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1、数学 题型三 几何应用问题 山西专用 几何应用问题指的是相似三角形的实际问题和锐角三角形的实际应用问 题 ， 在山西中考解答题中多以锐角三角形函数的实际应用命题 ， 考查背 景有倾斜角 、 坡度 、 俯仰角等 ， 以实际问题中的物体为背景将测量问题 通过建立模型将其转化为数学中的解直角三角形的问题进行求解 【例 1 】 如图 ， 在一次军事演习中 ， 蓝方在一条东西走向的公路上的 A 处朝正南方向撤退 ， 红方在公路上的 B 处沿南偏西 62 方向前进实施 拦截 红方行驶 1000 米到达 C 处后 ， 因前方无法通行 ， 红方决定调整 方向 ， 再朝南偏西 45 方向前进了相同的距离 ， 刚
2、好在 D 处成功拦截 蓝方 ， 求拦截点 D 处到公路的距离 ( 结果精确到 1 m ) ( 参考数据： sin 28 0.4 7 ， c os 28 0.88 ， tan 28 0.5 3 ， 2 1.4 1 ， 3 1.73 ) 【 分析 】 求点 D到公路的距离 ， 即 AD的长 ， 过 C分别作 CF AD、 CE AB交于点 F、 E， 根据解直角三角形 ， 在 Rt CDF中 ， 求出 FD， 根 据 EC AF， AD AF FD即可求解 解：如图 ， 过点 C 分别作 CE AB 于点 E ， CF AD 于点 F. 在 Rt BCE 中 ， BC 1000 米 ， CB E
3、28 ， CE BC sin 28 1000 0.47 470 ， AF 470 米 在 Rt CD F 中 ， CD 1000 米 ， DCF 45 ， DF CD sin DCF 1000 2 2 705 ( 米 ) ， AD AF DF 470 705 1 17 5 ( 米 ) 拦截点 D 处到公路的距离约为 1 175 米 【 方法指导 】 对于与直角三角形有关的实际应用问题 ， 可根据以下 步骤求解： 审题：通读题干 ， 结合图形 ， 在图中找出与题干相吻合的已知条件 ， 弄明白哪些是已知量 ， 哪些是未知量； 构造直角三角形：将已知条件转化为示意图中的边角关系 ， 再结合 问题 ，
4、 把所求的量转化到与已知条件相结合的直角三角形中 ， 若不能在 图中体现 ， 则需添加适当的辅助线将其结合； 列关系式：在直角三角形中选择适当的三角函数关系式进行求解； 检验：解题完毕后 ， 可能会存在一些较为特殊的数据 ， 例如含有复 杂的小数等 因此 ， 要特别注意所求数据是否符合实际意义 ， 同时还要 注意题目中对结果的精确度有无要求 对应训练 1 ( 20 16 邵阳 ) 图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图 ， 灯臂 AO 长 为 40 cm ， 与水平面所形成的夹角 OAM 为 75 ， 由光源 O 射出的边 缘光线 OC ， OB 与水平面所形成的夹角 OCA ， O BA 分
5、别为 90 和 30 ， 求该台灯照亮水平面的宽度 BC ( 不考虑其他因素 ， 结果精确到 0.1 cm ， 温馨提示： sin 75 0.9 7 ， c os 7 5 0.2 6 ， 3 1.73 ) ( 导学号 02 0526 97 ) 解：在直角三角形 ACO 中 ， sin 75 OC OA OC 40 0.9 7 ， 解得 OC 38. 8 ， 在 Rt BCO 中 ， tan 30 OC BC 38.8 BC 1.73 3 ， 解得 BC 67. 3. 答：该台灯照亮水平面的宽度 BC 大约是 67.3 cm 2 (2016舟山 )太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一 老张准备把
