考研数学高数部分重难点总结

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1、考研数学高数部分重难点总结 １高数部分 1.1 高数第一章《函数、极限、持续》 1.2 求极限题最常用的解题方向：1．运用等价无穷小;2.运用洛必达法则，对于型和型的题目直接用洛必达法则,对于、、型的题目则是先转化为型或型,再使用洛比达法则;３．运用重要极限,涉及、、；４.夹逼定理。 1.3 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》 第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、持续》、背面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基本性知识，一方面有单独出题的状况，如历年真题预测的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其他题目中需要做大量的灵活运用，故非常有

2、必要打牢基本。 对于第三章《不定积分》,陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范畴远不小于考试也许波及的范畴。在此只提示一点:不定积分中的积分常数C容易被忽视,而考试时如果在答案中少写这个Ｃ会失一分。因此可以这样建立起两者之间的联系以加深印象：定积分的成果可以写为F(x)＋1,1指的就是那一分,把它折弯后就是中的那个C,漏掉了C也就漏掉了这1分。 第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分措施的应用，解题的核心除了运用多种积分措施以外还要注意定积分与不定积分的差别——出题人在定积分题目中一方面也许在积分上下限上做文章:对于型定积分,若f(x)是奇函数则有=0；若f(x）为偶函数则

3、有=２；对于型积分,f(x)一般含三角函数，此时用的代换是常用措施。因此解这一部分题的思路应当是先看与否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同步考虑到运用变量替代x=－u和运用性质 、。在解决完积分上下限的问题后就使用第三章不定积分的套路化措施求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。 1.4 高数第五章《中值定理的证明技巧》 由本章《中值定理的证明技巧》讨论一下证明题的应对措施。用如下这组逻辑公式来作模型：如果有逻辑推导公式AＥ、(AＢ)Ｃ、(ＣＤE)F,由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易限度不等的证明题,其中一种可以是这样的:条件给出A、B、Ｄ，求证F成立。 为

4、了证明F成立可以从条件、结论两个方向入手,我们把从条件入手证明称之为正方向，把从结论入手证明称之为反方向。正方向入手时也许遇到的问题有如下几类:1．已知的逻辑推导公式太多,难以从中找出有用的一种。如对于证明F成立必备逻辑公式中的AE就也许有AH、A(IK)、(ＡＢ) M等等公式同步存在，有的逻辑公式看起来最有也许用到,如(AB)　M，由于其中波及了题目所给的3个条件中的2个，但这恰恰走不通; 2.对于解题必须的核心逻辑推导关系不清晰，在该用到的时候想不起来或者弄错。如对于模型中的(AB) C,如果不懂得或弄错则一定无法得出结论。从反方向入手证明时也会遇到同样的问题。 通过对这个模型的分析可以

5、看出,对可用知识点掌握的不牢固、不纯熟和无法有效地从众多解题思路中找出答案是我们解决不了证明题的两大因素。 针对以上分析，解证明题时其一要灵活,在一条思路走不通时必须迅速转换思路，而不应当再从头开始反复地想自己的这条思路是不是哪里出了问题;此外更重要的一点是如何从题目中尽量多地获取信息。 当我们解证明题遇到困难时,最常用的状况是拿到题莫名其妙，感觉条件与欲证结论简直是风马牛不相及的东西,长时间无法入手；好不容易找到一种大体方向，在做若干步后来却再也无法与结论拉近距离了。从出题人的角度来看，这是由于没可以有效地从条件中获取信息。“尽量多地从条件中获取信息”是最明显的一条解题思路，同步出题教师

