一元二次方程解法讲义

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1、课题教学目标重点、难点考点及考试要求中小学1对1课外辅导专家龙文教育学科教师辅导讲义一元二次方程的解法1. 理解一元二次方程及其有关概念2. 会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解1. 一元二次方程的判定，求根公式2. 一元二次方程的解法与应用1. 一元二次方程的定义，一般形式，配方式2. 熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法.，因式分解，公式法去3. 一元二次方程在实际问题中的综合应用教学内容考点一、概念定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2,这样的整式方程就是一元二次方程。(2) 般表达式：ax2,bx,c=0(a0)注：当b=0时可化为ax2+c=0这是一元

2、二次方程的配方式(3) 四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理.如果能整理为ax2,bx,c二0(a0)的形式，则这个方程就为一元二次方程.(4)将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足(aHO)(4) 难点：如何理解“未知数的最高次数是2” 该项系数不为“0”； 未知数指数为“2” 若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是()A3(x+12=2(x+1BI,】-2=0Cax2+b

3、x+c=0Dx2+2x=x2+1x2x变式：当k时，关于X的方程kx2+2x=x2+3是一元二次方程。例2、方程(m+2xm+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为。考点二、方程的解概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2y2+y3的值为2，则4y2+2y+1的值为。例2、关于x的一元二次方程(a2)x2+x+a240的一个根为0,则a的值为。说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c0(a0)的系数满足a+cb，则此方程必有一根为。说明：本题的关键点在于对“代

4、数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。例4、已知a,b是方程X24x+m0的两个根，b,c是方程y28y+5m0的两个根，则m的值为。例5、已知ab，a2一2a10，b2一2b10，求a+b变式：若a22a10，b22b10，贝Va+b的值为。ba6、方程(a-b)x2+(b-c)x+ca0的一个根为()A1B1CbcDa7、若2x+5y一30,贝U4x32y。考点三、方程解法(1) 基本思想方法：解一元二次方程就是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。(2) 方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法类型一、直接开方法：就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法

5、解形如x2m(m0),其解为：xm对于(x+a)2m，(ax+m)2(bx+n)2等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程：Gbx280;(2)(3x+1)27(3)1-x)-90;(4)9(%1)216(%+2)2(5)9x224x+1611例2、解关于x的方程：ax2b03.下列方程无解的是()A.x2,3=2x2一1B.(x-22=0C.2x+3二1-xD.x2,9=0类型二、配方法基本步骤：1.先将常数c移到方程右边2将二次项系数化为13.方程两边分别加上一次项系数的一半的平方4.方程左边成为一个完全平方式:在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

6、典型例题：例1、试用配方法说明x2-2x,3的值恒大于0,-10x2,7x-4的值恒小于0。例2、已知x、y为实数，求代数式x2+y2+2x-4y+7的最小值。变式：若t=2-3x2,12x-9,则t的最大值为,最小值为。例3、已知x2+y2+4x-6y+13=0,x、y为实数，求xy的值。变式1:已知x2,1一x一1一4=0,则x,1=.x2xx变式2：女口果a+b+c-1-1=4a-2+2b+1-4，那么a+2b-3c的值为。例4、分解因式：4x2+12x+3类型三、因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一

7、次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法(x-x(x-x=0x=x,或x=x1212探方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”,x2+2ax+a2=0方程形式：女口(ax+m=(bx+n，(x+a(x+b=(x+a(x+c，分解方法:提公因式,利用平方差与完全平方公式，十字相乘法针对练习:例1、2x(x-3=5(x-3)的根为()例2.(1)4a2169b2(平方差)(3)(m+n)2-4(m一n)2(平方差)(5)12xy+x2+36y2(完全平方式)(7)p27pq+12q2(十字相乘法)8x4y+6x3y22x3y(

8、提公因式)(4)a2+6a+9(完全平方式)(6)(a+b)2+5(a+b)+4(十字相乘法)(8)5n(2mn)22(n2m)3(提公因式)例3、若(4x+y)2+3(4x+y)一40，则4x+y的值为。例4、方程x2+x60的解为()A.x3,x2B.x3,x2C.x3,x3D.x2,x212121212例5、解方程：x2+2,3+1)x+23+40例6、已知2x23xy2y20，则x+y的值为。xy变式：已知2x23xy2y20，且x0,y0，则x+y的值为。xy例7、解下列方程4x+14x-52(1) (2x-3)2=(3x-2)2民-=qx+2523(4)5m2-17m+14=0(5