6、 自家屋顶改建成光伏瓦面 ， 改建前屋顶截面 ABC如图 所示 ， BC 10 米 ， ABC ACB 36 ， 改建后顶点 D在 BA的延长线上 ， 且 BDC 90 ， 求改建后南屋面边沿增加部分 AD的长 (结果精确到 0.1米 ) (参考数据： sin18 0.31， cos18 0.95， tan18 0.32， sin36 0.59， cos36 0.81， tan36 0.73) (导学号 02052698) 解： B DC 90 ， BC 10 ， sin B CD BC ， CD BC si n B 10 0.5 9 5.9 ， 在 Rt BC D 中 ， BCD 90 B
7、90 36 54 ， AC D BCD ACB 54 36 18 ， 在 Rt AC D 中 ， tan A CD AD CD ， AD CD tan ACD 5.9 0.3 2 1.888 1.9 ( 米 ) ， 改建后南层面边沿增加部分 AD 的长约为 1. 9 米 3 ( 2016 营口 ) 某居民楼紧挨一座山坡 AB ， 经过地质人员勘测 ， 当坡度 不超过 45 时 ， 可以确保山体不滑坡 ， 如图所示 ， 已知 AE BD ， 斜坡 AB 的坡角 ABD 60 ， 为防止滑坡 ， 现对山坡进行改造 ， 改造后 ， 斜坡 BC 与地面 BD 成 45 角 ， AC 20 米 求斜坡
8、BC 的长是多少米？ ( 结果精确到 0.1 米 ， 参考数据： 2 1.41 ， 3 1.7 3 ) ( 导学号 02 0526 99 ) 解：如图 ， 作 AM BD 于点 M ， 作 CN BD 于点 N ， AB D 60 ， CBD 45 ， BN CN tan 45 ， BM AM tan 60 ， BC CN sin 45 ， CN AM ， AC BN BM ， AC 20 米 ， BC 20 1 tan 45 1 tan 60 sin 45 66. 6 米 ， 答：斜坡 BC 的长约是 66. 6 米 4.(2016资阳 )如图 ， “ 中国海监 50” 正在南海海域 A处巡
9、逻 ， 岛礁 B上的 中国海军发现点 A在点 B的正西方向上 ， 岛礁 C上的中国海军发现点 A在 点 C的南偏东 30 方向上 ， 已知点 C在点 B的北偏西 60 方向上 ， 且 B、 C 两地相距 120海里 . (1)求出此时点 A到岛礁 C的距离； (2)若 “ 中海监 50” 从 A处沿 AC方向向岛礁 C驶去 ， 当到达点 A时 ， 测得 点 B在 A的南偏东 75 的方向上 ， 求此时 “ 中国海监 50” 的航行距离 ( 注：结果保留根号 ) (导学号 02052700) 解： ( 1 ) 如图 ， 过点 C 作 CD BA 交 BA 延长线于点 D ， 由题意可得： CBD
10、 30 ， BC 120 ， 则 DC 60 ， 在 Rt AC D 中 ， cos 30 DC AC 60 AC 3 2 ， 解得： AC 40 3 ， 答：点 A 到岛礁 C 的距离为 40 3 海里； (2) 如图 ， 过点 A 作 A N BC 于点 N ， 可得 1 30 ， BA A 45 ， A N AE ， 则 2 15 ， 即 AB 平分 CBA ， 设 AA x ， 则 AE 3 2 x ， 故 CA 2AN 2AE 2 3 2 x 3 x ， 3 x x 40 3 ， 解得 ： x 60 20 3 . 答：此时 “ 中国海监 50 ” 的航行距离为 (60 20 3 )
11、海里 5 如图 ， 要在宽为 22米的大道两边安装路灯 ， 路灯的灯臂 CD长 2米 ， 且与灯柱 BC成 120 角 ， 路灯采用圆锥形灯罩 ， 灯罩的轴线 DO与灯臂 CD垂直 ， 当灯罩的轴线 DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳 ， 求 路灯的灯柱 BC高度 (导学号 02052701) 解：如图 ， 延长 OD 、 BC 交于点 P. O DC B 90 ， P 30 ， OB 11 米 ， CD 2 米 ， 在直角 CPD 中 ， DP DC tan 30 2 3 ， PC CD sin 30 4 米 ， P P ， PD C B 90 ， P DC PBO ， PD PB CD