6、也正是这样安排的,但从题目的“欲证结论”中获取信息有时也非常有效。如在上面提到的模型中，如果做题时一开始就想到了公式(CDＥ)　F再倒推想到 (AB)　Ｃ、　AＥ就可以证明了。 如果把重要靠分析条件入手的证明题叫做“条件启发型”的证明题,那么重要靠“倒推结论”入手的“结论启发型”证明题在中值定理证明问题中有很典型的体现。其中的规律性很明显,甚至可以以表格的形式表达出来。下表列出了中值定理证明问题的几种类型： 条件 欲证结论 可用定理 Ａ 有关闭区间上的持续函数，常常是只有持续性已知 存在一种满足某个式子 介值定理(结论部分为:存在一种使得） 零值定理(结论部分为：存在一种

7、使得) B 条件涉及函数在闭区间上持续、在开区间上可导 存在一种满足 费尔马定理（结论部分为： ） 洛尔定理（结论部分为：存在一种使得） C 条件涉及函数在闭区间上持续、在开区间上可导 存在一种满足 拉格朗日中值定理(结论部分为:存在一种使得) 柯西中值定理(结论部分为:存在一种使得) 此外还常运用构造辅助函数法,转化为可用费尔马或洛尔定理的形式来证明 从上表中可以发现,有关中值定理证明的证明题条件一般比较单薄,如表格中Ｂ、C的条件是同样的,同步A也只多了一条“可导性”而已;因此在面对这一部分的题目时，如果把与证结论与也许用到的几种定理的的结论作一比较,会比从题目条

8、件上挖掘信息更容易找到入手处。故对于本部分的定理如介值、最值、零值、洛尔和拉格朗日中值定理的掌握重点应当放在熟记定理的结论部分上；如果可以做到想到介值定理时就能同步想起结论“存在一种使得”、看到题目欲证结论中浮现类似“存在一种使得”的形式时也能立即想到介值定理；想到洛尔定理时就能想到式子；而见到式子也犹如见到拉格朗日中值定理同样,那么在解决本部分的题目时就会轻松的多，时常还会收到“豁然开朗”的效果。因此说，“牢记定理的结论部分”对作证明题的好处在中值定理的证明问题上体现的最为明显。 综上所述，针对涉及中值定理证明在内的证明题的大方略应当是“尽一切也许挖掘题目的信息,不仅仅要从条件上充足考虑，

9、也要注重题目欲证结论的提示作用，正推和倒推相结合；同步保持苏醒理智,减少出错的也许”。但愿这些想法对你能有一点启发。但是仅仅弄明白这些离实战规定还差得很远，由于在实战中证明题难就难在答案中用到的变形转换技巧、性质甚至定理我们当时想不到;诸多结论、性质和定理自己感觉的确是弄懂了、也差不多记住了,但是在做题时那种没有提示、或者提示很少的条件下还是无法做到灵活运用;这也就是自身感觉与实战规定之间的差别。 这就像在记英语单词时，看到英语能想到汉语与看到汉语能想到英语的掌握限度是不同的同样,对于考研数学大纲中“理解”和“掌握”这两个词的结识其实是在做题的过程中才慢慢清晰的。我们需要做的就是靠足量、高效

10、的练习来透彻掌握定理性质及纯熟运用多种变形转换技巧,从而达到大纲的相应规定,提高实战条件下解题的胜算。依我看,最大的技巧就是不依赖技巧，做题的问题必须要靠做题来解决。 1.5 高数第六章《常微分方程》 本章常微分方程部分的构造简朴，陈文灯复习指南对一阶微分方程、可降阶的高阶方程、高阶方程都列出了方程类型与解法相应的表格。历年真题预测中对于一阶微分方程和可降阶方程至少是以小题浮现的，也常常以大题的形式浮现,一般是通过函数在某点处的切线、法线、积分方程等问题来引出;从历年考察状况和大纲规定来看，高阶部分不太也许考大题，并且考察到的类型一般都不是很复杂。 对于本章的题目,第一步应当是辨明类型，

