《微积分导学讲解》PPT课件.ppt

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1、微积分导学 微积分的产生、应用、特 点，学习微积分的目的、意义 和方法。 1/20 1 为什么要学习微积分 微积分是高等学校中经济类、理工类专业学生必 修的重要基础理论课程。 数学主要是研究现实世界中的数量关系与空间形 式。在现实世界中，一切事物都在不断地变化着，并 遵循量变到质变的规律。凡是研究量的大小、量的变 化、量与量之间的关系以及这些关系的变化，就少不 了数学。同样，一切实在的物皆有形，客观世界中存 在着各种不同的空间形式。因此，宇宙之大，粒子之 微，光速之快，世界之繁， .,无处不用到数学。 2/20 数学不但研究 现实世界中的 数量关系与空间形 式 ，还研究各种各样的抽象的“数”和

2、“形”的模 式结构。 恩格斯说 ：“要辨证而又唯物地了解自然，就 必须掌握数学。” 英国著名哲学家培根说：“数学是打开科学大门 的钥匙。” 著名数学家霍格说： “ 如果一个学生要成为完全 合格的、多方面武装的科学家，他在其发展初期就必 定来到一座大门并且通过这座门。在这座大门上用每 一种人类语言刻着同样一句话 :这里使用数学语 言 。 ” 3/20 随着科学技术的发展，人们越来越深刻地认识到： 没有数学，就难于创造出当代的科学成就。科学技术 发展越快越高，对数学的需求就越多。 如今，伴随着计算机技术的迅速发展、自然科学 各学科数学化的趋势、社会科学各部门定量化的要求， 使许多学科都在直接或间接

3、地，或先或后地经历了一 场数学化的进程（在基础科学和工程建设研究方面， 在管理机能和军事指挥方面，在经济计划方面，甚至 在人类思维方面，我们都可以看到强大的数学化进 程）。 联合国教科文组织在一份调查报告中强调指出： “目前科学研究工作的特点之一是各门学科的数学 化。” 4/20 为了使大家了解“微积分”在数学中的地 位，我们简要地介绍一点数学的历史。 从最一般的观点来看，数学的历史可以分 为四个基本的、在性质上不同的阶段。当然精 确的划分这些阶段是不可能的，因为每一个相 继的阶段的本质特征都是逐步形成的，而且在 每一个“前期”内，都孕育乃至萌发了“后期” 的内容；而每一个“后期”又都是其 “

4、前期” 内容的持续发展阶段。不过这些阶段的区别和 它们之间的过渡都能明显地表示出来。 5/20 第一阶段：数学萌芽时期 这个时期从远古时代起，止于公元前 5世 纪。这个时期，人类在长期的生产实践中积累 了许多数学知识，逐渐形成了数的概念，产生 了数的运算方法。由于田亩度量和天文观测的 需要，引起了几何学的初步发展。这个时期是 算术、几何形成的时期，但它们还没有分开， 彼此紧密地交织在一起。也没有形成严格、完 整的体系，更重要的是缺乏逻辑性，基本上看 不到命题的证明、演绎推理和公理化系统。 6/20 第二阶段：常量数学时期 即 “ 初等数学 ” 时期。这个时期开始于 公元前 6、 7世纪，止于

5、17世纪中叶，延续了 2000多年。在这个时期，数学已由具体的阶 段过渡到抽象的阶段，并逐渐形成一门独立 的、演绎的科学。在这个时期里，算术、初 等几何、初等代数、三角学等都已成为独立 的分支。 这个时期的基本成果，已构成现在 中学数学课本的主要内容。 7/20 第三阶段：变量数学时期 即 “ 微积分 ” 时期。这个时期以 17世纪中叶笛卡 儿的解析几何的诞生为起点，止于 19世纪中叶。这个 时期和前一时期的区别在于，前一时期是用 静止 的方 法研究客观世界的 个别 要素，而这一时期是运用 运动 和 变化 的观点来探究事物变化和发展的规律。 在这个时期，变量与函数的概念进入了数学，随 后产生了

6、 微积分 。这个时期虽然也出现了概率论和射 影几何等新的数学分支，但似乎都被微积分过分强烈 的光辉掩盖了它们的光彩。这个时期的基本成果是解 析几何、微积分、微分方程等，它们是现今高等院校 中的基础课程。 8/20 第四阶段：现代数学阶段 这个时期始于 19世纪中叶。这个时期是以代数、几何、 数学分析中的深刻变化为特征。几何、代数、数学分析变得更 为抽象。 可以说在现代的数学中，“数”、“形”的概念已发展到 很高的境地。比如，非数之“数”的众多代数结构，像群、环、 域等；无形之“形”的一些抽象空间，像线性空间、拓扑空间、 流形等。 在人类智能活动的研究领域里也有数学的身影。 产生于 19 世纪末

