圆锥曲线的光学性质

《圆锥曲线的光学性质》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆锥曲线的光学性质（12页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、圆锥曲线光学性质的证明及应用初探一、 圆锥曲线的光学性质11 椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另 一个焦点上； （见图1.1）椭圆的这种光学特性常被用来设计一些照明设备或聚热装置例如在F1处放置一个热源那么红外线也能聚焦于F处，对F处的物体加热。电影放映机的反光镜也是这个原理。22证明：由导数可得切线l的斜率k二yx=X0b 2 xoa2y0，而PF的斜率k =丄，PF的斜率k =201 x + c 2 0y0 x c 0k k：.l到PF所成的角a满足tana = + 11 + kk1b2x0 + 0x + ca 2 y=eeb2x y1 (x

2、+ 加 y00a 2 y 2 + b 2 x 2 + b 2cx=( 0) 01，a2 b2 /x y + a2cy 0 00一 P (x ,y )在椭圆上，：tan a0 0b2cy0kk 同理，PF至强所成的角0满足tan 0=21 + kk2b2cy，0(:.tana = tan卩，而a：Pgo/ =卩12双曲线的光学性质 ：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线 都汇聚至双曲线的另一个焦点上；（见图1.2）双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找至实际应用13抛物线的光学性质： 从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物

3、线的轴（如图1.3）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择例如探照灯、汽车大灯等反射 镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大， 并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以 抛物线绕对称轴旋转得至的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星 发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中至接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在 焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地至达卫星的接收装置，同样 保证接收效果最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线

4、镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的图 1.1图 1.2要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。 二、问题转化及证明21圆锥曲线的切线与法线的定义设直线l与曲线c交于P，Q两点，当直线l连续变动时，P，Q两点沿着曲线渐渐靠近，一直到P , Q重合为一点M，此时直线l称为曲线c在点M处的切线，过M与直线l垂直的直线称为曲线c在点M处的法线。此时，我们可以借助圆锥曲线的切线和法线，对这一问题进行转化2.2 圆锥曲线光学性质的证明预备定理1.若点p(x0，y0)是椭圆+苕二1上任一点，则椭圆过该点的切线方程为:0 0a 2 b2XX+注二 1a 2

5、b2y 2x2x2证明：由b2=1 -ar = y2 二b2(1-02)1 当 X也时，过点P的切线斜率k 一定存在，且k = y Ix=xo对式求导：2 yy =芒Xk = y I =X= Xoa2 yo-b 2 x-b 2 x /、o,切线方程为yy二-o(xx ),oa 2 yoox2 y2x2 y2x x y y点J,yo)在椭圆a2 +石=1上，故-+氏二1，代入得苕+茁=1 ,而当Xa时，yo=0切线方程为x=a，也满足式，故计+计=1是椭圆过点P(xo,y)的切线方程.X2y 2预备定理2.若点p(x, yo)是双曲线02 b二1上任一点，则双曲线过该点的切线方程为:鼻-寻=1a

6、 2b2y 2 X2X 2证明：由厉二ar-1y2二叫-1)1当x 时，过点P的切线斜率k 一定存在，且k = y 丨， X = X。对式求导：2 yy=丝x,.k = y Ia2b2x=4 ,切线方程为y - y = x=xoa 2 yoob2x(X - X ), a2 yoox2 y 2x2 y2 x x y y点P(x ,y )在双曲线一 二1上，故穿-耸=1 代入得4-二1，0 0a2 b2a2 b2a 2b2而当x = a时，y0 = 0 切线方程为x = a，也满足式，故 半-甞=1是双曲线过点0a 2 b2P(x , y ) 的切线方程.00预备定理3.若点P(xo,y)是抛物线

7、y2二2px上任一点，则抛物线过该点的切线方程是y y 二 p (x+x )=厶x= x0 y000即 yo y - y0 二 px - 化,证明：由 y2 二 2px，对x 求导得：2yy二 2p n k 二 yI当y丰0时，切线方程为y y二(x x ),0y 0而町二 2px0 n y0y - p(x + x0)0，而当y = 0, x = 0时，切线方程为x = 0也满足式, 0 0 0故抛物线在该点的切线方程是y0 y = p(x+x0).定理1.椭圆上一个点P的两条焦半径的夹角被椭圆在点P处的法线平分(图2.1)x2 y 2已知：如图，椭圆C的方程为 +=1， F,F分别是其左、右

