概率论与数理统计课件.

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1、上页上页 下页下页 返回返回一、条件概率一、条件概率二、事件的独立性二、事件的独立性三、乘法公式三、乘法公式四、全概率公式与贝叶斯公式四、全概率公式与贝叶斯公式3 条件概率条件概率主要内容主要内容主要内容主要内容定义定义 已知事件已知事件A发生发生的条件下的条件下,求另一事件求另一事件B的的概率概率,此概率称为此概率称为条件概率条件概率,记为记为P(B|A)一、条件概率一、条件概率已知实验结果的部分信息已知实验结果的部分信息引例女男山东非山东35872128102636现在随机点名现在随机点名,已知点到女生已知点到女生,问该生为山东学问该生为山东学生的概率是多少生的概率是多少?上页上页 下页下

2、页 返回返回解解A=“女生女生”,B=“山东学生山东学生”因为因为 肯定不会发生肯定不会发生,所以在求该生为山东学所以在求该生为山东学生的概率时生的概率时,只需在只需在A中考虑即可中考虑即可,此时的此时的样本样本空间为空间为A(缩小缩小),于是于是在在P(A)0时是普遍成立的。时是普遍成立的。上页上页 下页下页 返回返回定义定义 A,B为任意两个事件为任意两个事件,P(A)0,则称则称为在为在A发生的条件下发生的条件下B发生的发生的条件概率。条件概率。注：概率的性质和有关结果，对条件概率依然成立。如注：概率的性质和有关结果，对条件概率依然成立。如P(A)0时，时，上页上页 下页下页 返回返回例

3、例1 6个球中有个球中有4个白球个白球2个黑球个黑球,无放回取无放回取2个球个球,已知第一次取到白球已知第一次取到白球,问第二次取到问第二次取到白球的概率白球的概率?解解 A=“第一次取到白球第一次取到白球”,B=“第二次取到白球第二次取到白球”上页上页 下页下页 返回返回二二.事件的独立性事件的独立性1.描述性定义描述性定义 事件事件A与事件与事件B的发生与否是互不的发生与否是互不影响的影响的,称称A,B是相互独立的是相互独立的.如如,甲乙两人投篮甲乙两人投篮,“甲中甲中”和和“乙中乙中”是是相互相互独立的独立的,如如,有放回抽样有放回抽样,“第一次取到次品第一次取到次品”和和 “第第二次取

4、到次品二次取到次品”是相互独立的是相互独立的注注:相互独立相互独立和和互不相容互不相容是两个完全不同的概念是两个完全不同的概念但是它们是但是它们是相容相容的的上页上页 下页下页 返回返回 一般地，若事件一般地，若事件A与事件与事件B的发生与否是互的发生与否是互不影响的，则可视为不影响的，则可视为上页上页 下页下页 返回返回 2.数学定义数学定义 若若 ,则则称称A,B相互独立。相互独立。显然显然,与任何事件与任何事件A是相互独立的是相互独立的,若有一组相互若有一组相互性质性质独立独立,则其余的三组也相互独立。则其余的三组也相互独立。证明证明上页上页 下页下页 返回返回3.定义定义 相互独立相互

5、独立:任意取出任意取出 个事件个事件都有都有注注 （1）一共要验证）一共要验证 个等式个等式 如，如，A,B,C 相互独立需要验证相互独立需要验证4个等式个等式（2）两两独立（弱）两两独立（弱）相互独立（强相互独立（强)上页上页 下页下页 返回返回(3)相互独立，相互独立，则有则有性质性质 相互独立，则将任意的相互独立，则将任意的m 个事件改写成对立事件后仍然独立个事件改写成对立事件后仍然独立注：注：实际应用中，对于事件的独立性我们往往实际应用中，对于事件的独立性我们往往要根据要根据描述性定义描述性定义来判断，而不是数学定义来来判断，而不是数学定义来判断。判断。上页上页 下页下页 返回返回 例

6、例例例1:1:1:1:甲、乙、丙三人对同一目标各射击一次，甲、甲、乙、丙三人对同一目标各射击一次，甲、乙、丙乙、丙 击中目标的概率分别为击中目标的概率分别为0.6、0.55、0.45。令令Ai=“第第i人击中目标人击中目标”，i=1，2，3。（1）求三人都击中目标的概率。求三人都击中目标的概率。（2）求目标被击中的概率。）求目标被击中的概率。(1)解解：P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.1485上页上页 下页下页 返回返回(2)例例2 假设每个人携带感冒病毒的概率为假设每个人携带感冒病毒的概率为0.002,求求一个能容纳一个能容纳1500人的剧场含有感冒病毒的概率是人的剧

