高等数学-微积分公式

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1、3.2 微积分基本公式 3.2.1 原函数和不定积分的概念 3.2.2 基本积分表 3.2.3 微积分基本公式 3.2.1 原函数和不定积分的概念 一、案例 二、概念和公式的引出 一、案例 路程函数 已知物体的运动方程为 2)( tts ，则其速度为 tttstv 2)()()( 2 这里速度 2t是路程 t2的导数，反过来，路程 t2又称为速 度 2t的什么函数呢？若已知物体运动的速度 v(t)，又如 何求物体的运动方程 s(t)呢？ 二、概念和公式的引出 如果在开区间 I内，可导函数 F(x)的导函数为 f(x), 即当 Ix 时 , xfxF 或 xxfxF dd 则称函数 F(x)是函

2、数 f(x)在区间 I内的一个 原函数 原函数 若 xF 是函数 xf 在开区间 I 内的一个原函数， 即 xxf d CxF 其它符号的名称与定积分中的名称一致 不定积分 在该区间 I 内的 不定积分 ，记作 xxf d称为 xf C 为任意常数） xf 的所有原函数的表达式 CxF 则 （ C称为 积分常数 ， xfxxf d d d df( x ) x f x x或 Cxfxxf d 或 Cxfxfd 函数的不定积分与导数（或微分）之间的 运算关系： 3.2.2 基本积分表 一、案例 二、概念和公式的引出 一、案例 幂函数的不定积分 于是 Cxxx 1d 1 1 类似地 , 由基本初等函

3、数的求导公式，可以写出与之对应的不定积分公式 x x 1 1 因为 1 1 x 是 x 的一个原函数 1.基本积分表 Ckxxk d (1) k 为常数） ( (2) Cxxx 1d 1 1 (3) Cxxx lnd1 (4) Caaxa xx lnd (5) Cexe xx d (6) Cxxx c o sds in (7) Cxxx s indc o s (8) Cxxx t a nds e c 2 二、概念和公式的引出 (9) Cxxx c o tdc s c 2 (10) Cxxxx s e cdt a ns e c (11) Cxxxx c s cdc o tc s c (12) C

4、xxx a r c s ind1 1 2 (13) Cxxx a r c t a nd1 1 2 2、不定积分的性质 xxgxxfxxgxf ddd 即两个函数和（差）的不定积分等于这两个函数 的不定积分的和（差）。 性质可推广到有限个函数的情形 xxfkxxkf dd 0k k 为常数 即被积函数中不为的常数因子可以提到积分号外 (1) 性质 1 (2) 性质 2 3.2.3 微积分基本公式 一、案例 二、概念和公式的引出 三、进一步练习 列车快进站时必须减速若列车减速后的速度为 ttv 311 （ km/min） ，问列车应该在离站台多远的 地方开始减速？ 解 由变速直线运动路程的计算，有

5、 303 ( ) ds v t t 当列车速度为 时停下，解出 3t （ min） 0311)( ttv 一、案例 列车制动 ttvts 311)( ，且 00 s 因此，求 dttv3 0 )( 即 s（ 3)转化为求 s(t),而 211( ) d ( 1 ) d36s t v t t t t t t C 303 ( )ds v t t 5.13613 2 （ km） 即列车在距站台 1.5km处开始减速 由速度与路程的关系 tstv 知路程 ts 满足 列车从减速开始到停下来的 3min内所经过的路程为 将 s(0)=0代入上式，得 C=0，故 21 6s t t t 原函数，则 dba

6、 f x x F b F a baxF 此公式称为 微积分基本公式 ，也称为 牛顿莱布尼兹公式 xF 是连续函数 xf 在区间 ba,若函数 上的一个 二、概念和公式的引出 微积分基本公式 2、定积分的性质 xxgxxfxxgxf ddd 即两个函数和 (差 )的定积分等于它们定积分的和 (差 ) 性质可推广到有限个函数的情形 xxfkxxkf dd k 为常数 即被积函数的常数因子可以提到积分号外 (1) 性质 1 (2) 性质 2 牛顿莱布尼茨公式提供了计算定积分的简 便方法，即求定积分的值，只要求出被积函数 f(x)的一个原函数 F(x)，然后计算原函数在区间 a,b上的增量 F(b)F

7、(a)即可 . 该公式把定积分的计算归结为求原函数的问 题，揭示了定积分与不定积分之间的内在联系 . 练习 1 运动方程 已知一物体作直线运动， (1)求速度 v与时间 t的函数关系； (2)求路程 s与时间 t的函数关系 三、 进一步的练习 tta s in312 2 且当 0t 时， ,5v 3s加速度为 解 (1)由速度与加速度的关系 )()( tatv 知速度 )(tv 满足 tttatv s in312)()( 2 且 5)0( v 求不定积分，得 23( 1 2 3 s in ) 4 3 c o st t t t t C d 将 5)0( v 代入上式得 C=2所以 2c o s3

8、4)( 3 tttv (2)由路程与速度的关系 )()( tvts ，知路程 )(ts 满足 2c o s34)()( 3 tttvts 且 3)0( s 求不定积分，得 34( ) ( 4 3 c o s 2 )d 3 s i n 2s t t t t t t t C 将 代入上式得 C=3所以 3)0( s 4( ) 3 s i n 2 3s t t t t 练习 2 磁场能量 在电压和电流关联参考方向下， 电感元件吸收的功率为 d d ip ui L i t 在 dt时间内，电感元件在磁场中的能量增加量为 d d dW p t L i i 电流为零时，磁场亦为零，即无磁场能量；当电流从

9、0增大到 i时，电感元件储存的磁场能量为 2 0 1d 2 iW Li i Li 由此可见，磁场能量只与最终的电流值有关，而与电流 建立的过程无关。 练习 3 电流函数 若 t=0时 i=2A，求电流 i关于时间 t的函数 . 2d 4 0.6 d i tt t 一电路中电流关于时间的变化率为 解 由 26.04 tt dt di 得 )(ti 2( 4 0 . 6 ) dt t t 将 代入上式得 C=2所以 2)0( i )(ti 232 0 . 2 2tt 232 0 . 2t t C 练习 4 结冰厚度 起到时刻 t(单位： h)冰的厚度（单位： cm）， t 是正的常数求 y关于 t的函数 tkty dd 给出，其中 y 是自结冰 池塘结冰的速度由 解 由 tkty dd ,得 3 22( ) d d ( ) 3y t k t t k t t k t C 其中 t=0开始结冰，此时冰的厚度为 0，即有 y(0)=0 代入上式，得 C=0.所以 3 22() 3y t k t