考研数学暑期强化概率统计---曹显兵

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1、第一讲 随机事件与概率考试规定1. 理解样本空间的概念, 理解随机事件的概念，掌握事件的关系与运算.2. 理解概率、条件概率的概念,掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率,掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式,以及贝叶斯公式.3.理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立反复实验的概率， 掌握计算有关事件概率的措施一、古典概型与几何概型1.实验,样本空间与事件.古典概型:设样本空间为一种有限集，且每个样本点的浮现具有等也许性,则 3几何概型：设为欧氏空间中的一种有界区域, 样本点的浮现具有等也许性，则【例1】一种盒中有4个黄球, 个白球， 现按下列

2、三种方式从中任取3个球, 试求取出的球中有2个黄球， 1 个白球的概率. （1) 一次取个；（） 一次取1 个, 取后不放回；（） 一次取1个, 取后放回.【例2 】从 （,1) 中随机地取两个数，试求下列概率：() 两数之和不不小于1.2；（2)两数之和不不小于1且其积不不小于一、 事件的关系与概率的性质. 事件之间的关系与运算律（与集合相应)， 其中特别重要的关系有: （1) 与B互斥(互不相容） () A与B互逆(对立事件) ,(3) A与B互相独立 P（A）=P（A)(B）. P(B|A)=P(） (P(A）0）. （P（)1).P（B|A) P（|)（ (A) 1) 注： 若(0)

3、(0(B）. P(|B）（A|） （0P（B)1) P(|B)P(|) (00)【例】已知(）(）+=C， 且P（ C )， 试求P(B)【例4】 设两两互相独立的三事件A, B,C满足条件：ABC=，P(A)=P(B）=（），且已知,则(A）= .【例】 设三个事件A、B、C满足（)=P（B）,且(）1, 则 【 】（A)P(AB|C）=P（A)P(B|C). （B）P（A|C）=P(AB).（C）P（AB|)P（)+ （B|）. (）P（AB）=P(B） 【例6】 设事件A, , C满足条件: （AB)=P(A)=P(B), P（ABC）, 则事件A, B， C中至多一种发生的概率为 .【

4、例7】 设事件， 满足 P（| A）则【 】 （A） A 为必然事件. （B） P（B）=0. （C) . （D) . 【例8】设A， B， C为三个互相独立的事件, 且0(C）1，则不独立的事件为 【 】 （A） 与 (B） 与 （C ) 与 （D)与 【例9】设A，为任意两个事件,试证（A）P（)P（B) P（A-B) P（B-A) .三、乘法公式，全概率公式，yes公式与二项概率公式1 乘法公式：2. 全概率公式：3ays公式:4二项概率公式:，【例10】10件产品中有4件次品， 6件正品, 现从中任取2件， 若已知其中有一件为次品, 试求另一件也为次品的概率【例1】设1件产品中有3件次

5、品, 7件正品,现每次从中任取一件,取后不放回.试求下列事件的概率.（1）第三次获得次品;(2）第三次才获得次品;()已知前两次没有获得次品, 第三次获得次品;（4) 不超过三次取到次品;【例12】甲， 乙两人对同一目的进行射击,命中率分别为.6和0.5, 试在下列两种情形下, 分别求事件“已知目的被命中，它是甲射中”的概率.（）在甲，乙两人中随机地挑选一人, 由她射击一次;（）甲, 乙两人独立地各射击一次.【例13】设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为份，7份和5份. 随机地取一种地区的报名表,从中先后任意抽出两份.(1) 求先抽到的一份是女生表的概

6、率p;(2) 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q . 第二讲 随机变量及其分布考试规定 理解随机变量及其概率分布的概念理解分布函数（） 的概念及性质会计算与随机变量有关的事件的概率.2. 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松(Poso)分布及其应用. 理解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表达二项分布.4.理解持续型随机变量及其概率密度的概念,掌握均匀分布、正态分布、指数分布及其应用，其中参数为的指数分布的概率密度为5. 会求随机变量函数的分布.一、分布函数1.随机变量:定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随