8、焦点，1是过椭圆上一点P(x ,y )设 ZFPD =a, ZFPD = P21a 2 b21 20 0的切线，1为垂直于1且过点P的椭圆的法线，交x轴于D求证：么=卩x2y 2证法一：在C:+=1上，P (x ,y )丘C00a 2 b2xx则过点P的切线方程为：0 +a2P且与切线1垂直的法线，则1 ： ( 0)x- (_) = x y (-)b2a 20 0 b2 a2法线1与x轴交于D(-)2x ,0)a0弟=1b2， l 是通过点I FD 1= x + c,I FD 1= c - x，. 1a202a 2IFDI a 2 + cx1 =0，又由焦半径公式得:I F D I a2 -

9、cx20I FD I I PF II FD I = I PF I， PD 1222I PF I= a + ex ,I PF I= a - ex ，.1 0 2 0,=卩，丁a+o/ = 90 =卩 +卩，故可得a=o/ =卩 -b2x= 0 x=x0 a2 y0证法二：由证法一得切线l的斜率k = yI而PF的斜率k =人，PF的斜率1 x + c20=丄，l到PF所成的角a 满足tana2 x c10kk= 1 + kk1yb2 x0 +0x + c a 2 ya 2 y 2 + b 2 x 2 + b 2cx=01 = 0 00-b2x y(a2 b2)x y + a2cy1 -00 0

10、0(x + c)a 2 y00x 2y 2*.* P(x , y )在椭圆C:+= 1 上，.tana0 0a 2 b2k k同理，PF到l所成的角卩满足tan 0二21 + kk2b2cy0b2C ，: tan a = tan 0 cy0兀而 a :卩e (0,-) , a =p 证法三：如图，作点F，使点F与F关于切线l对称，连结F，F交椭圆C于点P3 3 2 1 3下面只需证明点P与P重合即可。一方面，点P是切线l与椭圆C的唯一交点，则I PF I + I PF 1= 2a，是l上的点到两焦点距离之和的 12最小值（这是因为l上的其它点均在椭圆外）。另一方面,在直线l 上任取另一点 P，

11、丁 I PF I + I PF 1=1 PF I + I PF 1=1 FF 11 PF I + I PF I1 2 1 3 1 3 1 2即P也是直线AB上到两焦点的距离这和最小的唯一点，从而P与P重合，即a = 0而得证定理2 双曲线上一个点P的两条焦半径的夹角被双曲线在点P处的切线平分（图2.2）；x2 y 2已知：如图，双曲线C的方程为一-t- = 1，F，F分别是其左、右焦点，l是过双曲线C上的一a 2 b212点P（x ,y ）的切线，交x轴于点D，设ZFPD =a，ZFPD = 0ccI PF I=I x + a I,I PF 1=1 x a I，双曲线的两焦点坐标 1 a 02

12、 a 0a ca c为 F(c ,0)，F(c,0)，故I DF I=I II-x + a I,I DF I=I II-x1 x a 02 x a 000I c II pf I I-x0 + a I I DF Ia I,1 =1I PF I 1c 1 IDF I 2 I x a I2a0故a = 0oa = 0.切线l为ZFPF之角分线。定理3 抛物线上一个点P的焦半径与过点P且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点P处法线平分(图 2.3)。已知：如图，抛物线C的方程为为y2二4cx,直线l是过抛物线上一 点 P(x ,y )的切线，交X 轴于D，ZDPF =a,ZPDF =丫，0 0反射线PQ与

13、l所成角记为0，求证：么=卩证明：如图，抛物线C的方程为C: y2二4cx,点P (X , y )在该抛0 0物线上，则过点P的切线为y y二p(x+x )，切线l与x轴交于0 0D(x0,0)，焦点为F(c，)，卩=丫侗位角),/ I PF 1= (x - c)2 + y2 =| x + c 1,1 DF 1=1 x + c I丨 PF 1=1 DF I，.: a = 0 o a = 丫N 0 0 0 0通过以上问题转化可知，圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的。那么它在解题和生产 生活中有何应用呢？三、圆锥曲线的光学性质的应用3. 1解决入射与反射问题 例1.设抛物线C : y

