30种典型应用题

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1、小学数学30种典型应用题讲解应用题可分为一般应用题与典型应用题。 没有特定的解答规律的两步以上运算的应用题，叫做一般应用题。 题目中有特殊的数量关系，可以用特定的步骤和方法来解答的应用题，叫做典型应用题.以下主要研究30类典型应用题：1、归一问题11、行船问题21、方阵问题2、归总问题12、列车问题22、商品利润问题3、和差问题13、时钟问题23、存款利率问题4、和倍问题14、盈亏问题24、溶液浓度问题5、差倍问题15、工程问题256、倍比问题16、正反比例问题、构图布数问题7、相遇问题17、按比例分配26、幻方问题8、追及问题18、百分数问题27、抽屉原则问题9、植树问题19、“牛吃草”问题

2、28、公约公倍问题10、年龄问题20、鸡兔同笼问题29、最值问题30、列方程问题1归一问题【含义】 在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应 用题叫做归一问题。【数量关系】总量F份数=1份数量1份数量X所占份数=所求几份的数量另一总量F （总量F份数）=所求份数【解题思路和方法】 先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。2归总问题【含义】 解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总 数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。【数量关系】1份数量X份数二总量

3、总量份数量=份数总量F另一份数二另一每份数量【解题思路和方法】 先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。3和差问题含义】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。【数量关系】大数=（和+差）三2小数=（和一差）F 2解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。4和倍问题【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这 类应用题叫做和倍问题。【数量关系】总和三（几倍+1）=较小的数总和一较小的数=较大的数较小的数X几倍=较大的数【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

4、【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这 类应用题叫做差倍问题。【数量关系】两个数的差F （几倍一1）=较小的数较小的数X几倍=较大的数【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。6 倍比问题【含义】 有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方 法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。【数量关系】总量F个数量二倍数另一个数量X倍数二另一总量【解题思路和方法】 先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。7 相遇问题【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应

5、用题叫做相遇问题【数量关系】相遇时间二总路程F（甲速+乙速）总路程=（甲速+乙速）X相遇时间【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同 时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面 的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。【数量关系】追及时间=追及路程F （快速一慢速）追及路程=（快速一慢速）X追及时间【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。9 植树问题【含义】 按相等的距离植树，在距离、

6、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这 类应用题叫做植树问题。【数量关系】线形植树 棵数二距离F棵距+1 圆形植树 棵树=圆形周长F棵距 方形植树 棵数二方形周长F棵距 三角形 棵树二三角形周长F棵距 面积植树 棵数二面积F （棵距X行距）【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。10 年龄问题【含义】 这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的 倍数关系随着年龄的增长在发生变化。【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的， 要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。【解

7、题思路和方法】 可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。两个数的差F （几倍一1）=较小的数【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速 度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只 逆水航行的速度是船速与水速之差。【数量关系】（顺水速度+逆水速度）三2二船速（顺水速度一逆水速度）三2 =水速顺水速=船速+水速=逆水速+水速X 2逆水速=船速-水速=顺水速一水速X 2【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。12 列车问题【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的

8、长度。【数量关系】火车过桥：过桥时间=（车长+桥长）三车速火车追及：追及时间=（甲车长+乙车长+距离）三（甲车速一乙车速）火车相遇：相遇时间=（甲车长+乙车长+距离）三（甲车速+乙车速）【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。13 时钟问题【含义】 就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为 60 度等。时钟问题可与追及问题相类比。【数量关系】 分针的速度是时针的12 倍，二者的速度差为 11/12。 通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。【解题思路和方法】 变通为“追及问题”后可以直接利用公式。【含义】 根据一定的人数，分配一定

9、的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都 有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。【数量关系】 一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有：参加分配总人数=（盈+亏）F分配差如果两次都盈或都亏，则有：参加分配总人数=（大盈一小盈）F分配差参加分配总人数=（大亏一小亏）F分配差【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。15 工程问题【含义】 工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常 不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时， 常常用单

10、位“1”表示工作总量。【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示 单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出 算式。工作量二工作效率X工作时间工作时间二工作量F工作效率工作时间二总工作量F（甲工作效率+乙工作效率）【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式。【含义】 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比 值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正 比例意义和解比例等知识的综合运用。

11、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种 量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综 合运用。【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问 题去解决，而且比较简捷。【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应 用题。正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。17 按比例分配问题【含义】 所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式： 一是用比或连比的形式反映

12、各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。【数量关系】 从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看，求几个部分量各是多少。总份数二比的前后项之和【解题思路和方法】 先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求 各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少 的计算方法，分别求出各部分量的值。【含义】百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、 约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子 分母必须是自然数，而百分数的分子

13、可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是 1%，两个百分点就是 2%。【数量关系】 掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：百分数=比较量F标准量标准量二比较量F百分数【解题思路和方法】 一般有三种基本类型：（1）求一个数是另一个数的百分之几；（2）已知一个数，求它的百分之几是多少；（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。例 5 百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有 增长率=增长数F原来基数X100%合格率=合格产品数F产品总数X100%出勤率=实际出勤人数F应出勤人数X100%出勤率=实际出勤