7、机变量 2.分布函数:（x）为分布函数 (1) 0F（x）（2) F(x)单调不减(3）右持续F(+0）=(）（4) 3.离散型随机变量与持续型随机变量 (1) 离散型随机变量分布函数为阶梯跳跃函数 （2） 持续型随机变量 f(x）为概率密度 （1） f（x)0, （2) f(x） 4.几点注意 【 例1 】设随机变量的分布函数为 则 .【 例 】 设随机变量 的密度函数为 f （),且f （x） f （x),记和分别是X 和的分布函数， 则对任意实数x 有 【 】 （A). （B）. (） (D）. 【 例 】 设 随机变量服从参数为的指数分布, 试求随机变量Y= min X， 2 的分布函

8、数【例4 】设某个系统由 6 个相似的元件经两两串联再并联而成，且各元件工作状态互相独立每个元件正常工作时间服从参数为的指数分布, 试求系统正常工作的时间 T的概率分布. 【 例5】设随机变量的概率密度为 试求(1） 的分布函数; （2)概率.二、 常用的一维分布(1） 01分布：.(2） 二项分布（3) Poisso分布:.(4) 均匀分布(5)正态分布N(,2):(6)指数分布.(7） 几何分布(8) 超几何分布H（,，): .【例6】某人向同一目的独立反复射击，每次射击命中目的的概率为p(01）， 则此人第次射击正好第2次命中目的的概率为【 】() . （) .(） （D) . 【例7】

9、 设X N （, ), 则 （ X 1) 【 】 (A） 随的增大而增大 (） 随的增大而减小(C） 随的增大而不变. (） 随的增大而减小 【例8】设 (, ), 为其分布函数,，则对于任意实数,有 【 】(A） （) （C) （） 【例9】 甲袋中有1个黑球，2个白球，乙袋中有3个白球，每次从两袋中各任取一球互换放入另一袋中，试求互换n次后，黑球仍在甲袋中的概率.三、 随机变量函数的分布： 1.离散的情形 2. 持续的情形 3. 一般的情形 【例1】设随机变量的概率密度为 令为二维随机变量(X, Y )的分布函数.(） 求的概率密度;（) 第三讲 多维随机变量及其分布考试规定1 理解多维随

10、机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边沿分布和条件分布,理解二维持续型随机变量的概率密度、边沿密度和条件密度.会求与二维随机变量有关事件的概率.2. 理解随机变量的独立性及不有关的概念，掌握随机变量互相独立的条件. 掌握二维均匀分布，理解二维正态分布的概率密度,理解其中参数的概率意义 4. 会求两个随机变量简朴函数的分布，会求多种互相独立随机变量简朴函数的分布.一、 多种分布与随机变量的独立性1.多种分布(1）一般二维随机变量 F （x, y）P x, Y y ， (, +）， y （， +)的性质 (x,y)为联合分布函数 1) 0 F （x,

11、 y) , (，）,， y（, +)； 2)F(, y ) F（x, ）=0, F(,+）=1;3） F (x， )有关, y均为单调不减函数；4) F (x， y）有关， y均分别右持续.（2)二维离散型随机变量的联合概率分布、边沿分布、条件分布联合概率分布律 = xi , Y=y =pi ， i, j 1, 2 , , pi j 0, 边沿分布律 pi = PX = , i =， ，, j P = yj =, =1, 2 , , 条件分布律 = x |Y = j =, P Y = yj X= xi 二维持续型随机变量的联合概率密度、边沿密度和条件密度f(x, y)为联合概率密度 1 (x，

12、y)0， .设（ X,） f（x,y)则分布函数: ；边沿概率密度: , .条件概率密度: , 2. 随机变量的独立性和有关性和互相独立 F(x,y）= F (x) Y （y）; pi = pi p j （离散型) f (x, ）f （x）f (y) (持续型）【注】X与独立,f (), (）为持续函数 f (X）与(Y)也独立. 2 若X1， ， Xm, Y1, , Yn互相独立, f ， g分别为 元与n元持续函数 f （1, , m）与g （Y, ， Y）也独立.3 常数与任何随机变量独立. 3.常用的二维分布(1)二维均匀分布 （， Y )U (D）, D为一平面区域. 联合概率密度为