11、实践证明这是必须放在第一位的；分清类型后来按照相应的求解措施按部就班求解即可。这是由于其实并非所有的微分方程都是可解的，在大学高等数学中只讨论了有限的可解类型,因此出题的灵活度有限,很难将不同的知识点紧密结合或是灵活转换。这样的知识点特点就决定了我们可以采用相对机械的“辨明类型——〉套用相应措施求解”的套路 ，并且多种类型的求解措施正好也都是格式化的，便于以这样的方式使用。 先讨论一下一阶方程部分。这一部分构造清晰，对于多种方程的通式必须牢记，还要可以对易混淆的题目做出精确判断。多种类型均有自己相应的格式化解题措施，这些措施死记硬背并不容易，但有规律可循——这些措施最后的目的都是统一的，就是

12、把以多种形式浮现的方程都化为f(x）ｄｘ＝ｆ(y)ｄy这样的形式,再积分得到答案。对于可分离变量型方程,就是变形为=－，再积分求解；对于齐次方程则做变量替代，则化为，原方程就可化为有关的可分离变量方程,变形积分即可解;对于一阶线性方程第一步先求的通解,然后将变形得到的积分,第二步将通解中的Ｃ变为C(x)代入原方程解出C（ｘ)后裔入即可得解;对于贝努利方程,先做变量代换代入可得到有关z、x的一阶线性方程，求解后来将z还原即可;全微分方程M(x,y)dx+N(x，y)dｙ比较特殊，由于其有条件，并且解题时直接套用通解公式. 因此,对于一阶方程的解法有规律可循，不用死记硬背环节和最后成果公式。对于

13、求解可降阶的高阶方程也有类似的规律。对于型方程，就是先把当作未知函数Z，则　原方程就化为 的一阶方程形式，积分即得；再对、依次做上述解决即可求解; 叫不显含　 的二阶方程，解法是通过变量替代　、　(p为ｘ的函数)将原方程化为一阶方程;叫不显含x的二阶方程，变量替代也是令（但此中的p为y的函数）,则，也可化为一阶形式。 因此就像在前面解一阶方程部分记“求解齐次方程就用变量替代”，“求解贝努利方程就用变量替代”同样，在这里也要记住“求解不显含ｙ的二阶方程就用变量替代、 ”、“求解不显含ｘ的二阶方程就用变量替代、”。 大纲对于高阶方程部分的规定不高,只需记住相应的公式即可。其中二阶线性微分

14、方程解的构造定理与线性代数中线性方程组解的构造定理非常相似,可以对比记忆： 若、是齐次方程的两个线性无关的特解,则该齐次方程的通解为 若齐次方程组Ax＝0的基本解系有(n-r)个线性无关的解向量,则齐次方程组的通解为 非齐次方程的通解为,其中是非齐次方程的一种特解,是相应齐次方程的通解 非齐次方程组Ax=ｂ的一种通解等于Aｘ=b的一种特解与其导出组齐次方程Ax=０的通解之和 若非齐次方程有两个特解，则相应齐次方程的一种解为 若、是方程组Aｘ＝ｂ的两个特解,则（－）是其相应齐次方程组Ax=０的解 由以上的讨论可以看到，本章并不应当成为高数部分中比较 难办的章节，由于这一章如果有难

15、点的话也仅在于“如何精确无误地记忆多种方程类型及相应解法”，也可以说本章难就难在记忆量大上。 1.6 高数第七章《一元微积分的应用》 本章涉及导数应用与定积分应用两部分,其中导数应用在大题中浮现较少，并且一般不是题目的考察重点；而定积分的应用在历年真题预测的大题中常常浮现,常与常微分方程结合。典型的构题方式是运用变区间上的面积、体积或弧长引出积分方程,一般需要把积分方程中的变上限积分单独分离到方程的一端形成“＝∽”的形式,在两边求导得到微分方程后套用有关方程的相应解法求解。 对于导数应用，有如下某些小知识点： 1. 运用导数判断函数的单调性和研究极、最值。其中判断函数增减性可用定义法或