7、，现在已经得到广泛发展的新学科 数理逻辑，用数 学的方法研究命题的结构、研究推理的过程。 随着科学技术的发展，使各数学基础学科之间、数学和 物理、经济等其它学科之间相互交叉和渗透，形成了许多边缘 学科和综合性学科。集合论、计算数学、电子计算机等的出现 和发展，构成了现在丰富多彩、渗透到各个科学技术部门的现 代数学。 9/20 “初等 ” 数学与 “ 高等 ” 数学之分完全是按照惯例形成的。 可以指出习惯上称为“初等数学”的这门中学课程所固有的两 个特征。 第一个特征在于其所研究的对象是不变的量（常量）或 孤立不变的规则几何图形；第二个特征表现在其研究方法上。 初等代数与初等几何是各自依照互不相

8、关的独立路径构筑起来 的，使我们既不能把几何问题用代数术语陈述出来，也不能通 过计算用代数方法来解决几何问题。 16世纪，由于工业革命的直接推动，对于运动的研究成 了当时自然科学的中心问题，这些问题和以往的数学问题有着 原则性的区别。要解决它们 ，初等数学以不够用了，需要创 立全新的概念与方法，创立出研究现象中各个量之间的变化的 新数学。变量与函数的新概念应时而生，导致了初等数学阶段 向微积分阶段的过渡。 10/20 微积分与初等数学相反，它是在代数法与几何法 密切结合的基础上发展起来的。这种结合首先出现在 法国著名数学家、哲学家笛卡儿所创建的解析几何中。 笛卡儿把变量引进数学，创建了坐标的概

9、念。有了坐 标的概念，我们一方面能用代数式子的运算顺利地证 明几何定理，另一方面由于几何观念的明显性，使我 们又能建立新的解析定理，提出新的论点。笛卡儿的 解析几何使数学史上一项划时代的变革，恩格斯曾给 予高度评价：“数学中的转折点是笛卡儿的变数。有 了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了 数学，有了变数，微分和积分也就成为必要的了 . 。” 11/20 有人作了一个粗浅的比喻：如果将整个数学比作一棵大 树，那么初等数学是树根，名目繁多的数学分支是树枝，而树 干就是“高等分析、高等代数、高等几何”（ 它们被统称 为微积分 ） 。这个粗浅的比喻，形象地说明这“三高”在数学 中的地位和作用

10、，而微积分学在“三高”中又有更特殊的地位。 学习微积分学当然应该有初等数学的基础，而学习任何一门近 代数学或者工程技术都必须先学微积分。 英国科学家 牛顿 和德国科学家 莱布尼茨 在总结前人工作的 基础上各自独立地创立了微积分，与其说是数学史上，不如说 是科学史上的一件大事。恩格斯指出： “ 在一切理论成就中， 未必再有什么像 17世纪下半叶微积分学的发明那样被看作人类 精神的最高胜利了。 ” 他还说； “ 只有微积分学才能使自然科 学有可能用数学来不仅仅表明状态，并且也表明过程、运动。 ” 时至今日，在大学的所有经济类、理工类专业中，微积分总是 被列为一门重要的基础理论课。 12/20 2

11、微积分的主要学习内容和教学目的 我们要学习的 微积分 这门课程包括极限论、微积分学、空间解析几 何、无穷级数论和微分方程初步，最主要的部分是微积分学。 微积分学研究的对象是函数，而极限则是微积分学的基础（也是整个 分 析学 的基础）。 通过学习的 微积分 这门课程要使学生获得： （ 1）函数、极限、连续 ; （ 2）一元函数微积分学； （ 3）向量代数和空间解析几何； （ 4）多元函数微积分学； （ 5）无穷级数（包括傅立叶级数）； （ 6）常微分方程。 等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程奠定必要的 数学基础。 通过各个教学环节培养学生的抽象概括能力、逻辑推理能力和 自学

12、 能力 ， 还要特别注意培养学生比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题 和解决问题的能力。 13/20 3 怎样才能学好微积分 一、 要学好微积分，首先了解微积分的特点 微积分有三个显著的特点：高度的抽象性；严谨的逻辑性； 广泛的应用性。 （ 1）高度的抽象性 数学的抽象性在简单的计算中就已经表现出来。我们运用 抽象的数字，却不是每次都把它们同具体的对象联系起来。在 数学的抽象中只留下 量的关系和空间形式 ，而舍弃了其他一切。 它的抽象程度大大超过了自然科学中一般的抽象。 （ 2）严谨的逻辑性 数学中的每一个定理， 不论验证了多少实例 ，只有当它从 逻辑上被严格地证明了的时候，才能在数

13、学中成立。在数学中 要证明一个定理，必须是从条件和已有的数学公式出发，用严 谨的逻辑推理方法导出结论。 14/20 （ 3）广泛的应用性 微积分具有广泛的应用性。例如，掌握了导数概念及其 运算法则，就可以用它来刻画和计算曲线的切线斜率、曲线 的曲率等等几何量；就可以用它来刻画和计算速度、加速度、 密度等等物理量；就可以用它来刻画和计算产品产量的增长 率、成本的下降率等等经济量； 。掌握了定积分概念及 其运算法则，就可以用它来刻画和计算曲线的弧长、不规则 图形的面积、不规则立体的体积等等几何量；就可以用它来 刻画和计算变速运动的物体的行程、变力所做的功、物体的 重心等等物理量；就可以用它来刻画和

