2n阶行列式性质与展开定理课件

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1、行列式行列式第二章第二章 nn 阶行列式阶行列式n行列式性质与展开定理行列式性质与展开定理 n克拉默（克拉默（Cramer）法则）法则 n应用举例应用举例4/15/20231第一节第一节n 阶行列式阶行列式4/15/20232 行列式行列式 （Determinant）是线性代数中的一个最基是线性代数中的一个最基本、最常用的本、最常用的工具工具，最早出现于求解线性方程组，最早出现于求解线性方程组.它被它被广泛地应用于数学、物理、力学以及工程技术等领域广泛地应用于数学、物理、力学以及工程技术等领域.了解：关于行列式了解：关于行列式4/15/20233设设 二元线性方程组二元线性方程组用消元法知：用

2、消元法知：当当 时时，（1）方程组方程组(1)有解有解,且且 把由四个数排成两行两列把由四个数排成两行两列,并定义为数并定义为数 的式子的式子 ,叫做叫做二阶行列式二阶行列式.数数 称为行列式的元素，元素称为行列式的元素，元素第一个下标称为行标，表明该元素位于第第一个下标称为行标，表明该元素位于第 i 行；行；第二个第二个下标称为列标，表明该元素位于第下标称为列标，表明该元素位于第 j j 列列.+-运算符运算符主对角线主对角线一、二阶与三阶行列式一、二阶与三阶行列式1、基本概念、基本概念行列式是一个行列式是一个数数4/15/20234由二阶行列式的定义，得：由二阶行列式的定义，得：称为称为方

3、程组（方程组（1）的）的系数行列式系数行列式Example 2 便于表示、记忆和推广便于表示、记忆和推广便于表示、记忆和推广便于表示、记忆和推广求解二元线性方程组求解二元线性方程组由于由于Solution:（1）用行列式形式表示方程组的解用行列式形式表示方程组的解4/15/20235类似地，定义三阶行列式类似地，定义三阶行列式+-计算（定义）规则称为对角线规则（或沙流氏规则）计算（定义）规则称为对角线规则（或沙流氏规则）.Example 3 计算三阶行列式计算三阶行列式=-5+12-2-5+8+3=11Solution:1、基本概念、基本概念4/15/20236二、二、n 阶行列式阶行列式 用

4、递归的方法来定义用递归的方法来定义 n 阶行列式阶行列式.由由 n2 个元素个元素 aij(i,j=1,2,n)排成排成 n 行行 n 列，列，称为称为 n 阶行列式阶行列式.数数行数与列数相等行数与列数相等特点特点？1、基本概念、基本概念在在(2)式中，式中，a11,a22,ann 所在的对角线称为行列式的主对角线所在的对角线称为行列式的主对角线.4/15/20237M11M12M13Definition 1 在在 n 阶行列式阶行列式 D 中，将中，将 aij 所在的第所在的第 i 行第行第 j 列划去后，余下的元素按原相对位置构成的一列划去后，余下的元素按原相对位置构成的一个个 n-1

5、阶行列式，称为阶行列式，称为 aij 的的余子式余子式，记作，记作 Mij.称称 Aij=(-1)i+jMij，称为元素，称为元素 aij 的的代数余子式代数余子式.二、二、n 阶行列式阶行列式4/15/20238Definition 2 当当 n=1 时，定义一阶行列式时，定义一阶行列式 ,若定义了若定义了 n-1(n 2)阶行列式，则定义阶行列式，则定义 n 阶行列式为阶行列式为 Dn=a11A11+a12A12+a1nA1n 也称也称(3)为为 n 阶行列式关于第一行的展开式阶行列式关于第一行的展开式.数数 aij 称为行列式称为行列式 Dn 的第的第 i 行第行第 j 列元素列元素.N

6、ote:当当 n 4 时时，对角线法则不再对角线法则不再适用适用 Dn 的计算的计算.如如 4 阶行列式：阶行列式：按对角线法共有按对角线法共有 8 项代数和；项代数和；4!=24 项项.但按定但按定义，共有义，共有n 阶行列式？阶行列式？二、二、n 阶行列式阶行列式4/15/20239Example 4 证明证明 n 阶下三阶下三角行列式角行列式(当当 i j 时，时，aij=0）利用利用 Pro.1 和和 Ex.4 得得=a11a22 ann.Property 2互换行列式的两行互换行列式的两行(列列)，行列式值变号，行列式值变号.三三、行列式的性质、行列式的性质4/15/202319Pr

7、operty 2 的证明的证明Proof:对行列式的阶数用数学归纳法对行列式的阶数用数学归纳法.阶数为阶数为 2，结结论显然成立论显然成立.假设假设 阶数为阶数为 n 1 时，结论成立时，结论成立.当阶数为当阶数为 n 时时，设，设交换第交换第 i 行与第行与第 j 行为行为其中其中 bi1=aj1，bj1=ai1，bk1=ak1(k=1,2,n;k i，j)三三、行列式的性质、行列式的性质4/15/202320对对 D*按第一列展开，得：按第一列展开，得：其中其中 Bk1 为为 D*的元素的元素 bk1 的代数余子式的代数余子式.对对 k=1,2,n;k i，j，由归纳假设，由归纳假设，Bk