16、求导判断，鉴定极、最值时则须注意如下两点: Ａ. 极值的定义是：对于的邻域内异于的任一点均有>或<,注意是＞或＜ 而不是≥或≤; B.　极值点涉及图1、图２两种也许,因此只有在在处可导且在处取极值时才有。以上两点都是实际做题中常常忘掉的地方，故有必要加深一下印象。 2. 讨论方程根的状况。这一部分常用定理有零值定理（结论部分为）、洛尔定理(结论部分为）；常用到构造辅助函数法；在作题时，画辅助图会起到较好的作用，特别是对于讨论方程根个数的题目,结合函数图象会比较容易判断。 3. 理解辨别函数图形的凸凹性和极大极小值的不同鉴定条件:A.若函数在 区间I上的，则在I上是凸的;若在Ｉ上的,则

17、在I上是凹的；B.若在点处有且,则当时为极大值，当时为极小值。 其中,Ａ是判断函数凸凹性的充要条件,根据导数定义，是的变化率,是的变化率。可以阐明函数是增函数，典型图像是; 可以阐明函数的变化率在区间I上是递减的,涉及如下两种也许： a．此时为正,且随变大而变小（大小关系可参照图３); b.此时为负，随变大而变小(大小关系可参照图３)； 同样,也只有两种相应图像： c.此时为正,随着变大而变大； d.此时为负，随变大而变大。 因此,当时，相应或的函数图像，是凸的;当时,相应或的函数图像，是凹的。 相比之下，判断函数极大极小值的充足条件比判断函数凸凹性的充要条件多了“且”,这从图

18、像上也很容易理解:满足的图像必是凸的,即或，当且时不就一定是的状况吗。 对于定积分的应用部分，一方面需要对微元法纯熟掌握。在历年考研真题预测中,有大量的题是运用微元法来获得方程式的,微元法的纯熟应用是倍受出题教师青睐的知识点之一;但是由于微元法这种措施自身有思维上的跳跃，对于这种灵活有效的措施必须通过足量的练习才干真正体会其思想。在此结合函数图像与相应的微元法核心式来归纳微元法的三种常用类型： 1. 薄桶型. 　本例求的是由平面图型a≤x≤ｂ,0≤y≤f(x)绕y轴旋转所形成的旋转体体积。措施是在旋转体上取一薄桶型形体(如上图阴影部分所示),则根据微元法思想可得薄桶体积 　,其中是薄桶的高

19、,是薄桶展开变成薄板后的底面积,就是薄板的厚度；两者相乘即得体积。 对 积分可得 。在这个例子中,体现微元法特色的地方在于:1.虽然薄桶的高是个变化量，但却用来表达；2.用表达薄桶的厚度；3.核心式。 2. 薄饼型.本例求的是由抛物线及绕轴旋转形成的高 　的旋转体体积,措施是取如上图阴影部分所示的一种薄饼型形体，可得微元法核心式　。其中 是薄饼的底面积,薄饼与 旋转面相交的圆圈成的面积是 ,∵，∴；同理薄饼与 旋转面相交的圆圈成的面积是 ,　两者相减即得薄饼底面积。核心式中的 　是薄饼的高。这个例子中的薄饼其实并不是上下一般粗的圆柱，而是上大下小的圆台，但将其视为上下等粗来求

20、解,这一点也体现了微元法的特色。 3. 薄球型.本例求球体质量，半径为　　,密度 ， 其中 　指球内任意一点到球心的距离。措施是取球体中的一种薄球形形体,其内径为 厚度为 ，对于这个薄球的体积有 ,其中是薄球表面积,是厚度。该核心式可以想象成是将薄球展开、摊平得到一种薄面后来再用底面积乘高得到的。由于很小,故可觉得薄球内质量均匀，为，则薄球质量，积分可得成果。本例中“用内表面的表面积乘以薄球厚度得到核心式”、“将内的薄球密度视为均匀”体现了微元法的特色。 通过以上三个例子谈了一下了我对微元法特点的一点结识。这种措施的灵活运用必须通过自己动手做题体会才干实现，由于其中某些逻辑表面上并不符