13、 (2)二维正态分布 (X， Y ） (1 , 2, s1,s22, r ）, 1, 0,s2 ，|r | 1. 联合概率密度为性质:( a) X N （1,s12 )， N （2,s22）（ b ) X与Y互相独立 rX =0 ，即 X与Y不有关.(） C1X+2Y N （C1 + C2 2， 12 s12 + 22s22 C1C r s1 s2 ).（ ) 有关Y=y的条件分布为正态分布: 【 例】 设A,为事件,且P（A）, P（|）， P（A|B)= 令 X, Y=(1)试求(X,Y)的联合分布律；(2）计算Cov( ， );（3) 计算 【例2 】设随机变量X与互相独立，下表列出了二

14、维随机变量(X, Y)联合分布律及有关X和有关Y的边沿分布律中的部分数值， 试将其他数值填入表中的空白处. X【 例3】设随机变量与Y独立同分布, 且X的概率分布为 记.(I）求（U, V）的概率分布;(II）求（U， )的协方差Cov(U, V)【详解】（I）易知U, V的也许取值均为： 1, 2. 且,，,，故(U,）的概率分布为: VU1 212 （I） ,而 , .故 【 例4】 设随机变量在区间（0,)上服从均匀分布,在的条件下,随机变量在区间上服从均匀分布,求()随机变量和的联合概率密度; (）的概率密度; (）概率 二、 二维（或两个)随机变量函数的分布1分布的可加性（)若B（m

15、，p）, YB（n, p), 且与Y互相独立,则XY B （n,p）.（)若XP()， (2）, 且X与Y互相独立，则 X+Y P （1+2).(3)若XN（)， Y(）, 且X与Y互相独立，则 X+Y N（）.一般地，若XiN(）, i1, 2,n,且X，X2，,Xn互相独立,则YC1X1+CX2+CnXn+C仍服从正态分布,且此正态分布为 其中1,Cn为不全为零的常数.2. 两个随机变量函数的分布【例5】 设与Y互相独立，且则 【 例6】 设X与互相独立, 其密度函数分别为: 求=2+Y 的概率密度.【 例】设二维随机变量(X, Y)的概率密度为 （I)求;（）求Z=+的概率密度.【详解】

16、（).（II)措施一：先求的分布函数: 当z0时, ;当时, ；当时， ;当时, .故Z=+的概率密度= 措施二: ,当或z 2时， ;当时, ;当时, ；故ZX+的概率密度【例8】 设随机变量X与Y互相独立, X有密度函数f（x), Y的分布律为 试求XY 的概率分布.第四讲 数字特性与极限定理考试规定1.理解随机变量数字特性(数学盼望、方差、原则差、矩、协方差、有关系数）的概念,会运用数字特性的基本性质, 并掌握常用分布的数字特性.2会根据随机变量的概率分布求其函数的数学盼望;会根据随机变量和的联合概率分布求其函数的数学盼望.3.理解切比雪夫不等式4.理解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和

17、辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大数定律)5.理解棣莫弗拉普拉斯定理(二项分布以正态分布为极限分布）和列维林德伯格定理(独立同分布的中心极限定理）;(经济类还规定)会用有关定理近似计算有关随机事件的概率一、 数学盼望与方差（原则差)1.定义(计算公式)离散型 , 持续型 , 方差:原则差：，2. 盼望的性质:1 3 . 方差的性质:1 23 4一般有5, 【例1】设实验成功的概率为,失败的概率为, 独立反复实验直到成功两次为止. 试求实验次数的数学盼望.【例2】 n片钥匙中只有一片能打开房门, 现从中任取一片去试开房门,直到打开为止. 试在下列两种状况下分别求试开次数的数学盼望与方差:（1）

18、试开过的钥匙即被除去; （2）试开过的钥匙重新放回【例3】 设随机变量X的概率密度为 对独立地反复观测次,用Y表达观测值不小于的次数, 求的数学盼望.【例4】设有0人在某1层楼的底层乘电梯上楼, 电梯在半途只下不上, 每个乘客在哪一层（2-11层)下是等也许的, 且乘客之间互相独立, 试求电梯须停次数的数学盼望.二、随机变量函数的盼望(或方差)1、一维的情形 离散型： ， 持续型: 2、二维的情形 离散型， 持续型, 【例5】设X与Y独立且均服从N （0，1),求= 的数学盼望与方差.【例6】设两个随机变量X与Y互相独立且均服从N (0，）, 试求ZXY的数学盼望与方差 三 、协方差,有关系数

