反比例函数教案(教育精品)

《反比例函数教案(教育精品)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《反比例函数教案(教育精品)（20页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、反比例函数教案 学习目标1.理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是函数关系，进而识别反比例函数.2.能根据已知条件确定反比例函数的表达式.学习重点：1.理解反比例函数的意义. 2. 确定反比例函数的表达式学习难点：1.反比例函数表达式的确定.2. 根据已知条件确定反比例函数的表达式.教学过程一、自主探究：1什么是函数？2什么是一次函数？什么是正比例函数？它们的一般形式是怎样的？3我们还记得，在小学里学过，什么叫成反比例关系吗？4如果路程s一定，那么速度v和时间t成什么关系？二、自主合作： 1尝试：汽车从南京出发开往上海（全程约300km），全程所用时间t(h),随速度v(km/的

2、变化而变化. （1）你能用含v的代数式表示t吗？（2）利用（1）的关系式完成下表：v/(km/h)608090100120t/h随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？（3）时间t是速度v的函数吗？为什么？ （4）时间t是速度v的一次函数吗？是正比例函数吗？为什么？2思考：用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系： （1）一个面积为6400m2的长方形的长a(m)随宽b(m)的变化而变化； （2）某银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额y（万元）随还款年限x（年）的变化而变化； （3）游泳池的容积为5000m3,向池内注水，注满水所需时间t(h)随注水速度

3、v(m3/h)的变化而变化； （4）实数m与n的积为-200，m随n的变化而变化.3讨论交流 函数关系式a = 、y = 、t = 、m =具有什么共同特征？你还能举出类似的实例吗？4概括总结 一般地，形如y = (k为常数，k0)的函数叫做反比例函数其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数.5.概念巩固:下列关系式中的y是 x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？ （1）y = ; （2）y = ; （3）y = 1x; （4） xy = 1; （5）y = ; （6）y = (3)x1 反比例函数通常有三种表达式：y = ，y = kx1 , xy = k（上述三个式子中k均为常数且

4、k0）.三、自主展示：例1：判断下列函数表达式中，表示反比例函数的是哪几个？（1）y = ; （2）y = ; （3）xy = 3; （4）-3x y + 2 = 0 ; （5）y = ; （6）y = + 1 . 例2 (1)已知y是x的反比例函数，当 x = 3时，y = 2 ,求y与x的函数关系式.(2)y = (1k)xk2中，y是x的反比例函数，求k的值.四、自主拓展： 1下列关系式中，是反比例函数的是 （ ） A. y = B. y = C. y = D. y = 32.下列各选项中所列举的两个变量之间的关系，是反比例函数关系的是（ ）A. 斜边长为5的直角三角形中，两直角边之间的

5、关系.B.等腰三角形中，顶角与底角之间的关系.C.圆的面积s与它的直径d之间的关系.D. 面积20cm2的菱形，其中一条对角线长y与另一条对角线长x的关系. 3已知y与x成反比例函数的关系，且当x = - 2时，y3，（1）求该函数的解析式（2）当x = 4时，求y的值（3）当y = 2时，求x的值.归纳总结：反比例函数的五种不同的表现形式：形式1：y 是 x 反比例函数形式2：y = (k为常数，k0)形式3：y = kx1 (k为常数，k0)形式4：xy = k(k为常数，k0)形式5：变量 y 与 x 成反比例，比例系数为k(k0)【课后作业】1函数y = （k ）叫做反比例函数，确定了

6、 就可以确定一个反比例函数，自变量的取值范围是 .2反比例函数y = 中的k值为 .3.当m 时，y = 是反比例函数，任取一个m值写出这个反比例函数4.近视眼镜的度数y度与镜片焦距x米成反比例，已知400度近视眼镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y度与镜片焦距x之间的函数关系式是 . 5. 已知y与x+2成反比例，且当x=2时,y=3，求（1）y关于x的函数解析式；（2）当x=-2时的y值. 6.一定质量的二氧化碳，当它的体积时，它的密度（1）求与V的函数关系式；（2）求当时二氧化碳的密度.反比例函数的性质（1）一、复习回顾1.一次函数y=kx+b(k0)的图象是一条直线,简称直线y=kx+