21、合常规思维，但也许这正是研究生入学考试出题教师喜欢微元法的因素。 有关定积分的应用,如下补充列出了定积分多种应用的公式表格: 求平面图形面积 求旋转体体积（可用微元法也可用公式) 左图中图形绕轴旋转体的体积,绕轴旋转体得体积 左图中图形绕轴旋转体的体积,绕轴旋转体得体积 已知平行截面面积求立体体积 　 求平面曲线的弧长 1.7 高数第八章《无穷级数》 本章在考研真题预测中最频繁浮现的题型涉及“判断级数敛散性”、“级数求和函数”和“函数的幂级数展开”。其中判敛是大、小题都常考的，在大题中一般作为第一问浮现

22、,求和与展开则都是大题。这一章与前面的常微分方程、背面的曲线曲面积分等章都是比较独立的章节,在考试时会出大题,并且章内涉及的内容多、比较复杂。陈文灯复习指南上对有关章节的指引并不尽如人意,由于套题型的措施在这些复杂章节中不能呈现其长处，故整体来说构造比较散乱。 对于级数判敛部分,重要用的措施是比较法、级数敛散性的定义和四则运算性质。其中比较判敛法有一般形式和极限形式，使用比较判敛法一般形式有如下典型例子: 1．　已知级数收敛，判断级数的敛散性。其判敛过程的核心是找到不等式,再应用比较法的一般形式即可判明。其实这种“知一判一”式的题目是有局限性的——若已知级数收敛，则所规定判敛的级数只能也是收

23、敛的,由于只有“不不小于收敛级数的级数必收敛”这一条规则可用,若待判敛级数不小于已知收敛级数,则成果无法鉴定。因此考研真题预测中一般只会出成选择题“已知某级数收敛,则下列级数中收敛的是（)”。 2.　上一种题型是“知一判一”，下面的例子则是给出级数某些性质规定判断敛散性,措施是通过不等式放缩与那些已知敛散性的级数建立起联系,再应用比较法一般形式判断。举例如下:已知单调递减数列满足,判断级数的敛散性。核心环节是：由得到,再运用比较判敛法的一般形式即得。对于使用比较判敛法极限形式的题目一般也不会超过“知一判一”和“知性质判敛”这两种形式。 幂级数求和函数与函数的幂级数展开问题是重点内容,也是

24、每年均有的必考题。通过做历年真题预测，我发现像一元函数微积分应用中的微元法、无穷级数中的求和与展开这样倍受出题人青睐的知识点均有一种相似之处，就是这些知识点从表面上看比较复杂、难于把握,事实上也必须通过认真思考和足量练习才干达到应有的深度，但在领略到解决措施的精髓思想后来这些知识点又会“忽然”变的十分简朴。 也就是说，掌握这样的知识点门槛较高，但只要跨过缓慢的起步阶段，背面的路就是一马平川了;同步，具有这种特点的知识点也可以提供应出题人更大的出题灵活性，而通过“找到更多便于灵活出题的知识点来跳出题型套路”正是近几年考研真题预测出题专家致力达到的目的，这一趋势不仅体目前了近年来的考卷上，也必然

25、是此后的出题方向。 因此我们在复习过程中对于具有“浅看复杂、深究简朴、思路巧妙、出法灵活”的知识点要倍加注意,对于无穷级数这样必出大题的章节中间的“求和、展开”这样必出大题的知识点，更是要紧抓不放。由于这种知识点对“复习时间投入量”的规定接近于一种定值,认认真真搞明白后来,只要接着做适量的题目巩固就行了，有点“一次投入，终身受益”的意思，花时间来掌握很划算。 此外,“求和与展开”的简朴之处还在于：达到纯熟做题限度后来会发现其大有规律可循。这种规律是建立在对6个核心的函数展开式“熟之又熟”的掌握上的。对此6个展开式的掌握必须像掌握重要定理同样，对条件、等式的左端和右端都要牢牢记住，不仅要一见

