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1、题型五 几何动态与二次函数综合题 山西专用 类型 2 探究动点与特殊三角形存在性问题 【 例 2】 (2016山西 )综合与探究 如图 ， 在平面直角坐标系中 ， 已知抛物线 y ax2 bx 8与 x轴交于 A， B两 点 ， 与 y轴交于点 C， 直线 l经过坐标原点 O， 与抛物线的一个交点为 D， 与 抛物线的对称轴交于点 E， 连接 CE， 已知点 A， D的坐标分别为 ( 2， 0)， (6， 8) (1)求抛物线的函数表达式 ， 并分别求出点 B和点 E的坐标； (2)试探究抛物线上是否存在点 F， 使 FOE FCE， 若存在 ， 请直接写 出点 F的坐标；若不存在 ， 请说明
2、理由； (3)若点 P是 y轴负半轴上的一个动点 ， 设其坐标为 (0， m)， 直线 PB与直线 l 交于点 Q， 试探究：当 m为何值时 ， OPQ是等腰三角形 【 分析 】 (1)将点 A、 D的坐标代入 y ax2 bx 8解出 a、 b的值 ， 求出抛 物线解析式 ， 进而求得抛物线的对称轴 ， 再利用抛物线的对称性结合点 A 的坐标求出点 B的坐标；联立直线 l与对称轴即可求得点 E的坐标； (2)由三角形全等的性质可知 FO FC， 则点 F一定在线段 OC的垂直平分线 上 ， 由抛物线与 y轴的交点坐标可得出点 F的纵坐标 ， 然后将点 F的纵坐标 代入解析式即可求出点 F的横
3、坐标； (3)本题在探究 OPQ为等腰三角形时 ， 需分 OP OQ和 OQ PQ两种情况 进行讨论 解： ( 1 ) 抛物线的函数表达式为 y 1 2 x 2 3x 8 ， 点 B 的坐标为 ( 8 ， 0 ) 点 E 的坐标为 ( 3 ， 4 ) ； ( 2 ) 抛物线上存在点 F ， 使 FOE FCE . 点 F 的坐标为 ( 3 17 ， 4 ) 或 ( 3 17 ， 4 ) ； (3) 需分两种情况进行讨论： 当 OP OQ 时 ， OPQ 是等腰三角形 ， 如图 ， 点 E 的坐标为 (3 ， 4) ， OE 3 2 4 2 5 ， 过点 E 作直线 ME PB ， 交 y 轴于
4、点 M ， 交 x 轴于点 H ， OPQ OME ， OM OP OE OQ ， OM OE 5 ， 点 M 的坐标为 (0 ， 5) ， 设直线 ME 的函数表达式为 y k 1 x 5 ， 将 E(3 ， 4) 代入得 3k 1 5 4 ， 解得 k 1 1 3 ， 直线 ME 的函数表达式为 y 1 3 x 5 ， 令 y 0 ， 解得 x 15 ， 点 H 的坐标为 ( 15 ， 0 ) 又 MH PB ， 即 OPB OMH ， OP OM OB OH ， 即 m 5 8 15 ， m 8 3 ； 当 QO QP 时 ， OPQ 是等腰三角形 ， 如图 ， 当 x 0 时 ， y
5、1 2 x 2 3x 8 8 ， 点 C 的坐标为 (0 ， 8) ， CE 3 2 （ 8 4 ） 2 5 ， OE CE ， 1 2 ， 又 QO QP ， 1 3 ， 2 3 ， CE PB. 设直线 CE 交 x 轴于点 N ， 其函数表达式为 y k 2 x 8 ， 将 E(3 ， 4) 代入得 3k 2 8 4 ， 解得 k 2 4 3 ， 直线 CE 的函数表达式为 y 4 3 x 8 ， 令 y 0 ， 得 4 3 x 8 0 ， x 6 ， 点 N 的坐标为 (6 ， 0 ) CN PB. 2 3 ， ONC OBP ， 则 OPB OCN ， OP OC OB ON ， m
6、 8 8 6 ， 解得 m 32 3 . 综上所述 ， 当 m 的值为 8 3 或 32 3 时 ， OPQ 是等腰三角形 对应训练 1 ( 2013 山西 ) 综合与探究： 如图 ， 抛物线 y 1 4 x 2 3 2 x 4 与 x 轴交于 A ， B 两 点 ( 点 B 在点 A 的右侧 ) ， 与 y 轴交于点 C ， 连接 BC ， 以 BC 为一边 ， 点 O 为 对称中心作菱形 BD EC ， 点 P 是 x 轴上的一个动点 ， 设点 P 的坐标为 (m ， 0 ) ， 过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线于点 Q. (1) 求点 A ， B ， C 的坐标； (2) 当点
7、P 在线段 OB 上运动时 ， 直线 l 分别交 BD ， BC 于点 M ， N. 试探究 m 为何值时 ， 四边形 CQM D 是平 行四边形 ， 此时 ， 请判断四边形 CQ BM 的形状 ， 并说明理由 (3) 当点 P 在线段 EB 上运动时 ， 是否存在点 Q ， 使 BD Q 为直角三角形？若 存在 ， 请 直接写出 点 Q 的坐标；若不存在 ， 请说明理由 解： (1) 当 y 0 时 ， 1 4 x 2 3 2 x 4 0 ， 解得 x 1 2 ， x 2 8. 点 B 在点 A 的 右侧 ， 点 A ， B 的坐标分别为 ( 2 ， 0 ) ， (8 ， 0 ) 当 x 0