8、1=-Ak1 ;Bi1=(-1)i+1(-1)(j-i)-1 Mj1由归纳假设由归纳假设=-(-1)j+1Mj1=-Aj1同理可得：同理可得：Bj1=-Ai1D*=b11B11+bi1Bi1+bj1Bj1+bn1Bn1 =a11(-A11)+aj1(-Aj1)+ai1(-Ai1)+an1(-An1)=-(a11A11+ai1Ai1+aj1Aj1+an1An1)=-D三三、行列式的性质、行列式的性质4/15/202321 Corollary 1 如果行列式有两行（列）完全相同，则此如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零行列式为零.只需把这相同的两行（列）互换，得只需把这相同的两行（列）互

9、换，得 Corollary 2 行列式某行（列）的元素乘另一行（列）行列式某行（列）的元素乘另一行（列）对应元素的代数余子式之和等于零对应元素的代数余子式之和等于零.即即0 k i0 k j三三、行列式的性质、行列式的性质4/15/202322行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即元素的代数余子式乘积之和等于零，即推论推论证明：证明：由前面的定理，行列式等于某一行的元素分别与它们由前面的定理，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和。代数余子式的乘积之和。在在中，如果令第中，如果令第 i 行的元素等

10、于行的元素等于另外一行，譬如第另外一行，譬如第 k 行的元素行的元素4/15/202323则，则，第第i行行右端的行列式含有两个相同的行，值为右端的行列式含有两个相同的行，值为 0。证毕证毕行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即元素的代数余子式乘积之和等于零，即推论推论4/15/202324综上，得公式综上，得公式注：注：直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个因为把一个n阶行列式换成阶行列式换成n个（个（n1 1）阶行列）阶行列 式的计算并不减少计算量；式的计

11、算并不减少计算量；只是在行列式中某一行或某一列含有较多的只是在行列式中某一行或某一列含有较多的 零零时，应用展开定理才有意义。时，应用展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。但展开定理在理论上是重要的。4/15/202325Property 3 用数用数 k 乘以行列式，相当于用数乘以行列式，相当于用数 k 乘以行乘以行列式的某一行（列）的所有元素列式的某一行（列）的所有元素.即即第第 i 行（列）乘以行（列）乘以 k，记作，记作 Corollary 1 行列式中某一行（列）的所有元素的公行列式中某一行（列）的所有元素的公因子，可以提到行列式符号外面因子，可以提到行列式符号外面.三三、行

12、列式的性质、行列式的性质4/15/202328Corollary 2 如果行列式中一行（列）为零，则该行如果行列式中一行（列）为零，则该行列式为零列式为零.(取取 k=0)Corollary 3 行列式中如果有两行（列）元素成比例行列式中如果有两行（列）元素成比例,则则 此行列式为零此行列式为零.(由由 Pro.3 Co.1 及及 Pro.2 Co.1)Property 4由由Th.1，按该行（列）展开可得，按该行（列）展开可得.该行每个元素为该行每个元素为两个元素之和两个元素之和三三、行列式的性质、行列式的性质4/15/202329Property 5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以数把

13、行列式的某一行（列）的各元素乘以数 k，然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式，然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变不变.即即以数以数 k 乘第乘第 j 行加到第行加到第 i 行，记作行，记作（由（由 Pro.4、Pro.3 Co.3即得）即得）注意表示！注意表示！三三、行列式的性质、行列式的性质4/15/202330Example 8 计算计算Solution:化行列式为上化行列式为上（下）三角行列（下）三角行列式是一重要方法式是一重要方法=-45改为改为 6，如何，如何？4阶及以上行列式阶及以上行列式不能用对角线法不能用对角线法 三三、行列式的性质、行列式的性质4/15/20

14、2331Example 9 计算计算Solution:方法一方法一D4=(a+3b)(a-b)3方法二方法二D4=(a+3b)(a-b)3方法一、方法二方法一、方法二对对 n 阶也很适用阶也很适用三三、行列式的性质、行列式的性质4/15/202332Example 10 试证试证 Proof：分析特点分析特点:列之和相等列之和相等(实质是计算实质是计算)确定方法确定方法左边左边=右边右边三三、行列式的性质、行列式的性质4/15/202334Example 11 n 阶行列式阶行列式 ，满足满足 aij=-aji i，j=1 n证明：当证明：当 n 为奇数时，为奇数时，D=0.Proof：由条件

15、可知由条件可知：aii=-aii i=1n 得得 aii=0 D=(-1)-1)n nD Pro.1Pro.3因为因为 n 为奇为奇数，数，D=-D,所以所以 D=0.三三、行列式的性质、行列式的性质4/15/202335Example 12 计算计算Solution:方法一方法一将各列加到第一列，得将各列加到第一列，得方法二方法二 Dncj+cj+1j=n-1,1三三、行列式的性质、行列式的性质4/15/202336Example 13 计算计算Solution:方法一方法一每行减去第一行，得每行减去第一行，得方法二方法二（添加一行一列）（添加一行一列）三三、行列式的性质、行列式的性质4/1