26、到三者中的任意一种就能立即写出其她两部分,并且要可以区别相似公式,将出错概率降到最小。公式如下： 1.　 　 (-1,１） 2. 　　　 (-1,１） ３． ４． 　 ５. 6． 这六个公式可以分为两个部分，前3个互相关联,后３个互相关联。1式是第一部分式子的基本。不就是一种无穷等比数列吗，在时的求和公式正是函数展开式的左端。因此这个式子最佳记,以此为出发点看式子２:1式左端是，２式左端是；1式右端是，２式右端也仅仅是变成了交错级数，故可以通过这种比较来记忆式子2;对于３式来说，公式左端的与2式左端的存在着关系“”，故由的展开式可以推导出的展开式

27、为。这三个式子中的,互相之间存在着上述的清晰联系。 后3个式子的,互相之间的联系重要在于公式右端展开式形式上的相似性。这一部分的基本式是公式4：与之相比，的展开式是,的展开式是。一种可当作是将展开式中的奇数项变成交错级数得到的,一种可当作是将展开式中的偶数项变成交错级数而得到。像这样从“形似”上掌握不费脑子，但要冒记混淆的危险，但此处正好都是比较顺的搭配：、习惯上说“正余弦”,先正后余；而的展开式相应的是奇数项，的展开式相应的是偶数项，习惯上也是说“奇偶性”，先奇后偶。 记好6个核心式是解决幂级数求和与函数的幂级数展开问题的基本，不仅在记忆上具有规律性，在解题时也大有规律可循。 在已知幂

28、级数求和函数时，最佳途径是根据各个公式右端的形式来选定公式：第一部分(前3式)的展开式都不带阶乘,其中只有的展开式不是交错级数；第二部分（后3式）的展开式都带阶乘,其中只有的展开式不是交错级数。由题目给出的幂级数的形式就可以看个八九不离十了，例如给出的幂级数带阶乘而不是交错级数,则应当用公式4，由于幂级数的变形变不掉阶乘和;若题目给出的幂级数不带阶乘并且是交错级数,则必从２、3两式中选择公式,其他状况也类似。 对于函数的幂级数展开题目，则是从已知条件与各公式左端的相似性上入手,相对来说更为简朴。在判断出所用公式后来一般要使用下列变形措施使得题目条件的形式与已知公式相符：变量替代（用于函数的幂

29、级数展开）、四则运算(用于展开、求和）、逐项微积分（用于展开、求和）。 对于数项级数求和的题目,重要措施是构造幂级数法，即运用变换求得幂级数的和函数后来代入极限式即可。其中的核心环节是选择合适的，一般状况下如果、这样的项在分子中,则应当先用逐项积分再用逐项求导,此时的应为的形式,如、，以以便先积分；若题目有、这样的项,则应为的形式,如、,便于先求导。这些经验在做一定量的题目后就会得到。 本章最后的知识点是付立叶级数，很少考到,属于比较偏的知识点，但其思想并不复杂，花时间掌握还是比较划算的。函数的付立叶级数的物理意义就是谐波分析，即把一种复杂周期运动看作是若干个正余弦运动的叠加。一方面需记住

30、付立叶展开式和收敛定理,在具体展开时有如下两种状况: 1. 题目给出的函数至少有一种完整的周期,如图则直接套用公式即可,不存在奇开拓和偶开拓的问题。对于形状类似上图的函数，展开以 后级数中既有正弦级数也有余弦级数； 若为奇函数如，则展开后只有正弦级数；若为偶函数则展开后只有余弦函数； 2. 题目给出函数后没有阐明周期,则需要根据题目规定进行 奇开拓或偶开拓。如图，若规定进行奇开拓就是展开成奇函数，此时得到的级数中只有正弦级数,图像为;若规定进行偶开拓就是要展开成偶函数，此时得到的展开式中只有余弦级数，图像为。 1.8 高数第九章《矢量代数与空间解析几何》 本章并不算很难，但其