9、)(X2+x+1)(x2+x+12)=42(6)2x2+(3a-b)x-2a2+3ab-b2=0例8、解关于x的方程X2+x-2+k(X2+2x)=0(对k要讨论)类型四、公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式的值，当判别式大于等于零时,把各项系数a,b,c的值代入求根公式，就可得到方程的根。条件:丰0,且b24ac0)(2)公式:一aC，(a丰0,且”2-4aC0)5龙文教育教务管理部3(1+x)26.典型例题：例1、选择适当方法解下列方程:(x+3Xx+6)=-8.x24x+103x2-4x-10(5)3(x-1)(3x1)=(x-1)(2x5)说明：解一元二次方程时，首选方法

10、是因式分解法和直接开方法、其次选用求根公式法；一般不选择配方法。例2、在实数范围内分解因式：(1)x2-22x-3；(2)-4x28x-1.2x2一4xy一5y2说明：对于二次三项式ax2bxc的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令ax2bxc=0，求出两根，再写成ax2bxc=a(x-x)(x-x).12分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去类型五、“降次思想”的应用主要内容：求代数式的值；解二元二次方程组。典型例题：例1、已知x2-3x2=0，求代数式一1)-x21的值。x一1例2、如果x2x-1=0，那么代数式x32x2-7

11、的值。例3、已知a是一元二次方程x2-3x1=0的一根，求a3一2a2-5a1的值。a2+1说明：在运用降次思想求代数式的值的时候，要注意两方面的问题：能对已知式进行灵活的变形;能利用已知条件或变形条件，逐步把所求代数式的高次幂化为低次幂，最后求解。例4、用两种不同的方法解方程组2x-y=6,x2-5xy6y2=0.说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想一一化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题考点四、根与系数的关系前提：对于ax2bxc=0而言，当满足a丰0、A0时，才能用韦达定理。主要内容：xx=-b,xx=c12a1

12、2a应用：整体代入求值。典型例题:例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程2x2-8x+70的两根，则这个直角三角形的斜边是()A.3B.3C.6D.6说明：要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系,必须熟练掌握a+b、a-b、ab、a2+b2之间的运算关系.例2、解方程组：(1)|X+y10,X2+y210，xy24;、x+y=2.说明：一些含有x+y、x2+y2、xy的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题有时，后者显得更为简便.例3、已知关于x的方程k2x2+(2k-l)x+10有两个不相等的实数根x,x1

13、2(1) 求k的取值范围；(2) 是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。例4、当k取何值时，方程x2-4mx+4x+3m2-2m+4k=0的根与m均为有理数?例5、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程(二次项系数为1)时，小明因看错常数项，而得到解为8和2,小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例J6、已知a丰b，a2一2a一1=0，b2一2b一1=0，求a+b=变式：若a2，2a1=0，b2，2b1=0，贝廿+b的值为ba例7、已知a,卩是方程x2，x-1=0的两个根，那么a4+3P=

14、测试题目:、选择题1. 解方程：3x2+27=0得().(D)方程的根有无数个(A)x=3(B)x=-3(C)无实数根2. 方程(2-3x)+(3x-2)2=0的解是().(A),x=-1(B)2(C)x=x=12(D),x=123. 方程(x-l)=4的根是().(A)3,-3(B)3,-1(C)2,-3(D)3,-24.用配方法解方程:正确的是().(A)(B)(C),原方程无实数解(D)原方程无实数解5.一元二次方程用求根公式求解，先求a,b,c的值，正确的是().(A)a=1,b=(B)a=1,b=-,c=2(C)a=l,b二,c=-2(D)a=-1,b=,c=29龙文教育教务管理部6

15、.用公式法解方程：3x2-5x+1=0,正确的结果是().(A)(B)(C)(D)都不对二、填空7. 方程9x2=25的根是.8. 已知二次方程X2+(t-2)x-t=0有一个根是2,则t二，另一个根是.9. 关于x的方程6x2-5(m-l)x+m2-2m-3=0有一个根是0,则m的值为.10. 关于x的方程(m2-m-2)X2+mx+n=0是一元二次方程的条件为.11. 方程(x+2)(x-a)=0和方程X2+x-2=0有两个相同的解，则a二.三、用适当的方法解下列关于x和y的方程12. (x+2)(x-2)=1.13.(3x-4)2=(4x-3)214.3x2-4x-4=0.15.x+x1

16、=0.16.X2+2x1=0.17.(2y+1)+3(2y+1)+2=0.18.2x219.为-bx-2b2=0.20.a2X2+2abx+b2-4=0(aH0).21.(b-c)X2(c-a)x+(a-b)=0(ac)10龙文教育教务管理部22.用因式分解法、配方法、分式法解方程2x2+5x-3=0.(A)因式分解法(B)配方法(C)公式法23解方程:(1)(2)24. 解关于x的方程：X2-2x+1-k(X2-1)=025. 已知|2m-3|=1，试解关于x的方程3mx(x+1)-5(x+1)(xT)=X226、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：(1) 当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。(2) 商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？27、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形。(1) 要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？(2) 两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。(3) 两个正方形的面积之和最小为多少？11龙文教育教务管理部