14、计算总产量、总成本 等等经济量； 。 微积分既为其它学科提供了便利的计算工具和数学方法， 也是学习近代数学所必备的数学基础。 15/20 二、微积分的教学特点 对于大学课程，特别是作为基础理论课的微积分，课堂教学是重要 环节。微积分的课堂教学与中学数学的课堂教学相比，有下述三个显著的 差别。 （ 1）课堂大 微积分课堂是一、二百人的大课堂，在这种大课堂上不可能经常让 同学们提问题。同学们在学习的基础上、水平上、理解接受能力上肯定存 在差异，但是教师授课的基点只能是照顾大多数，不可能给跟不上、听不 全懂的少数同学细讲、重复讲。 （ 2）时间长 每次授课两节，共 90分钟。 （ 3）进度快 微积分

15、的内容极为丰富，而学时又相对很少（同中学数学课相比）， 平均每次课要讲授教材内容一至两节（甚至更多）。另外，大学与中学的 教学要求有很大的不同，教师讲课主要讲重点、难点、疑点，讲分析问题 的方法，讲解题的思路，而例题要比中学少得多，不象中学上数学课那样， 对一个重要的定理，教师要仔细讲、反复讲，讲完之后又举大量典型的例 子。 16/20 三、注意抓好学习的六个环节 微积分这门课是同学们进入大学后遇到的第一门课，也 是一门最重要的基础课。由于在教学方法上、在对学生能力的 培养目标上与中学时有很大的不同，因此，同学们在一开始会 感到很不适应。为了尽快适应这种环境，要注意抓好下述六个 学习环节。 （

16、 1）预习 为了提高听课效果，每次上课前应对教师要讲的内容进 行预习。预习的重点是 阅读 一下要讲的定义、定理和主要公式。 预习的主要目的是：第一，使听课时心里有个底，不至于被动 地跟着教师的“脚后跟”跑；第二，知道哪些地方是重点和自 己的难点疑点，从而在听课时能提高效率；第三，可以弥补由 于基础、理解力上的差异所造成的听课困难。形象地说，预习 就象要到某个名胜游览之前，先买个旅游图及其说明来看一看， 以便在旅游时更主动，收获更大。 17/20 （ 2）听课 听课是在大学中获取知识的主要环节。因此，应带着充 沛的精力、带着获取新知识的浓厚兴趣、带着预习中的疑点和 难点，专心致志地聆听教师如何提

17、出问题、分析问题和解决问 题，并且积极主动地思考。 在听课时常会遇到某些问题没听懂情况，这时千万不要 在这些问题上持续徘徊而影响继续听课，应承认它并在教材上 或笔记上相应处作上记号，继续跟上教师的讲授。遗留的问题、 疑点待课后复习时再思考、钻研，或找同学讨论，或找教师答 疑，或看参考书。 （ 3）记笔记 教师讲课并非“照本宣科”。教师主要讲重点、讲难点、 讲疑点、讲思路、讲方法，还会提出一些应注意的问题、补充 一些教材上没有的内容和例子。因此，记好课堂笔记是学好微 积分的一个重要的学习环节。但是要注意的是，课堂学习的中 心任务是听、看、想，记笔记的目的是便于课后复习，便于消 化课上所讲的内容。

18、因此，记笔记不应占用过多的课堂时间。 笔记不必工整，不必全面，不必连贯，但应预留较多的空白以 便课后补充、写心得、记疑问。 18/20 （ 4）复习 学习包括“学”与“习”两个方面。“学”是为了获取 知识，“习”是为了消化、掌握、巩固知识。每次课后的当天 都应结合课堂笔记和教材及时复习课上所讲的内容。但是，在 翻开教材与笔记之前，应先回顾一下课上所讲的主要内容。另 外，应该经常地、反复地复习前面所讲过的内容，这样一方面 是为了避免边学边忘，另一方面可以加深对以前所学内容的理 解，使知识水平上升到更高的层次。 （ 5）做作业 要把微积分学到手，及时、认真地完成作业是一个必不 可少的学习环节。每次

19、的作业最好在当天完成，但是应该在复 习完当天的内容之后进行。做作业不仅是检验学习效果的手段， 同时也是培养、提高综合分析问题的能力、笔头表达的能力以 及计算能力的重要手段。 特别强调，认真完成作业是培养同学们严谨治学的一个 环节。因此，要求作业“字迹工整、绘图准确、条理清楚、论 据充分”。切忌抄袭，尽量不先看书后的答案。 19/20 （ 6）答疑 答疑是微积分学习的一个重要的环节。遇到 疑问时应该及时地与同学讨论，或者及时地向教师 请教，切不可将问题放置一旁不理。打个比喻，如 果把大学各个课程比做一各个建筑物群，那么，微 积分就是这些建筑物中的那座需要最先建造的、最 高的建筑物，而且它不是“建筑群”。如果在建造 的过程中质量不好，那么这座建筑物是无法建成的， 后面的建筑物也难以建好。 除了要重视上述学习环节之外，还有一点应 该大力提倡，那就是 互助合作、共同研讨、共同提 高 。团队精神对于学好微积分同样重要。 20/20