31、中有大量的公式需要记忆,故如何减少记忆量是复习本章时需要重点考虑的问题。抓住本章前后知识点的联系来复习是一种有效的方略,由于这样做既可以避免反复记忆、减少记忆量，又可以保证记忆的精确性。同步，知识点前后联系密切也正是本章的突出特点之一。如下列出本章中前后联系的知识点: a) 矢量间关系在讨论线线关系、线面关系中的应用。这个联系很 明显,举例来说,平面与直线平行时，平面的法矢量与直线的方向矢量互相垂直,而由矢量关系性质知此时二矢量的数积为0,若直线方程为,平面方程为，则有。同理可对线面、线线、面面关系进行鉴定。 b) 数积定义与求线线、线面、面面夹角公式的联系。数积定义式 为，故有，这个

32、式子是所有线线、线面、面面夹角公式的源公式。举例来说,设直线,直线，则二直线夹角,其中、分别是两条直线的方向矢量。对于线面、面面夹角同样合用，只需注意一点就是线面夹角公式中不是而是，由于如右图所示由于直线的方向矢量与直线的走向平行，而平面的法矢量却与平面垂直，因此线面夹角是两矢量夹角的余角，即,故求夹角公式的左端是。对于线线夹角和面面夹角则无此问题。 c) 平面方程各形式间的互相联系。平面方程的一般式、点法式、 三点式、截距式中，点法式和截距式都可以化为一般式。点法式（点为平面上已知点，为法矢量）可变形为，符合一般式的形式;截距式（为平面在三个坐标轴上的截距）可变形为,也符合一般式的形式。

33、这样的转化不仅仅是为了更好地记公式，更重要是由于在考试中也许需要将这些式子互相转化以以便答题（这种状况在历年真题预测中曾经浮现过)。 同样，直线方程各形式之间也有类似联系，直线方程的参数形式和原则式之间可以互相转化。直线方程的参数形式（是平面上已知点,为方向矢量）可变形为,即为原则式；原则式若变形为则也可以转化为参数形式。这个转化在历年真题预测中应用过不止一次。 d) 空间曲面投影方程、柱面方程、柱面准线方程之间的区别与联 系。有关这些方程的基本性知识涉及：表达的是一种空间曲面；由于空间曲线可视为由两个空间曲面相交而得到的，故空间曲面方程为;柱面方程如圆柱面、椭圆柱面可视为是二元函数在三

34、维坐标系中的形式。 在这些基本上分析，柱面方程的准线方程如可视为是由空间曲面——柱面与特殊的空间曲面——坐标平面相交形成的空间曲线,即右图中的曲线2；而空间曲线的投影方程与柱面准线方程其实是一回事,如上图中曲线１的投影是由过曲线1的投影柱面与坐标平面相交得到的，因此也就是图中的柱面准线。在由空间曲线方程求投影方程时，需要先从方程组中消去得到一种母线平行于轴的柱面方程;；再与联立即可得投影方程。 1.9 高数第十章《多元函数微分学》 复习本章内容时可以先将多元函数各知识点与一元函数相应部分作对比,这样做即可以将

35、相似知识点区别开以避免混淆，又可以通过与一元函数的对比来增进对二元函数某些地方的理解。本章重要内容可以整顿成一种大表格: 二元函数的定义(略) 相似 一元函数的定义（略） 二元函数的持续性及极限: 二元函数的极限规定点以任何方向、任何途径趋向时均有（、）。如果沿不同途径的不相等，则可断定不存在。 不同 一元函数的持续性及极限： 一元函数的极限与途径无关,由等价式即可判断。 二元函数在点处持续性判断条件为：存在且等于 相似 一元函数在点处持续性判断条件为且等于 二元函数的偏导数定义 二元函数的偏导数定义分段函数在分界点处求偏导数要用 偏导数的定义

