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1、项目三 多元函数微积分实验5 线性规划问题（综合实验）实验目的 通过建立投资收益和风险问题的线性规划模型, 掌握利用线性规划理论建立实际问题的数学模型的思想和方法. 掌握用Mathematica求解线性规划问题的基本方法.基本命令1.约束最大与约束最小命令求解线性规划问题的命令为ConstrainedMax与ConstrainedMin. 其的基本格式是:ConstrainedMaxf,inequalities,x,y,在不等式或等式inequalities确定的可行区域上求线性目标函数f的最大值, 约定变量x,y,都大于或等于0;ConstrainedMinf,inequalities,x,
2、y,在不等式或等式inequalities确定的可行区域上求线性目标函数f的最小值, 约定变量x,y,都大于或等于0.注：上面两个命令都有一个可选参数: Tolerance 允许误差 (默认值是).例如, 输入ConstrainedMin1.5 x+2.5 y,x+3 y=3,x+y=2,x,y则输出3.5,x-1.5,y-0.5即当时, 函数取得最小值3.5. 在约束条件中可以使用等号, 但要用“= =”表示. 例如,输入ConstrainedMax5 x+3 y+2 z+4 t,3 x+y+2 z+8 t=10,2 x+4 y+2 z+t=10,x,y,z,t则输出18,x-3,y-1,z
3、-0,t-0有时, 输出结果可能有些问题. 输入ConstrainedMax3x+2y-1,x1,y1,y-2即当时, 函数取最大值6. 注: 约束条件使用严格不等号, 结果仍旧取在边界上.输入ConstrainedMaxx+y,x+y15,y-10这个问题有无穷多最优解, 这里只给出其中之一, 而且没有给出任何提示信息.前面的例题总是给出一个最优解, 属于正常情况.下面的例子是非正常的情况.例如, 输入ConstrainedMaxx+y,x-y=0,3x-y=0,3x-y=-1,-0.5x+yIndeterminate,y-Indeterminate其含义是: 可行区域无界, 问题没有最大值
4、, 或说最大值是无穷大. 然后返回投资的收益和风险问题.2.线性规划命令LinearProgramming当自变量和约束不等式较多时, 用ConstrainedMax或ConstrainedMin求解就比较麻烦. 此时, 可将目标函数和约束条件用向量或矩阵表示, 然后使用LinearProgramming. 其基本格式为LinearProgrammingc,m,b其中c是行向量, b是列向量, m是矩阵, 自变量用x表示, 使用该命令, 则在满足不等式且的可行区域中, 求出函数cx的最小值点x.注: 实际输入时, b仍以行向量表示. 此外, 这个命令也有可选参数Tolerance, 其含义与前
5、面的说明相同.例如, 用约束最小命令计算, 输入ConstrainedMin2x-3y,x+y2,x1,x,y则输出0,x-6,y-4改为用线性规划命令计算, 输入LinearProgramming2,-3,-1,-1,1,-1,1,0,-10,2,1则输出6,4两者结果一样, 但表示的方法不同.注: 当有无穷多组解时, 线性规划命令仍不会给出提示信息.应用举例1.投资的收益和风险例1 （1998年全国大学生数学建模竞赛的A题）市场上有n种资产(如股票、债券、)供投资者选择, 某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资.公司财务分析人员对这n种资产进行了评估, 估算出在这一时期内购
6、买的平均收益率为, 并预测出购买的风险损失率为考虑到投资越分散总的风险越小, 公司确定, 当用这笔资金购买若干种资产时, 总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量.购买要付交易费, 费率为, 并且当购买额不超过给定值时, 交易费按购买计算(不买当然无需付费). 另外, 假定同期银行存款利率是, 既无交易费又无风险.已知时的相关数据如下表：282.51.0103211.52.0198235.54.552252.66.540试给该公司设计一种投资组合方案, 即用给定的资金M, 有选择地购买若干种资产或存银行生息, 使净收益尽可能大, 而总体风险尽可能小.实验习题中将就一般情况对以上问题进行讨论.