19、与随机变量的矩 1、重要公式与概念：协方差有关系数 2、性质:2 34 5 3、下面5个条件互为充要条件:(1)（2)(3）（4）（5）【例7】设为独立同分布的随机变量, 且均服从, 记, 求: (I） 的方差;（I) 与的协方差;(II） 四、极限定理1. 切比雪夫不等式 2. 大数定律Poisso定理4 中心极限定理列维林德伯格定理: 设随机变量1,X，n,互相独立同分布, 且 , 则对任意正数x,有 棣莫弗拉普拉斯定理:设(即X1，2，,Xn，互相独立,同服从一1分布) 则有 .【例】 银行为支付某日即将到期的债券须准备一笔钞票，已知这批债券共发放了50张，每张须付本息00元，设持券人（

20、1人1券)到期到银行领取本息的概率为0.问银行于该日应准备多少钞票才干以99%的把握满足客户的兑换.【分析】 若X为该日到银行领取本息的总人数,则所需钞票为100X，设银行该日应准备钞票x元.为使银行能以99的把握满足客户的兑换,则 (100Xx）0.99.【详解】 设X为该日到银行领取本息的总人数,则B(50,0.4)所需支付钞票为1000,为使银行能以99.的把握满足客户的兑换,设银行该日应准备钞票x元,则 P（100 Xx）099由棣莫弗拉普拉斯中心极限定理知：即 得 233958.798因此银行于该日应准备3000元钞票才干以99.9%的把握满足客户的兑换.第五讲 数理记录考试规定1.

21、 理解总体、简朴随机样本、记录量、样本均值、样本方差及样本矩的概念.其中样本方差定义为2. 理解分布、t分布和F分布的概念及性质,理解分位数的概念并会查表计算. 理解正态总体的常用抽样分布.4. 理解经验分布函数的概念和性质, 会根据样本值求经验分布函数5. 理解参数的点估计、估计量与估计值的概念. 掌握矩估计法（一阶、二阶矩)和最大似然的估计法. 理解估计量的无偏性、有效性（最小方差性）和一致性(相合性）的概念,并会验证估计量的无偏性.8.理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.9.理解明显性检查的基本思想,掌握假设检查的基本环

22、节，理解假设检查也许产生的两类错误10. 理解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检查一、样本与抽样分布 1.总体、个体与简朴随机样本: 2. 常用记录量:1 样本均值 2 样本方差 3 样本原则差: 4 样本k阶原点矩 5 样本k阶中心矩 .分位数 4. 重要抽样分布（) (2) t分布（) F分布正态总体的常用抽样分布： ， ， 则() （2) (3) （) (5) 与互相独立, 且 ，,.【例1】 设总体设是来自总体X的一种样本， 且,求.【例2】 设总体 设是取自总体X的一种样本, 且,则 .【例3】设随机变量, 则 【例4】 设总体X服从正态分布, 而是来自总体X的简朴随机样本, 求

23、随机变量 的分布【例5】 设总体 设是来自总体X的一种样本, 且，试求记录量 的分布二、参数估计1.矩估计2最大似然估计3.区间估计4. 估计量的评比原则 【例6】设总体，为来自总体的样本，试求的矩估计和最大似然估计.【例7】设总体的概率密度为 其中是未知参数， 为来自总体的简朴随机样本,记N为样本值中不不小于1的个数, 求:(1）的矩估计;（2)的最大似然估计.【例8】设总体X的概率密度为 为来自X的简朴随机样本,(1)求的矩估计量；(2) 判断的无偏性;（3） 判断的一致性三、假设检查 1假设检查的基本思想:对总体分布中的未知参数作出某种假设,根据样本在假设为真的前提下构造一种小概率事件，基于“小概率事件”在一次实验中几乎不也许发生而对假设作出回绝或接受 2.单个正态总体均值和方差的假设检查. 3 假设检查两类错误：第一类错误：原假设为真，但回绝了.第二类错误;原假设为假，但接受到了.