7、b.当k0时, y随x的增大而 ;当k0K02.一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成 的形式，那么称y是x的反比例函数。3.作函数图象的一般步骤是 、 、 .二、例题分析1.例题：作反比例函数y =的图像列表:(在自变量取值勤范围内取一些值,并计算相应的函数值)描点：-8-4-3-2-112348连线：（用光滑的曲线顺次连接各点）归纳：做反比例函数图像应注意什么问题？2.跟踪练习：作反比例函数y =的图像列表(在自变量取值勤范围内取一些值,并计算相应的函数值)描点：连线：（用光滑的曲线顺次连接各点）3.讨论与交流（1）反比例函数y=的图像在哪两个象限？和函数 y =的图象有什么相同点

8、和不同点？（2）反比例函数 y =的图象在哪两个象限？由什么确定？4.反比例函数的图象和性质形状位置三、基础训练2. （07年浙江丽水）已知反比例函数，则这个函数的图像一定经过（ ）A(2,1) B(2,-1) C(2,4) D(,2)3. 下列反比例函数的图像中位于第二、四象限的有 。y =y =y =y =y =-y =4.写出一个反比例函数的解析式，使它的图像不经过第一、三象限 .四、知识延伸1.反比例函数y =（x0）的图像在第 象限.五、拓展提高1.反比例函数（k为常数，k0）的图像位于第 象限。2.如果函数y=kx-1的图像位于第一、三象限，那么k 0.3.已知反比例函数的图像经过

9、点(-1,2)(1)求该函数的表达式(2)若点(2,a)在此图像上，求a的值4.正比例函数y=kx和反比例函数的图像相交于A、B两点，已知A点的横坐标为1，B点的纵坐标为-4（1）求A、B两点的坐标（2）写出这两个函数的表达式六、链接中考1.(07浙江金华)下列函数中，图像经过点（1，1）的反比例函数的解析式是（）A B C D2. （07福建泉州）反比例函数的图像在第 象限 课题：反比例函数的图像和性质（2）教学目标：1.知识与技能目标：a. 灵活应用反比例函数的图像和性质解决相关习题b.正确应用反比例函数的增减性比较数的大小 c.理解反比例函数中反比例系数的几何意义d.反比例函数与一次函数

10、的结合应用 2.能力目标：提高学生探究，归纳能力，进一步培养学生数形结合的思想 3.情感态度目标：体会合作探究的乐趣，发现数学中的奥妙和快乐。二 、教学重点和难点： 1重点：反比例函数性质和图象灵活应用 2.难点：典型题型重要结论的得出，应用三、教学方法：主要采取多媒体教学，自主探究，合作交流，师生互动等方法。四、教具准备：三角板五、教学过程： 导入语：通过上节课的学习，我们已经初步掌握反比例函数的图象和性质。这节课，我们来研究一下如何应用反比例函数的图像和性质解决相关习题。我们有哪些任务呢?老师说明。一挑战记忆，复习回顾反比例函数的图像和性质师：请学生来口答表格中的空。谁来试一下。形状双曲线

11、双曲线所在象限在一、三象限在二、四象限增减性（在每一象限内）y随x的增大而减小Y随x的增大而增大与x、y轴是否相交否 否（在这里就要强调：反比例函数的增减性，必须说明在一个象限内）二、 复习检测1、反比例函数 的图像在第一、三象限，在同一象限y随x的增大而减小 分析：这个题主要是考察反比例函数的性质，判断出k=30,则在每一个象限内，y随x的增大而减小。2、若反比例函数的图像经过点（2，3）、（3，m)和（n，-1）,则k=_ ,m=_,n=_.分析：主要考察反比例函数的解析式，已知点（2,3）在反比例函数上，所以k=6. 则解析式就已知了，求出相应m,n的值3、已知函数 在每一象限内，y随x

12、的增大而减小，那么k的取值范围是 ；y随x的增大而增大，那么k的取值范围_.分析：这个题是反比例函数图像和性质的延伸，通过知道具体的增减性，来判断反比例系数的正负，得到相应k的取值范围。三 、新知预习师:通过大家完成学案的情况，大家做的不错。说明预习的效果很好，我大体知道了你对新知识的掌握的情况。那么我让一名做的很好的同学来当一回老师，让他为大家讲解一下。已知反比例函数 的图象经过点A（2,-4）.问题1：求k的值；解：因为函数 的图象经过点（2,-4），把x=2，y=-4代入 ，得 解得k=-8.问题2：这个函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？（2）因为k=-80，由反比例函数的性