7、模型的分析与建立这是一个优化问题, 要决策的是向每种资产的投资额, 要达到的目标包括两方面要求: 净收益最大和总体风险最小, 即本题是一个双目标优化问题. 一般地, 这两个目标是矛盾的, 净收益愈大,风险也就随之增加; 反过来也一样. 因此, 不可能提供这两个目标同时达到最优的决策方案. 我们可以做到的只能是: 在风险一定的前提下, 取得收益最大的决策; 或在收益一定的前提下, 使得风险最小的决策; 或是在收益和风险按确定偏好比例的前提下的最优决策. 这样, 我们得到的不再是一个方案, 而是一组方案供投资者选择.设购买表示存入银行, 下同)的金额为所付的交易费记为则对投资的净收益是对投资的风险
8、是对投资所需资金(即购买金额与所需的手续费之和)是投资方案用表示, 那么, 净收益总额为总体风险为 所需资金为 于是, 总收益最大、总体风险最小的双目标优化模型可以表示为上述双目标优化模型一般情况下是难于直接求解的, 根据我们前面的分析, 通常可以把它转化为以下三种单目标优化问题:模型a. 假设投资的风险水平是k, 即要求总体风险限制在风险k以内: 则模型可转化为模型b. 假设投资的盈利水平是h, 即要求净收益总额不少于则模型可转化为:模型c. 线性加权法, 在多目标规划问题中, 人们总希望对那些相对重要的目标给予较大的权重. 因此, 假定投资者对风险收益的相对偏好参数为则模型可转化为:模型的
9、化简与求解由于交易是分段函数, 使得上述模型中的目标函数或约束条件相对比较复杂, 是一个非线性规划问题, 难于求解. 但注意到总投资额M相当大, 一旦投资资产其投资额一般都会超过于是交易费可简化为线性函数从而, 资金约束简化为净收益总额简化为在实际进行计算时, 可设此时可视作投资的比例.以下的模型求解都在上述两个简化条件下进行讨论的.(i)模型a的求解模型a的约束条件即所以此约束条件可转化为这时模型a可化简为如下的线性规划问题:具体到的情形, 按投资的收益和风险问题中表23.1给定的数据, 模型为:利用Mathematica4.0求解模型a, 以为例, 输入Clearf,st,k,var;k=
10、0.005;f=0.05*x0+0.27*x1+0.19*x2+0.185*x3+0.185*x4;st=0.025*x1=k,0.015*x2=k,0.055*x3=k,0.026*x40.158192,x1-0.2,x2-0.333333,x3-0.0909091,x4-0.192308这说明投资方案为(0.158192,0.2,0.333333,0.0909091, 0.192308)时,可以获得总体风险不超过0.005的最大收益是0.177638M.当k取不同的值(00.03), 计算最大收益和最优决策可以利用下面的命令Clearst;stk_:=0.025*x1=k,0.015*x2
11、=k,0.055*x3=k,0.026*x4=k,x0+1.01*x1+1.02*x2+1.045*x3+1.065*x4=1;TableConstrainedMaxf,stk,var,k,0,0.03,0.002模型a的输出结果列于下表.从表中的计算结果可以看出, 对低风险水平, 除了存入银行外, 投资首选风险率最低的然后是和总收益较低; 对高风险水平, 总收益较高, 投资方向是选择净收益率较大的和这些与人们的经验是一致的, 这里给出了定量的结果.(ii) 模型b的求解模型b本来是极小极大规划但是, 可以引进变量, 将它改写为如下的线性规划:具体到的情形, 按投资的收益和风险问题中表23.1
12、给定的数据, 模型为:利用Mathematica4.0求解模型b, 当h取不同的值(0.040.26),我们计算最小风险和最优决策可以用下面的命令:Clearst,var;var=x0,x1,x2,x3,x4,x5;sth_:=0.025*x1-x5=0,0.015*x2-x5=0,0.055*x3-x5=0,0.026*x4-x5=h,x0+1.01*x1+1.02*x2+1.045*x3+1.065*x4=1;TableConstrainedMinx5,sth,var,h,0.06,0.26,0.02模型b的输出结果列于下表 (其中第一行可以近似看作是0).从表中我们可以推出和模型a类似的