36、 相似 一元函数的导数定义 一元函数的导数定义：分段函数在分界点处求导数需要用导数定义 二元函数的全微分: 简化定义为：对于函数,若其在点处的增量可表达为，其中为的高阶无穷小，则函数在处可微，全微分为，一般有 相似 一元函数的全微分: 简化定义为：若函数在点处的增量可表达为，其中是的高阶无穷小,则函数在该点可微,即，一般有 二元函数可微、可导、持续三角关系图 持续 　 　　 　 可导 　　　 可微 不同 二元函数可微、可导、持续三角关系图 持续　　 　　 　可导 可微 多元函数的全导数 设，，，且都

37、可导，则对的全导数 不同 一元函数没有“全导数”这个概念,但是左边多元函数的全导数其实可以从“一元复合函数”的角度理解。一元复合函数是指、时有。与左边的多元函数全导数公式比较就可以将二式统一起来。 多元复合函数微分法 复合函数求导公式:设、、、,则有。对于多元复合函数求导，在考研真题预测中有一种百出不厌的点就是函数对中间变量的偏导数、、仍是觉得中间变量的复合函数，此时在求偏导数时还要反复使用复合函数求导法。这是需要通过足量做题来纯熟掌握的知识点,在背面的评题中会就题论题作更充足的论述。 相似 一元复合函数求导公式如上格所示,与多元复合函数求导公式相似,只需分

38、清式子中与的不同即可 多元隐函数微分法 求由方程拟定的隐含数的偏导数，可用公式： ,对于由方程组拟定的隐含数、可套用方程组 一元复合函数、参数方程微分法 对一元隐函数求导常采用两种措施：1.公式 2．将视为的函数,在方程两边同步对求导 一元参数方程微分法：若有则 有关这一部分,多元与一元的联系不仅是“形似”,并且在相称大限度上是相通的，在考研真题预测中此处与上面的多元复合函数求导是本章的两个出题热点,屡屡浮既有关题目，在背面的评题中有更多讨论。 多元函数的极值 极值定义：函数在点的邻域内有定义,且对于其中异于点的任一点，恒有或,则称为的极小/大值,方程组的解称为函数的驻

39、点。 相似 一元函数的极值 极值定义:函数在点的邻域内有定义且对于其中异于该点的任一点恒有或,则称为的极小／大值，方程的解称为函数的驻点。 取极值的充足条件 函数在点的邻域内有持续二阶偏导，且满足、、，若或则为极小值点; 若或则为极大值点。 大纲对于多元函数条件极值的规定为“会用拉格朗日乘数法求条件极值”,是一种比较简朴并且程式化的措施。一元函数则无相应的内容。 相似 取极值的充足条件 函数在点的邻域内可导，且满足、，则: 若,则为极小值； 若,则为极小值 1.10 高数第十章《重积分》

40、 大纲对于本章的规定只有两句：1.理解二重积分、三重积分的概念,理解重积分的性质,理解二重积分的中值定理。２.掌握二重积分的计算措施(直角坐标、极坐标)，会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。这一部分在历年真题预测中直接考到的状况很少,但却常常波及,特别是在有关曲线、曲面积分的题中,一般都需要将曲线、曲面积分转化为重积分来计算成果。 有关二重积分的性质,可以结合二重积分的几何意义和定积分的相应性质来理解，由于理解几何意义有助于解应用性问题,并且定积分和二重积分的性质定理几乎是一一相应的,对比起来很直观。 在做二重积分的题时常用的是更换积分顺序的措施与几种变换技巧，这一点在背面评题时会有针对性的讨论。