14、2 = x, 光线从点A (5, 2)射出，平行C的对称轴，射在C上的P点，经过反射后，又射到C上的Q点，则P点的坐标为,Q点的坐标为。解：如图，直线AP平行于对称轴且A (5, 2),则P点的坐标为(4, 2), 反射线PQ过点F(!，0)，设Q (t 2, t),4t28则 i i = 15，解得：12 -1 4 - - 1544t = -1 , Q（丄，-18648x 2 y 2例2.已知椭圆方程为頁+-= 1,若有光束自焦点A (3, 0)射出，经二次2516反射回到A点，设二次反射点为B,C，如图3.1.2所示，则 ABC的周长 为。x 2 y 2解：.椭圆方程为灵= 1中，c2 =

15、 25-16 = 9 ,2516A (3, 0)为该椭圆的一个焦点，.自A (3, 0)射出的光线AB反射后，反射光线AC定过另一个焦点A (-3, 0)故人 ABC 的周长为：AB + BA+ A C + CA = 4a = 4 x 5 = 20。例3双曲线C := 1，又A w C，已知A （4, 2.2 ）,8 8F （4, 0）,若由F射至A的光线被双曲线C反射，反射光通过P（8, k），则 k。解：入射线FA反射后得到的光线AP的反向延长线定过双曲线的另一个焦点F （4,0），丄=二2 n k = 3迈 12 83. 2解决一类“距离之和”的最值问题图 3.1.3张奠宙教授说“在一般

16、情况下，光线在传播过程中，总是选择最 近的路线从一点传播到另一点。这虽然还只是一种停留“经验、感觉” 层面上的结论，但却为我们研究一类“距离之和”取值范围问题时指 明了思考的方向，从而解决了一个从“想不到”到“想得到”的关键问题。如果再辅以严格的数学证 明，这种“经验、感觉”依然是很有价值的、不可替代的。我读了他的文章，深受启发，并用圆锥曲 线的光学性质解决了我们经常见到而又觉得复杂的一类最值问题。x 2y 2例4.已知椭圆C：-5 +才=1,259仆F2为分别是其左右焦点点Q（21），P是C上的动点，求图 3.2.1图 3.2.2图 3.2.3|M| + |MQ的取值范围。（一）分析猜想：（

17、1）经计算，Q（2,2）点在椭圆内，由于椭圆是封闭图形，因此+ |MQ应该有一个封闭的取 值范围，既有最小值也有最大值。（2）同样根据光线的“最近传播法则”，结合椭圆的光学性质，可得：从F射出被椭圆反射后经1过点Q的光线所经过的路程往往是最短的。这种情况又分为两类，一是被上半椭圆反射（如图3.2.1, 光线从F T P T Q ），二是被下半椭圆反射（如图3.2.2，光线从F T P T F T Q ），究竟哪种1 1 1 2 2情况距离之和更小呢？显然，根据椭圆定义，图3.2. 1中的PF + PQ 2a，可见图3.2.1所示的情况距离之和更小。但是，最大值又是多少呢？图3.2.2所示的光线

18、又有什么特点呢？将图3.2.1.和图3.2.2中的光线反射路线合并图3.2.3，由于|fQ | + |学| + PQ + 啊是定值 4a （a为椭圆长半轴长），而PQ + PF由前面知最小，由此猜测IPQI+IPFJ可能就是最大值。（二）证明PF + PQ是最小值。如图3.2.2，连接QF，延长交椭圆于P，在椭圆上另取一点P，由椭圆定义知：2 2 2|PQ|-|QF 1 + |PF| =1PPF +|PPF I （*），因为I PF 11 PQ IIQF I，代入（*）式得：112 1 I|PQ|-|QF| +1 PF II PF |+| PQ I QF I，所以，|PQ|+1 PF II P

19、F |+|PQ I。猜想得证。12 1221 22 12 P（三）计算：综上所述，只需求出I FQ1= ：（4-2）2 + 42 = 2近0，可得最小值为2a-1 FQI= 10 2.10，最大值 为2a+1 FQI= 10 + 210.2y 29例5.已知双曲线C： x2 =1, F、F为分别是其左右焦点，点Q（4,）,M是C上的动点,3122求Mq+|MQ的取值范围。分析猜想：经计算，Q点在双曲线右支开口内部。由于双曲线是不封闭曲线，显然|MF|+ MQ 可 以无限大，故要求|M.| + MQ的取值范围，关键是求出|MF| + |MQ|的最小值。根据光线的“最近 传播”特点，我们猜想：从F