13、结果.(iii)模型c的求解类似模型b的求解, 我们同样引进变量, 将它改写为如下的线性规划:具体到的情形, 按投资的收益和风险问题表中给定的数据, 模型为: 利用Mathematica求解模型c, 当取不同的值(0.70.98), 我们可以利用下面的命令计算最小风险和最优决策Clearf,st,var;fa_:=a*x5-(1-a)*(0.05*x0+0.27*x1+0.19*x2+0.185*x3+0.185*x4);st=0.025*x1-x5=0,0.015*x2-x5=0,0.055*x3-x5=0,0.026*x4-x5=0,x0+1.01*x1+1.02*x2+1.045*x3+
14、1.065*x4=1;var=x0,x1,x2,x3,x4,x5;TableConstrainedMinfa,st,var,a,0.7,0.98,0.04模型c的输出结果列于下表从表中的结果可以看出, 随着偏好系数的增加, 也就是对风险的日益重视, 投资方案的总体风险会大大降低, 资金会从净收益率较大的项目转向无风险的项目银行存款. 这和模型a的结果是一致的, 也符合人们日常的经验.2. 生产计划中线性规划模型（教材 应用举例）某工厂有甲、乙、丙、丁四个车间, 生产A,B,C,D,E,F六种产品,根据车床性能和以前的生产情况, 得知生产单位产品所需车间的工作小时数, 每个车间每月工作小时的上限
15、, 以及产品的价格如表1. 表1产品A产品B产品C产品D产品E产品F每月工作小时上限甲0.010.010.010.030.030.03850乙0.020.05700丙0.020.05100丁0.030.08900单价0.400.280.320.720.640.60问各种产品每月应该生产多少, 才能使这个工厂每月生产总值达到最大?数学建模以分别表示产品A,B,C,D,E,F的每月生产数量, 则它们应满足约束条件, ()并使目标函数达到最大. 这里, 称为决策变量, f为目标函数, 决策变量应满足的不等式组为约束条件, 其中称为非负约束.模型求解将上述模型写成矩阵的形式, 并用LinearProg
16、ramming命令求解.在矩阵形式中, 需求目标函数的最小值, 而且要用大于等于约束条件. 因此将目标函数与约束条件改写成其中.输入c=-0.4,-0.28,-0.32,-0.72,-0.64,-0.6;A=-0.01,-0.01,-0.01,-0.03,-0.03,-0.03,-0.02,0,0,-0.05,0,0,0,-0.02,0,0,-0.05,0,0,0,-0.03,0,0,-0.08;b=-850,-700,-100,-900;x=LinearProgrammingc,A,b则输出35000.,5000.,30000.,0,0,0这里只输出决策变量的取值, 而没有目标函数的最优值.
17、 目标函数的最小值为输入c.x则得到输出-25000因此, 所求目标函数f的最优值为25000.实验报告1.有甲、乙、丙三块地, 单位面积的产量(单位:kg)如下: 表6面积水稻大豆玉米甲207500400010000乙40650045009000丙60600035008500种植水稻、大豆和玉米的单位面积投资分别是200元、500元和100元. 现要求最低产量分别是25万公斤、8万公斤和50万公斤时, 如何制定种植计划才能使总产量最高, 而总投资最少? 试建立数学模型.2.运输问题: 设有三个工厂A,B,C同时需要某种原料, 需要量分别是17万吨, 18万吨, 15万吨. 现有两厂X,Y分别有该原料23万吨.每万吨动费如下表(单位:元): 表7ABCX506070Y60110160问应如何调运才能使总运费最少?
项目三多元函数微积分实验5线性规划问题(综合实验)