12、 OB ， PB PD OB CD 2 3 11 2 11 3 米 ， BC PB PC ( 11 3 4 ) 米 答：路灯的灯柱高度为 ( 11 3 4 ) 米 6.在 “ 测量物体高度 ” 的活动中 ， 三个小组分别选择测量学校里不同的 三棵树的高度 ， 在同一时刻的阳光下 ， 他们分别采集到如下数据： A小组：测得一根长为 1米的竹竿的影长为 0.8米 ， 甲树的影长为 4米 . B小组：如图 ， 乙树 AB的影子不全落在地面上 ， 有一部分影子落在教 学楼的墙壁上 ， 测得墙壁上的影长 CD 1.2米 ， 落在地面上的影长 AC 2.4米 . C小组：如图 ， 丙树 OP的影子除落在地
13、面上外 ， 还有一部分落在一个 斜坡上 ， 测得落在地面上的影长 OQ 2米 ， 斜坡上的影长 QR 4米 ， 且 OQR 150 . 根据以上信息分别求甲 、 乙 、 丙三棵树的高 (根式运算的结果保留根 号 ) (导学号 02052702) 解： A 小组： 一根长为 1 米的竹竿的影长为 0.8 米 ， 甲树的影长为 4 米 ， 设甲树长为 x 米 ， 1 0.8 x 4 ， x 4 0.8 5( 米 ) ， 答：甲树的高度为 5 米； B 小组：如图 ， 过点 D 作 DM AB 于点 M ， 由题意可得： 1 0.8 BM 2.4 ， 解得： BM 3 ， 3 1.2 4.2( 米
14、) ， 答：甲树的高度为 4.2 米； C 小组：如图 ， 延长 OQ ， 过点 R 作 RN OQ 于点 N ， QR 4 米 ， O QR 150 ， N QR 30 ， 则 QN QR co s 30 2 3 米 ， 故 1 0.8 OP 2 2 3 ， 解得： OP 5 5 3 2 米 ， 答：丙树的高为 5 5 3 2 米 7 ( 2016 达州 ) 如图 ， 在一条笔直的东西向海岸线 l 上有一长为 1.5 km 的 码头 MN 和灯塔 C ， 灯塔 C 距码头的东端 N 有 20 km . 轮船以 36 km / h 的 速度航行 ， 上午 10 00 在 A 处测得灯塔 C 位
15、于轮船的北偏西 30 方向 ， 上午 10 40 在 B 处测得灯塔 C 位于轮船的北偏东 60 方向 ， 且与灯塔 C 相距 12 km . (1) 若轮船照此速度与航向航行 ， 何时到达海岸线？ (2) 若轮船不改变航向 ， 该轮船能否停靠在码头？请说明理由 ( 参考数据： 2 1.4 ， 3 1.7 ) ( 导学号 02 052 703) 解： ( 1) 延长 AB 交海岸线 l 于点 D ， 过点 B 作 BE 海岸线 l 于点 E ， 过 点 A 作 AF l 于 F ， 如图 ， BEC AF C 90 ， EBC 60 ， CAF 30 ， ECB 30 ， ACF 60 ， BCA 90 ， BC 12 ， AB 36 40 60 24 ， AB 2B C ， BAC 30 ， ABC 60 ， ABC BDC BCD 60 ， BDC BCD 30 ， BD BC 12 ， 时间 t s v 12 36 1 3 小时 20 分钟 ， 轮船照此速度与航向航行 ， 上午 11 ： 00 到达海岸线； ( 2 ) BD BC ， BE CD ， DE EC ， 在 Rt B EC 中 ， BC 12 ， BCE 30 ， BE 6 ， EC 6 3 1 0.2 ， CD 20.4 ， 20 20.4 21.5 ， 轮船不改变航向 ， 轮船可以停靠在码头
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