13、质可知， 函数 的图象在第二、四象限内； 在每一个象限内，y随x的增大而增大.问题3：点B（ ，-16）、C（-3，5）在这个函数的图象上吗【新知探究】师：反比例函数作为一种重要的数学工具，能深刻地描述两个变量之间的关系。那么它的性质和图象起着更重要的作用，我们需要更深入的理解和挖掘它们的意义。下面我们进行下一部分的学习：新知探究。这一部分包括三方面的学习，我们先来看第一部分“正确的应用反比例函数的增减性比较数的大小”一、 自主学习（千里之行，始于足下) （要求学生自主学习，发现特点）分析：1.首先判断出k=30,且0,这这两个点都在第一象限，则在每一个象限内，y随x的增大而减小。所以 2.k

14、0,在每一个象限内，y随x的减小而 减小，当点都在第四象限时， 二 探究：用刚才的方法还能正确的比较出两个数的大小吗？（小组合作讨论得出正确答案)已知点A(-2， )、B(1， )和C(2， ）都在反比例函数 (k0)的图象上，那么的大小关系如何？分析：这个题容易走进误区，很多同学根据k0时，直接应用y随x的增大而增大，得到，但是他忽略了利用函数的增减性。必须强调是在每一个象限内，才能应用性质。这三个点不在一个象限内，点A在第二象限内，点B,C在第四象限内。需要进一步分析。在进行这个环节时，让学生先做，出现问题，共同讨论，共同学习，并且有不同的方法。方法（一）因为k0.所以反比例函数分布在第二

15、，四象限。 点A在第二象限，所以；点B,C在第四象限，所以，因为点B,C在同一个象限内，并且。综合上述：方法（二）图像法 注明：这两个题主要是对上述题型的考察，学生可以采取不同的方法，让学生讲解，说明，同桌之间互相帮助，讨论。四 小结由于双曲线的两支在两个不同的象限内，因此函数y随x的增减性就不能连续的看，一定要强调“在每一个象限内”，否则笼统的说k0),y随x的增大而增大（y随x的增大而减小）是错误的。师：这种题型同时也告诉我们，做什么事情都要全面考虑，不要以偏概全，同时也体会到我们数学的严谨性。下面我们看第二部分“理解反比函数中反比例系数的几何意义”一一 探索：如图反比例函数中问题1：如图

16、，反比例函数上的点P,Q,R分别向x轴，y轴做垂线，与x轴，y组成的矩形面积分别为，它们之间有什么关系？你能证明吗？(1)(2),它们的面积都是反比例系数，所以都相等。分析：这个讨论，是让学生深入理解反比列系数的几何意义，通过自己的探索得到的知识更深刻，更容易理解。采取小组合作，共同探讨。问题2：反比例系数的几何意义是什么？大家知道了吗？ 答：反比例系数等于反比例函数上任意一点向x轴，y轴作垂线，与坐标轴组成的矩形面积。即S=|k|二、随堂练习1、如图，是双曲线上的三点，过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形 ,设他们的面积分别是.则 （ ）2、如图RtAOB的顶点A在双曲线 上，且SAOB

17、 =3，求m的值； 分析：这两个题其实是反比例系数与矩形面积关系拓展延伸，这是考试的重点，反比例系数的绝对值等于反比例函数上任一点分别向x轴（y轴）做垂线，连接这个点与坐标原点所组成的三角形面积的2倍反比例函数的图像和性质复习目标：1.理解反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式2.会画反比例函数的图像，根据图像和解析表达式y=（k0）理解其性质（k0或k0时，图像的变化情况）复习重点：反比例函数概念、图像和性质，反比例函数的表达式，k的几何意义复习难点：k的几何意义复习过程：一复习回顾考点一.反比例函数的意义及表达式1.下面的函数是反比例函数的是（ ）Ay=3x+1 B.y=x2