16、5/202337Example 14 计算计算Solution:方法一方法一 从第二行起，前行乘以从第二行起，前行乘以 x 加到后一加到后一行，得行，得三三、行列式的性质、行列式的性质4/15/202338按最后一行展开，得：按最后一行展开，得：Dn=xDn-1+an-1Dn-1=xDn-2+an-2方法二方法二 (递推法递推法).D2=xa0+a1Dn=xDn-1+an-1=x2Dn-2+an-2x+an-1所以所以=x3Dn-3+an-3x2+an-2x+an-1=xn-2D2+a2xn-1+an-3x2+an-2x+an-1Dn-2=xDn-3+an-3=a0 xn-1+a1xn-2+a

17、n-2x+an-1三三、行列式的性质、行列式的性质4/15/202339Example 15 设设证明：证明：D=D1D2 .对对 m 用数学归纳法即可证明（用数学归纳法即可证明（B）1(2);2）=？三三、行列式的性质、行列式的性质后后m列换到前面；列换到前面；注注4/15/202340Example 16 证明证明 范德蒙德（范德蒙德（Vandermonde）行列式）行列式Proof:用数学归纳法用数学归纳法当当 n=2结论成立；结论成立；假设对于假设对于 n-1 阶阶 V-行列式，结论成立；行列式，结论成立；对于对于 n 阶阶 V-行列式，从第行列式，从第 n 行开始，后行减去前行开始，

18、后行减去前行的行的 x1倍倍.三三、行列式的性质、行列式的性质4/15/202341Dn上式右端行列式是上式右端行列式是 n-1 阶阶 V-行列式，由归纳假设，得行列式，由归纳假设，得三三、行列式的性质、行列式的性质4/15/202342Example 17 计算计算Solution:D4 为为 4 阶阶 V-行列式行列式其中其中故故三三、行列式的性质、行列式的性质4/15/202343第三节第三节克莱姆（克莱姆（Cramer）法则）法则4/15/202344 首次讨论线性方程组的求解问题，利用行列式得出首次讨论线性方程组的求解问题，利用行列式得出一类特殊方程的求解公式一类特殊方程的求解公式.

19、克莱姆法则：克莱姆法则：如果线性方程组如果线性方程组(1)其系数行列式其系数行列式则方程组则方程组(1)有唯一解有唯一解 其中其中 Dj 是用常数项是用常数项(自由项自由项)b1，b2，bn 替替换换 D 中第中第 j 列所成的行列式列所成的行列式.一一、克莱姆法则、克莱姆法则简记为简记为4/15/202345Example 18 解方程组解方程组Solution:该位置展开一该位置展开一定带正号定带正号D1=-2，D2=4，D3=0，D4=-1 所以，所以，x1=1，x2=-2，x3=0，x4=1/2 .二二、克莱姆法则应用实例、克莱姆法则应用实例4/15/202347 克莱姆法则的意义在于

20、它给出了解与系数的关系克莱姆法则的意义在于它给出了解与系数的关系,在方程理论上很有价值在方程理论上很有价值.但用它来求解是很不方便的但用它来求解是很不方便的.因为，它求解一个因为，它求解一个 n 个未知量、个未知量、n 个方程的线性方程个方程的线性方程组，需计算组，需计算 n+1 个个 n 阶行列式，计算量很大阶行列式，计算量很大.Definition 1.8 在方程组（在方程组（1）中，如果自由项）中，如果自由项 b1，b2，bn 不全为零，则称（不全为零，则称（1）为）为非齐次非齐次线性方程组线性方程组;否则，称为否则，称为齐次线性方程组齐次线性方程组.Corollary 1 零一定是它的

21、解，零一定是它的解，更关心的是非零解更关心的是非零解如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组的系数行列式的系数行列式 ,则方程组只有零解则方程组只有零解.Corollary 2 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组有非零解的必要条件是有非零解的必要条件是 D=0.第三章将证明第三章将证明这也是充分的这也是充分的三三、克莱姆法则应用、克莱姆法则应用4/15/202348Example 19 设方程组设方程组 问问 a、b、c 满足什么条件，方程组有非零解满足什么条件，方程组有非零解.Solution:由由 D=0a、b、c 至少有两个相等至少有两个相等.不难验证，当不难验证，当 a、b、c 中至少有两个相等，方程中至少有两个相等，方程组有非零解组有非零解.4/15/202349小小 结结行列式计算、证明的常用方法行列式计算、证明的常用方法定义定义性质性质降（升）阶降（升）阶递推递推V-行列式行列式数学归纳法数学归纳法4/15/202350第第 二二 章章 行列式行列式完完4/15/202351第二章练习oP36，习题2(A)第7,5，3（5）;(B)4/15/202352习题2作业oP36，习题2(A)第2(1,2);3(3,5);4(3,4);6，8(1);9;104/15/202353