20、射出经双曲线反射后经过点Q的光线所经过的路程往往是最短的，再结 1合双曲线的光学性质（从一个焦点射出的光线经椭圆周反射，反射光线的反向延长线经过另一个焦点）, 可作出从F射出被双曲线反射后经过点Q的光线：连接FQ，与双曲线的交点即为使得MFJ + |MQ| 最小的点，设为P点，光线从F T P T Q。（见图2）2（二）证明：如图2：按猜想作出点P，由于所求点P显然不在双曲线的左支上（此时显然距离 之和不会最小），故在右支上另取一点P，由双曲线定义知：|PF1-|PFJ =I PF I PF I，即P FI，两边同加fj得:图 3.2.5PF |+1 PF 冃PF | +|PF I，因为 |P

21、F| + |PQ| I PQ + 所以 |PF| + |PQ| + |PF| I PQ +|PF |+ |PF I=I PQ|+| PF + PF I，故 |PQ|+ PF | 33. 3.圆锥曲线光学性质在解决与“切线”相关问题时起简捷作用。光线反射总是满足反射定律（入射角等于反射角），光线被曲线反射也 不例外，此时的法线就是过反射点的曲线的切线的垂线。可见，曲线的切 线和与曲线有关的反射问题有着密切联系。以椭圆为例:如图3.3.1，是过椭圆周上一点P的椭圆的切线，m是P点处的法线,光线从F（F ）1 2 射出被椭圆反射经过F（F）,满足Z1=Z2,且Z3=Z4。2 1求垂足Q的轨迹方程。分

22、析：如图3.3.2,本题如果忽视了椭圆的光学性质将很难着手，或许借助椭圆参数方程可以求 解，但运算相当繁琐。由于l是椭圆的切线，切点为P，联想到椭圆光学性质及反射定律，可知：l是 ZFPF的外角平分线，F关于直线l的对称点F：在FP的延长线上。这样，由于|PF| =1 PF I， 故I FF冃PF |+|PF I= 2a = 8，而Q、O分别是FF、FF的中点，所以QO = 4。从而Q点轨12 12 11 2 2 1 1 迹是以O为圆心、以4为半径的圆。即点Q的方程为X2 + y2 = 163. 4在生产生活中的作用例8.某种碟形太阳能热水器的外形示意图如图3.4.1,其中F为加热点；碟形反射

23、壁是抛物线绕对称轴旋转而成的曲面；抛物 线以cm为单位的设计尺寸如 图3.4.2.为了达到最佳加热效果，F应距碟底多少？解：以碟形内壁底为原点，抛物线的对称轴为x轴，开 口方向为x轴的正向，建立坐标系如图3.4.2,则内壁抛物线方 程为y2 = 2px .据所示尺寸，抛物线过坐标为（40,85）的点，所以852 = 2px40 = 80p，p沁90.3 .加热点F应置于抛物线的焦点.焦点坐标为（匕,0）（45.2,0）.所以F应距碟底约245.2cm。四.圆锥曲线的光学性质在实际生活中应用举例圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过直角坐标系，它们又与二次方程对应，所以，圆 锥曲线又叫做二次

24、曲线。圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一，在我们的实际生活中也存在着 许许多多的圆锥曲线。虽然我不知道为什么，天体分别按照椭圆，双曲线，抛物线运行时，其总能量与离心率有很奇妙 的关系，天体总能量椭圆0，双曲线0，抛物线=0，（椭圆el,双曲线el,抛物线e=l）。相对于一个物 体，按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了。因而，圆锥曲线在这 种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式。:TtliimIf* fill iBt ifll|我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也如此，太阳则位于 椭圆的一个焦点上。如果这些行星运行速度增大到某种程度

25、，它们就会沿抛物线或双曲线运行。人类 发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理。由抛物线绕其轴旋转，可得到一个叫做旋转物面的曲面。它也有一条轴，即抛物线的轴。在这个 轴上有一个具有奇妙性质的焦点，任何一条过焦点的直线由抛物面反射出来以后，都成为平行于轴的 直线。这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面的道理。由双曲线的一支绕其虚轴旋转，可以得到双曲面，它又是一种直纹曲面，由两组母直线族组成， 各组内母直线互不相交，而与另一组母直线却相交。人们在设计高大的立塔时，就采取单叶双曲面的 体形，既轻巧又坚固（比如教材当中的冷却塔）由此可见，对于圆锥曲线的价值，无论如何也不会估计过高。圆锥曲线的光学性质是奇妙的，奇妙的背后蕴含着奇妙的数学关系。我们只有善于观察，勤于钻 研，及时总结，才能闪现更多的灵感，才能在奥妙的数学世界畅游。