7、场含有感冒病毒的概率是多少？多少？解解：设：设Ak=“第第k人携带感冒病毒人携带感冒病毒”，k=1,2,1500 B=“剧场剧场含有感冒含有感冒病毒病毒”例例3：（系统可靠性问题）（系统可靠性问题）电子元件正常工作的概率称为该元件的可靠性。电子元件正常工作的概率称为该元件的可靠性。设每个电子元件正常工作的概率为设每个电子元件正常工作的概率为r,且是否正常工且是否正常工作相互独立，考察下列系统的可靠性。作相互独立，考察下列系统的可靠性。思路：思路：对于串联电路，系统正常工作当且仅当每个元件对于串联电路，系统正常工作当且仅当每个元件正常工作。正常工作。对于并联电路，系统正常工作当且仅当至少有对于并

8、联电路，系统正常工作当且仅当至少有1个元件正常工作。个元件正常工作。三、概率乘法公式三、概率乘法公式更一般地更一般地独立独立P(AB)=()(/)P(A)0P(AB)0解：解：令令Ai=第第i次拨号时接通电话次拨号时接通电话,i=1,2,3 （1）第）第3 次拨号才接通电话的概率次拨号才接通电话的概率 （2）拨号不超过）拨号不超过3次而接通电话的概率。次而接通电话的概率。例例1：某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随机地拨号，假设拨过的数字不再重复，试求下他随机地拨号，假设拨过的数字不再重复，试求下列事件的概率。列事件的概率。（1）第）第3 次拨号才接

9、通电话可表示为：次拨号才接通电话可表示为：上页上页 下页下页 返回返回（2）拨号不超过）拨号不超过3次而接通电话可表示为：次而接通电话可表示为：或或拨号不超过拨号不超过3次而接通电话的对立事件为次而接通电话的对立事件为四、全概率公式与贝叶斯公式四、全概率公式与贝叶斯公式 1.样本空间样本空间S的一个划分的一个划分 设设B1,B2,Bn为样本空间为样本空间S的一组事件，且满足：的一组事件，且满足：BiBj=,i j,i,j=1,2,.n；(互不相容互不相容)B1 B2 Bn=S (完备完备)这样的一组事件这样的一组事件B1,B2,Bn 称为称为样本空间样本空间S的一的一个划分。个划分。也称也称互

10、不相互不相容的完备事容的完备事件组件组2、全概率公式与贝叶斯公式、全概率公式与贝叶斯公式 设设B1,B2,Bn为样本空间为样本空间S的一个划分，则对的一个划分，则对S中中任意事件任意事件A，有有(1)式称为全概率公式，式称为全概率公式，(2)式称为贝叶斯公式。式称为贝叶斯公式。(1)全概率公式全概率公式所以所以 A=AS=A(B1 B2 Bn)=AB1 AB2 ABn 从而从而 P(A)=P(AS)=P(AB1 AB2 ABn)=P(AB1)+P(AB2)+P(ABn)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(Bn)P(A|Bn)证明：证明：由于由于 B1 B2 Bn=S(2)

11、贝叶斯公式贝叶斯公式 证明：证明：(2)贝叶斯贝叶斯(bayes)公式公式:已经知道结果已经知道结果A 发生了发生了,再再回过头来考察是哪种原因导致回过头来考察是哪种原因导致A发生发生说明说明:(1)应用全概率公式应用全概率公式,关键是寻找与关键是寻找与A有关的互有关的互不相容的完备事件组不相容的完备事件组 ,我们称我们称 为导致为导致A发生的发生的原因原因(条件条件)如医生看病如医生看病例例1：设某厂所用的晶体管是由甲、乙、丙三个设某厂所用的晶体管是由甲、乙、丙三个厂家提供的，根据以往的记录有以下的数据：厂家提供的，根据以往的记录有以下的数据：设三个厂家的产品在仓库中是均匀混合的。设三个厂家

12、的产品在仓库中是均匀混合的。(1)在仓库中任取一只晶体管，求它是次品的概率；在仓库中任取一只晶体管，求它是次品的概率；(2)在仓库中任取一只晶体管，发现它是次品，问它在仓库中任取一只晶体管，发现它是次品，问它 最有可能是何厂生产的？最有可能是何厂生产的？解：解：(1)设设 A=“取到的一只晶体管是次品取到的一只晶体管是次品”Bi=“取到的是第取到的是第i厂的产品厂的产品”，i=1,2,3.则则B1,B2,B3是样本空间的一个划分，是样本空间的一个划分，且且P(B1)=0.15,P(B2)=0.80,P(B3)=0.05；P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|B3)=0.0

