 1）期望 和方差 已知（或易求得）； （ 2）估计 落入 内的概率。 E D ,EE 例 1、 已知正常男性成人的血液中，每毫升 的白细胞数平均为 7300，均方差为 700，试 估计每毫升血液中白细胞数在 52009400之 间的概率。 解： 设正常男性成人每毫升血液中白细胞 数为 ，则 5 2 0 0 9 4
3、0 0P 2 1 0 0 7 3 0 0 2 1 0 0P 730 0 210 0P 2 2 7001 2100 8 9 大量的随机现象中平均结果的稳定性 大数定律的客观背景 大量抛掷硬币 正面出现频率 字母使用频率 生产过程中的 废品率 二、大数定律 1、依概率收敛： 若存在常数 a，使对于任何 ，有 则称随机变量序列 依概率收敛于 a。 0 l i m 1nn Pa n Pn a 切贝谢夫 11 11l i m 1nn iin ii n PE nn 2、切贝谢夫定律： 设 是相互 独立的随机变量序列，各有数学期 望 及方差 并且 对于所有 i=1,2, 都有 ，其中 l 是与 i 无关的常
4、数，则任给 ，有 0 12, 12,EE 12,DD iDl 证明： 因为 相互独立，所以 12, 1 1 n i i E n 1 1 n i i E n 由夹逼定理即得 1 1 n i i D n 2 1 1 n i i D n 21 nln ln 根据切贝谢夫不等式，对于任意 ，有 0 1 2 11 1 11 1 n inn i ii ii D n PE nn 21 ln 即 2 11 1111 nn ii ii l PE n n n 11 11l i m 1nn iin ii PE nn 切比雪夫大数定律给出了 平均值稳定性的科学描述 切比雪夫大数定律表明，独立随机变量 序列 ，如果 方
5、差有共同的上界 ，则 n 与其数学期望 偏差很小的 概率接近于 1. 1 1 n i in 1 1 n i i E n 随机的了，取值接近于其数学期望的概率接 近于 1. 即当 n充分大时， 差不多不再是 1 1 n i in 贝努里 引入 i=1,2, n 作为切比雪夫大数定律的特殊情况， 有下面的定理 . 设 是 n重贝努里试验中事件 A发 生的次数， p是事件 A发生的概率， 1, 0i iA 如果第次试验 发生 ，否则 则 1 n i i 是事件 A发生的频率 1 1 n i inn 于是有下面的定理： 3、贝努里大数定律 或 贝努里 设 是 n重贝努里试验中事件 A发生的 次数， p
6、是事件 A发生的概率，则对任给的 0， l im 1 n Pp n l im 0 n Pp n 贝努里大数定律提供了通过试验来确定 事件概率的方法 . 任给 0， l im 0 n Pp n 贝努里大数定律表明， 当重复试验次数 n 充分大时，事件 A发生的频率 与事件 A 的概率 p有较大偏差的概率很小 . /n 下面给出的 独立同分布下 的大数定 律， 不要求随机变量的方差存在 . 4、辛钦大数定律 辛钦 设随机变量序列 独立同分布，具有有限的数学期望 , i=1,2, ， 则对任给 0 ， 12, iEa 1 1l i m 1n in i Pa n 辛钦 大数定律使算术平均值的法则有了 理论根据 . 例如要估计某地区的平均亩产量，要收 割某些有代表性的地块，例如 n 块 . 计算 其平均亩产量，则当 n 较大时，可用它作 为整个地区平均亩产量的一个估计 . 这一讲我们介绍了大数定律 大数定律以严格的数学形式表达了随机 现象最根本的性质之一： 它是随机现象统计规律的具体表现 . 大数定律在理论和实际中都有广泛的应用 . 平均结果的稳定性
高等数学-概率51大数定律