18、+2x C.y= D.y=2.已知y=(m+2)xm-5是反比例函数，则m= 3.反比例函数的图像经过点（-2,3），则反比例函数的关系式是 ，自变量的取值范围是 思考并解答1.满足什么形式的函数是反比例函数？2.用什么方法确定反比例函数的解析式？考点二.反比例函数的图像和性质16. （2011山东威海）下列各点中，在函数图象上的是（ ）A（2，4） B（2，3）C（1，6）D12（2011江苏盐城）对于反比例函数y = ，下列说法正确的是（ ） A图象经过点（1，-1） B图象位于第二、四象限C图象是中心对称图形 D当x0时，y随x的增大而增大11. （2011广东茂名）若函数的图象在其象限

19、内的值随值的增大而增大，则的取值范围是（ ）ABCD7.若A（x1，y1）、B（x2，y2）是双曲线y=上的两点，且x1x20，则y1 y2思考并解答：1.反比例函数的图像是 2.反比例函数有哪些性质？二探究总结已知反比例函数（为常数，）（）若点在这个函数的图象上，求的值；（）若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围；（）若，在反比例函数上任取一点B向x轴做垂线，垂足为D，则OBD的面积是多少？思考并解答：的几何含义：反比例函数y (k0)中比例系数k的几何意义，即过双曲线y (k0)上任意一点P作x轴、y轴垂线，设垂足分别为A、B，则所得矩形OAPB的面积为 .三拓展提高1.

20、如图，正方形的边长为1，反比例函数y=过点p，则k的值是（ ）A.1 B.-1 C.2 D.-22.已知反比例函数y=，当4x1时，y的最大值是 四反思评价1.自测（1）点P（2m-3,1）在反比例函数y=的图像上，则m= 图1（2）反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，值（ ） A增大 B减小不变先增大后减小2.反思；上面10道题你做对了多少？还存在哪些问题？请写出来！你对反比例函数又有什么新的认识了吗？1.3 实际生活中的反比例函数一、知识与技能1能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题2能综合利用物理杠杆知识、反比例函数的知识解决一些实际问题 二、过程与方法 1经历分析实际问题中变量之

21、间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题 2体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力 三、情感态度与价值观 1积极参与交流，并积极发表意见 2体验反比例函数是有效地描述物理世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具教学重点 掌握从物理问题中建构反比例函数模型教学难点 从实际问题中寻找变量之间的关系，关键是充分运用所学知识分析物理问题，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想教学过程 一、创设问题情境，引入新课 活动1 问属：在物理学中，有很多量之间的变化是反比例函数的关系，因此，我们可以借助于反比例函数的图象和性质解决一些物理学

22、中的问题，这也称为跨学科应用下面的例子就是其中之一 例1在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)和电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R5欧姆时，电流I2安培 (1)求I与R之间的函数关系式； (2)当电流I0.5时，求电阻R的值 设计意图： 运用反比例函数解决物理学中的一些相关问题，提高各学科相互之间的综合应用能力 师生行为： 可由学生独立思考，领会反比例函数在物理学中的综合应用 教师应给“学困生”一点物理学知识的引导 师：从题目中提供的信息看变量I与R之间的反比例函数关系，可设出其表达式，再由已知条件(I与R的一对对应值)得到字母系数k的值 生：(1)解：设I R5，I2，于是 2，所以k10

23、，I(2)当I0.5时，R20(欧姆) 师：很好!“给我一个支点，我可以把地球撬动”这是哪一位科学家的名言?这里蕴涵着什么样的原理呢? 生：这是古希腊科学家阿基米德的名言 师：是的公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了著名的“杠杆定律”：若两物体与支点的距离反比于其重量，则杠杆平衡，通俗一点可以描述为； 阻力阻力臂动力动力臂(如下图) 下面我们就来看一例子 二、讲授新课 活动2 例3小伟欲用撬棍橇动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛顿和05米 (1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系?当动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要多大的力? (2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一

24、半，则动力臂至少要加长多少? 设计意图： 物理学中的很多量之间的变化是反比例函数关系因此，在这儿又一次借助反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，即跨学科综合应用 师生行为： 先由学生根据“杠杆定律”解决上述问题 教师可引导学生揭示“杠杆乎衡”与“反比例函数”之间的关系 教师在此活动中应重点关注： 学生能否主动用“杠杆定律”中杠杆平衡的条件去理解实际问题，从而建立与反比例函数的关系； 学生能否面对困难，认真思考，寻找解题的途径； 学生能否积极主动地参与数学活动，对数学和物理有着浓厚的兴趣 师：“撬动石头”就意味着达到了“杠杆平衡”，因此可用“杠杆定律”来解决此问题 生：解：(1)根据“杠