13、3由全概率公式由全概率公式:P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)P(A)=0.020.15+0.010.80+0.030.05=0.0125(2)由贝叶斯公式由贝叶斯公式P(B1|A)=同理同理 P(B2|A)=0.64,P(B3|A)=0.12.所以乙厂生产的可能性最大。所以乙厂生产的可能性最大。例例2：某发报台分别以概率某发报台分别以概率0.6和和0.4发出信号发出信号“”与与“”。由于通信受到干扰，当发出信号。由于通信受到干扰，当发出信号“”时，收报台分别以概率时，收报台分别以概率0.8和和0.2收到信号收到信号“”与与“”；当发出信号；

14、当发出信号“”时，收报台分别以概率时，收报台分别以概率0.9和和0.1收到信号收到信号“”与与“”。（）求收报台收到信号（）求收报台收到信号“”的概率。的概率。（）若收报台收到信号（）若收报台收到信号“”，求是由信号，求是由信号“”发出的概率。发出的概率。解：解：A=发出信号发出信号“”，显然显然 A，是样本空间的一个划分是样本空间的一个划分,于是于是=收到信号收到信号“”；=发出信号发出信号“”；B=收到信号收到信号“”，例例3：已知男人中有已知男人中有5%是色盲，女人中有是色盲，女人中有0.25%是色是色盲，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰盲，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一

15、人，恰好是色盲，求此人是男人的概率。好是色盲，求此人是男人的概率。是样本空间的一个划分是样本空间的一个划分,于是于是 =任选的一人是女人任选的一人是女人；解：解：A=任选的一人是男人任选的一人是男人，B=任选的一人是色盲任选的一人是色盲，显然显然 A，例例4：甲盒中有甲盒中有3只白球只白球2只黑球，乙盒中有只黑球，乙盒中有4只白球只白球5只黑球，今从甲盒中任取一球放入乙盒中，再从乙只黑球，今从甲盒中任取一球放入乙盒中，再从乙盒中任取一球，求从乙盒中取到白球的概率。盒中任取一球，求从乙盒中取到白球的概率。=“从甲盒中取出的一球是黑球从甲盒中取出的一球是黑球”;解：解：设设 A=“从甲盒中取出的一

16、球是白球从甲盒中取出的一球是白球”，B=“从乙盒中取出白球从乙盒中取出白球”由全概率公式由全概率公式显然显然 A，是样本空间的一个划分，是样本空间的一个划分，上页上页 下页下页 返回返回 将试验将试验E重复进行重复进行n次次,若各次试验的结果互若各次试验的结果互不影响不影响,则称则称这这n次试验是相互独立的次试验是相互独立的.满足下列条件的试验称为满足下列条件的试验称为Bernoulli试验试验:每次试验只有每次试验只有两种两种可能的结果可能的结果:A及及n重贝努利试验重贝努利试验 每次试验都在相同的条件下每次试验都在相同的条件下重复重复进行进行 每次试验的结果相互每次试验的结果相互独立独立

17、若满足上述条件的试验重复进行若满足上述条件的试验重复进行n次次,则称这一串则称这一串试验为试验为n重贝努利重贝努利(Bernoulii)试验。试验。n重贝努利试验重贝努利试验上页上页 下页下页 返回返回定理定理1:第一章第一章 小结小结1.概率论基本概念概率论基本概念2.事件间的关系和运算事件间的关系和运算3.概率的基本性质概率的基本性质4.古典概型与几何概型古典概型与几何概型5.条件概率、乘法公式及事件的独立性条件概率、乘法公式及事件的独立性6.全概公式与贝叶斯公式全概公式与贝叶斯公式 解：解：A=甲中靶甲中靶,B=乙中靶乙中靶,C=丙中靶丙中靶；D=三发中恰两发子弹中靶三发中恰两发子弹中靶

18、,则则练习练习1：甲、乙、丙三人向靶子各射击一次，结果甲、乙、丙三人向靶子各射击一次，结果有两发子弹中靶。已知甲、乙、丙中靶的概率分别有两发子弹中靶。已知甲、乙、丙中靶的概率分别为为4/5，3/4，2/3，求丙脱靶的概率。，求丙脱靶的概率。补充例题：补充例题：甲、乙、丙三人同时对飞机进甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击行射击,三人击中飞机的概率分别为三人击中飞机的概率分别为0.4、0.5、0.7.飞飞 机被一人击中而被击落的概率机被一人击中而被击落的概率为为0.2，被两人击中而被击落的概率为，被两人击中而被击落的概率为0.6，若被三人击中若被三人击中,飞机必定被击落飞机必定被击落,求飞机求飞机被击落的概率被击落的概率.Bi=飞机被飞机被i人击中人击中,i=0,1,2,3解：解：Ai=第第i人击中飞机人击中飞机,i=1,2,3C=飞机被击落飞机被击落 显然显然B0，B1，B2，B3构成样本空间的一个划分，且构成样本空间的一个划分，且上页上页 下页下页 返回返回