8、 时 ， y 4. 点 C 的坐标为 (0 ， 4); (2) 由菱形的对称性可知 ， 点 D 的坐标为 (0 ， 4 ) 设直线 BD 的解析式 y kx b ， 则 b 4 8k b 0 ， 解得 k 1 2 b 4 . 直线 BD 的解析式为 y 1 2 x 4. 直线 l x 轴 ， 点 M ， Q 的坐标分别是 (m ， 1 2 m 4) ， ( m ， 1 4 m 2 3 2 m 4) 当 MQ DC 时 ， 四边形 CQ MD 是平行四边形 ( 1 2 m 4) ( 1 4 m 2 3 2 m 4) 4 ( 4) 化简得： m 2 4m 0. 解得 m 1 0( 舍去 ) ， m
9、 2 4 ， 当 m 4 时 ， 四 边形 CQM D 是平行四边形此时 ， 四边形 CQ BM 是平行四边形证明如下： m 4 ， 点 P 是 OB 的中点 直线 l x 轴 ， 直线 l y 轴 BPM BOD. BP BO BM BD 1 2 . BM DM. 四边形 CQMD 是平行四边形 ， DM CQ 且 DM CQ. BM CQ 且 BM CQ. 四边形 CQ BM 是平行四边形 (3) 抛物线上存在两个这样的点 Q ， 分别是 Q 1 ( 2 ， 0 ) ， Q 2 (6 ， 4) 2 ( 2016 山西百校联考二 ) 综合探究： 如图 ， 在平面直角坐标系 xOy 中 ， 抛
10、 物线 y 1 3 x 2 bx 8 与 x 轴交于点 A( 6 ， 0 ) 和点 B( 点 A 在点 B 左侧 ) ， 与 y 轴交于点 C. 点 P 为线段 AO 上的一个动点 ， 过点 P 作 x 轴的垂线 l 与抛物线交 于点 E ， 连接 AE ， EC. (1) 求抛物线的表达式及点 C 的坐标； (2) 连接 AC 交直线 l 于点 D ， 则在点 P 运动过程中 ， 当点 D 为 EP 中点时 ， S ADE ： S APE ； (3) 如图 ， 当 EC x 轴时 ， 点 P 停止运动 ， 此时 ， 在抛物线上是否存在点 G ， 使得以点 A ， E ， G 为顶点的三角形是
11、直角三角形？若存在 ， 请求出点 G 的坐 标 ， 若不存在 ， 说明理由 ( 导学号 0205 2720) 1 2 解： (1) 把点 A( 6 ， 0 ) 的坐标代入 y 1 3 x 2 bx 8 中 ， 得 1 3 ( 6) 2 b ( 6) 8 0 ， 解得 b 2 3 . 抛物线的表达式为 y 1 3 x 2 2 3 x 8. 把 x 0 代入上式 ， 得 y 8. 点 C 的坐标为 (0 ， 8 ) (3) 如图 ， 存在点 G ， 使得以点 A ， E ， G 为顶点的三角形是直角三角形连接 EG ， AG ， 作 GM l 于点 M ， GN x 轴于点 N. EC x 轴 ，
12、 EP CO 8. 把 y 8 代入 y 1 3 x 2 2 3 x 8 中 ， 得 1 3 x 2 2 3 x 8 8 ， 解得 x 1 2 ， x 2 0( 不合 题意 ， 舍去 ) 点 P 坐标为 ( 2 ， 0 ) ， AP AO PO 6 2 4. . 如图 ， 当 AEG 90 ， MEG AEP 90 时 ， 又 AEP EAP 90 ， MEG EAP . 又 APE EMG 90 ， EMG AP E. EM AP MG EP ， 设点 G 的坐标为 (m ， 1 3 m 2 2 3 m 8) ， 经判断 m 0 ， 则 GN MP 1 3 m 2 2 3 m 8 ， EM
13、EP MP 8 ( 1 3 m 2 2 3 m 8) 1 3 m 2 2 3 m.MG PN PO ON 2 m ， 则 为 1 3 m 2 2 3 m 4 2 m 8 ， 解得 m 2 3 2 ， m 2 2( 舍去 ) 当 m 3 2 时 ， 1 3 m 2 2 3 m 8 25 4 . 点 G 1 的坐标为 ( 3 2 ， 25 4 ) ； . 如图 ， 当 EAG 90 ， 即 NAG EAP 90 时 ， 又 AEP EAP 90 ， NAG AEP ， 又 APE GNA 90 ， GNA APE ， GN AP AN EP ， 设点 G 的坐标为 (n ， 1 3 n 2 2 3 n 8) 经判断 n0 ， 1 3 n 2 2 3 n 80 ， 则 GN 1 3 n 2 2 3 n 8.AN AO ON 6 n ， 则 为 1 3 n 2 2 3 n 8 4 6 n 8 . 解得 n 11 2 ， n 6( 舍去 ) ， 当 n 11 2 时 ， 1 3 n 2 2 3 n 8 23 4 . 点 G 2 的坐标为 ( 11 2 ， 23 4 ) . 经判断 ， 抛物线上不存在点 G 使得 AGE 90 . 符合条件的点 G 坐标为 G 1 ( 3 2 ， 25 4 ) ， G 2 ( 11 2 ， 23 4 )
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