.勾股定理经典例题(含答案)

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1、勾股定理经典例题类型一：勾股定理的直接用法 1、在RtABC中，C=90 (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。 举一反三 【变式】:如图B=ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，. 求：BC的长. 15020m30m1、某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（） A、4

2、50a元B、225a 元C、150a元 D、300a元 举一反三【变式1】如图，已知：，于P. 求证：. 【变式2】已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。 类型三：勾股定理的实际应用 （一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了到达B点，然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。 （1）求A、C两点之间的距离。 （2）确定目的地C在营地A的什么方向。 举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门

3、? （二）用勾股定理求最短问题 4、如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程 类型四：利用勾股定理作长为的线段 5、作长为、的线段。 作法：如图所示 举一反三 【变式】在数轴上表示的点。 解析：可以把看作是直角三角形的斜边， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。 作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作ACOA且截取AC=1，以OC为半径， 以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。类型五：逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并

4、判断是否正确 1原命题：猫有四只脚（正确） 2原命题：对顶角相等（正确） 3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确） 4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确） 7、如果ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。 。 举一反三【变式1】四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。 【变式2】已知:ABC的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且mn),判断ABC是否为直角三角形. 【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一

5、点，且BF=AB。 请问FE与DE是否垂直?请说明。 【答案】答：DEEF。 证明：设BF=a，则BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2； DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。 连接DF（如图） DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 DF2=EF2+DE2, FEDE。练习一、判断直角三角形问题：1、.满足下列条件的ABC，不是直角三角形的是A.b2=c2a2 B.abc=345 C.C=AB D.ABC=1213152、若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是A.4

6、2B.52 C.7D.52或73、如果ABC的三边分别为m21，2 m，m2+1(m1)那么A.ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1 B.ABC是直角三角形，且斜边长2 为mC.ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定 D.ABC不是直角三角形4、已知RtABC中，C=90，若a+b=14cm，c=10cm，则RtABC的面积是（） A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm25、下面几组数:7,8,9;12,9,15;m2 + n2, m2 n2, 2mn(m,n均为正整数,mn);,.其中能组成直角三角形的三边长的是( )A.;B.;C.;D.6、 三角形的三边长为,则这

7、个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形.7、已知 ,则由此为三边的三角形是 三角形.9、已知a，b，c为ABC三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断ABC的形状.10、若ABC的三边长为a,b,c，根据下列条件判断ABC的形状.（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c (2)a3a2b+ab2ac2+bc2b3=011、已知，ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线AD=15cm，试说明ABC是等腰三角形。经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形两直角边

8、的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。 注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a。 【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。 【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。 总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。 【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40 类型二：勾股定理

9、的应用 2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN30，点A处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。 举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了_步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。 【答案

10、】4 【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。 （1）直接写出单位正三角形的高与面积。 （2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？ （3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。 类型三：数学思想方法 方程的思想方法 4、如图所示，已知ABC中，C=90，A=60，求、的值。 思路点拨：由，再找出、的关系即可求出和的值。 解：在RtABC中，A=60，B=90-A=30， 则，由勾股定理，得。 因为，所以， ，。 总结升华：在直角三角形中，30的锐角的所对的直角边是斜边的一

11、半。 举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。 解：因为ADE与AFE关于AE对称，所以AD=AF，DE=EF。 因为四边形ABCD是矩形，所以B=C=90， 在RtABF中， AF=AD=BC=10cm，AB=8cm， 所以。 所以。 设，则。 在RtECF中，即，解得。 即EF的长为5cm。三、折叠问题1、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则ABE的面积为（） A、6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm2ABEFDC第11题图2、 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗？3、已知，如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB = 8cm，BC = 10 cm，求EC的长8