25、杆定律”有 Fl12000.5得F 当l1.5时，F400 因此，撬动石头至少需要400牛顿的力 (2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，即不超过200牛，根据“杠杆定律”有 Fl600， l 当F400200时， l3 31.51.5(米) 因此，若想用力不超过400牛顿的一半，则动力臂至少要如长1.5米 生：也可用不等式来解，如下： Fl600，F 而F400200时 200 l3 所以l1.531.51.5 即若想用力不超过400牛顿的一半，则动力臂至少要加长1.5米 生：还可由函数图象，利用反比例函数的性质求出 师：很棒!请同学们下去亲自画出图象完成，现在请同学们思考下列问题：

26、 用反比例函数的知识解释：在我们使用橇棍时，为什么动力臂越长越省力? 生：因为阻力和阻力臂不变，设动力臂为l，动力为F，阻力阻力臂k(常数且k0)，所以根据“杠杆定理”得Flk，即F(k为常数且k0) 根据反比例函数的性质，当kO时，在第一象限F随l的增大而减小，即动力臂越长越省力 师：其实反比例函数在实际运用中非常广泛例如在解决经济预算问题中的应用 活动3 问题：某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.550.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿度)与(x04)元成反比例又当x065元时，y0.8(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若每度

27、电的成本价0.3元，电价调至0.6元，请你预算一下本年度电力部门的纯收人多少? 设计意图： 在生活中各部门，经常遇到经济预算等问题，有时关系到因素之间是反比例函数关系，对于此类问题我们往往由题目提供的信息得到变量之间的函数关系式，进而用函数关系式解决一个具体问题 师生行为： 由学生先独立思考，然后小组内讨论完成 教师应给予“学困生”以一定的帮助 生：解：(1)y与x04成反比例， 设y(k0) 把x0.65，y0.8代入y，得 0.8解得k0.2， y y与x之间的函数关系为y (2)根据题意，本年度电力部门的纯收入为 (0.60.3)(1y)0.3(1)0.3(1)0.320.6(亿元) 答

28、：本年度的纯收人为0.6亿元， 师生共析： (1)由题目提供的信息知y与(x0.4)之间是反比例函数关系，把x0.4看成一个变量，于是可设出表达式，再由题目的条件x0.65时，y0.8得出字母系数的值； (2)纯收入总收入总成本 三、巩固提高 活动4一定质量的二氧化碳气体，其体积y(m3)是密度(kgm3)的反比例函数，请根据下图中的已知条件求出当密度1.1 kgm3时二氧化碳气体的体积V的值 设计意图： 进一步体现物理和反比例函数的关系 师生行为 由学生独立完成，教师讲评 师：若要求出1.1 kgm3时，V的值，首先V和的函数关系 生：V和的反比例函数关系为：V 生：当1.1kgm3根据V，

29、得 V900(m3) 所以当密度1.1 kgm3时二氧化碳气体的气体为900m3 四、课时小结 活动5 你对本节内容有哪些认识?重点掌握利用函数关系解实际问题，首先列出函数关系式，利用待定系数法求出解析式，再根据解析式解得 师生行为： 学生可分小组活动，在小组内交流收获，然后由小组代表在全班交流 教师组织学生小结 反比例函数与现实生活联系非常紧密，特别是为讨论物理中的一些量之间的关系打下了良好的基础用数学模型的解释物理量之间的关系浅显易懂，同时不仅要注意跨学科间的综合，而本学科知识间的整合也尤为重要，例如方程、不等式、函数之间的不可分割的关系 活动与探究学校准备在校园内修建一个矩形的绿化带，矩形的面积为定值，它的一边y与另一边x之间的函数关系式如下图所示 (1)绿化带面积是多少?你能写出这一函数表达式吗? (2)完成下表，并回答问题：如果该绿化带的长不得超过40m，那么它的宽应控制在什么范围内?x(m)10203040y(m) 过程：点A(40，10)在反比例函数图象上说明点A的横纵坐标满足反比例函数表达式，代入可求得反比例函数k的值