14、天数F应出勤天数X100%缺席率=缺席人数F实有总人数X100%发芽率=发芽种子数F试验种子总数X100%成活率=成活棵数F种植总棵数X 100%出粉率=面粉重量F小麦重量X 100%出油率=油的重量三油料重量X 100%废品率=废品数量F全部产品数量X 100%命中率=命中次数F总次数X100%烘干率=烘干后重量F烘前重量X 100%及格率=及格人数F参加考试人数X 100%【含义】 “牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草 边吃边长这个因素。【数量关系】草总量二原有草量+草每天生长量X天数【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。2

15、0 鸡兔同笼问题【含义】 这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题， 叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼 问题。【数量关系】第一鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数=(实际脚数一2X鸡兔总数)F(4 2)假设全都是兔，则有鸡数=(4X鸡兔总数一实际脚数)F(4 2)第二鸡兔同笼问题：假设全都是鸡，则有兔数=(2X鸡兔总数一鸡与兔脚之差)F(4+2)假设全都是兔，则有鸡数=(4X鸡兔总数+鸡与兔脚之差)F(4+2)【解题思路和方法】 解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。

16、如果先假设 都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置 换，使问题得到解决。【含义】 将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题 就叫做方阵问题。【数量关系】 （1）方阵每边人数与四周人数的关系：四周人数=（每边人数一1）X4每边人数=四周人数H-4+1（2）方阵总人数的求法：实心方阵：总人数=每边人数X每边人数空心方阵：总人数=（外边人数）一（内边人数）内边人数=外边人数一层数X2（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则：总人数=（每边人数一层数）X层数X4【解题思路和方法】 方阵问题有实心与空心

17、两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较 多，其解答方法应根据具体情况确定。22 商品利润问题【含义】 这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题【数量关系】利润二售价一进货价利润率=（售价一进货价）F进货价X100%售价=进货价X（1 +利润率）亏损二进货价一售价亏损率=（进货价一售价）F进货价X100%【解题思路和方法】 简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。【含义】 把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有 年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；

18、月利率是指存期一月所生利息 占本金的百分数。【数量关系】年（月）利率二利息F本金F存款年（月）数X100%利息=本金X存款年（月）数X年（月）利率本利和=本金+利息=本金Xl +年（月）利率X存款年（月）数【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。24 溶液浓度问题【含义】 在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体） 溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液 溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。【数量关系】溶液二溶剂+溶质浓度二溶质F溶液X100%【

19、解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。25 构图布数问题【含义】 这是一种数学游戏，也是现实生活中常用的数学问题。所谓“构图”，就是设计出一种图形；所 谓“布数”，就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合所给的条件。【数量关系】 根据不同题目的要求而定。【解题思路和方法】 通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑。按照题意来构图布数，符合题目所给的条件。【含义】把nXn个自然数排在正方形的格子中，使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等，这样的 图叫做幻方。最简单的幻方是三级幻方。【数量关系】 每行、每列、每条对角线上各数的和都相等，

20、这个“和”叫做“幻和”。三级幻方的幻和= 453 = 15五级幻方的幻和= 3255 = 65【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和(即幻和)，其次是确定正中间方格 的数，然后再确定其它方格中的数。27 抽屉原则问题【含义】 把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢？要么把2只苹果放进一个抽屉，剩下的一个放 进另一个抽屉；要么把 3 只苹果都放进同一个抽屉中。这两种情况可用一句话表示：一定有一个抽屉中放 了2只或2只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题。【数量关系】基本的抽屉原则是：如果把n+1个物体(也叫元素)放到n个抽屉中，那么至少有一个抽 屉中放着2个或更多的

21、物体(元素)。抽屉原则可以推广为：如果有m个抽屉，有kXm+r(OVrWm)个元素那么至少有一个抽屉中要放(k+1) 个或更多的元素。通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些，那么至少有一个抽屉要放(k+1)个或更多的元素。【解题思路和方法】 (1)改造抽屉，指出元素；(2) 把元素放入(或取出)抽屉；(3) 说明理由，得出结论。【含义】 需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。【数量关系】 绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。【解题思路和方法】 先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数，再求出答案。最大公约数和最小公倍 数的求法，最常用的是“短除法”。29 最值

22、问题【含义】 科学的发展观认为，国民经济的发展既要讲求效率，又要节约能源，要少花钱多办事，办好事 以最小的代价取得最大的效益。这类应用题叫做最值问题。【数量关系】 一般是求最大值或最小值。【解题思路和方法】 按照题目的要求，求出最大值或最小值。30 列方程问题【含义】把应用题中的未知数用字母X代替，根据等量关系列出含有未知数的等式一一方程，通过解这个 方程而得到应用题的答案，这个过程，就叫做列方程解应用题。【数量关系】 方程的等号两边数量相等。【解题思路和方法】 可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。(1) 审：认真审题，弄清应用题中的已知量和未知量各是什么，问题中的等量关系是什么。(2) 设：把应用题中的未知数设为X。(3) 列；根据所设的未知数和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程。(4) 解；求出所列方程的解。(5) 验：检验方程的解是否正确，是否符合题意。(6) 答：回答题目所问，也就是写出答问的话。同学们在列方程解应用题时，一般只写出四项内容，即设未知数、列方程、解方程、答语。设未知数时要 在X后面写上单位名称，在方程中已知数和未知数都不带单位名称，求出的X值也不带单位名称，在答语 中要写出单位名称。检验的过程不必写出，但必须检验。14