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1、第四章 三角形 第五节 相似三角形（含位似） 考点精讲 相似三角形 （含位似） 比例线段 相似图形 相似三角形的判定与性质 图形的位似 比 例 线 段 线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比 性质 黄金分割：一般地，点 C把线段 AB分成两条线段 AC 和 BC，如果 , 那么称线段 AB被点 C黄金 分割，点 C叫做线段 AB的黄金分割点， AC和 AB的比 叫做黄金比（ 或 AC0.618AB） A C B C A B A C 15 2 AC AB 性质 1.如果 ，那么 _=bc 2.如果 ，那么 = _ ac bd ac bd ab b cdd ad 相似图形 相似图形的概念： _
2、而大小不一定 相同的图形叫做相似图形 相似多边形 形状相同 相 似 多 边 形 1.定义：各角对应 _，各边对应 _的 两个多边形叫做相似多边形 .相似多边形 _的 比叫做相似比 2.性质 相似多边形的对应角 _，对应边 _ 相似多边形的周长比等于 _，面积比等于 _ 相似比的平方 相等 成比例 对应边 相等 成比例 相似比 相似三角形的判定与性质 判定 性质 基本类型 判定 一般三角形 直角三角形 判定思路 一般三角形 1.两角对应相等，两三角形相似 2.两边对应成比例，且 _相等，两三 角形相似 3.三边对应成比例，且比例相同，两三角形 相似 夹角 11 直角三角形 1.一组锐角对应相等
3、2.两条边对应成比例 两直角边对应成比例 斜边和一直角边对应成比例 判定思路 有平行截线，用平行线的性质，找等角 有一对等角，找另一对等角或该角的两边对应 成比例 有两边对应成比例，找夹角相等或第三边也 _或有一对直角 直角三角形，找一对锐角相等或两条边对应成 比例 等腰三角形，找顶角相等或一对 _相等 或底和腰对应成比例 对应成比例 底角 12 13 性质 1.相似三角形对应角 _，对应边成比例 2.相似三角形的对应线段（边、高、 _、 角平分线）成比例 3.相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于 _ 相似比的平方 相等 中线 15 16 14 基 本 类 型 已知 BC DE 已知 1=
4、 B 已知 1= B A型图 已知 AD是 Rt ABC斜边 上的高 已知 AB DE 已知 A= D X型图 母子型图 图 形 的 位 似 定义：如果两个图形不仅 _，而且对应顶点的连 线相交于一点，对应边互相 _，像这样的两个图 形叫做 _；这个点叫做 _,我们 就说这两个图形关于这点位似 性质 利用位似将一个图形放大或缩小的步骤 1.两个图形必须是相似图形 2.对应点的连线都经过同一点 3.对应边平行 位似中心 相似 平行 位似图形 18 19 17 20 利用位似将一个图形 放大或缩小的步骤 1.确定位似中心； 2.确定原图形中的顶点关于位似中心的 对应点； 3.描出新图形 重难点突破
5、 相似三角形的判定与计算 例 如图，在 ABC中， AC BC， D是 BC延长线上的 一点， E是 AC上的一点，连接 ED， A= D. （ 1）求证： ABC DEC； （ 2）若 AC=3， AE=1， BC=4，求 DE长 . 例题图 【 思维教练 】 （ 1）要证 ABC DEC， A= D已知 , 由 AC BC得到 ACB= DCE=90 ，根据两角对应相等 , 即可证得两个三角形相似； （ 2）要求 DE的长，观察图形可知， DE在 Rt CDE中， 由（ 1）知 ABC DEC， AC， AE， BC的长已知，由 AC， AE容易求出 CE的长，根据勾 股定理求得 AB，所
6、以可列比例关系 ， DE即可求解 . AB BCD E CE 例题图 （ 1） 证明 ： AC BC， ACB= DCE=90 ， 又 A= D， ABC DEC； 例题图 （ 2） 解 ： AC=3, AE=1, BC=4， CE=2, AB= =5, ABC DEC， ，即 , DE = . 22A C B C AB BC D E CE 54 2DE 5 2 【 拓展 1】 （ 2016杭州 ）如图，在 ABC中，点 D、 E分 别在边 AB， AC上， AED = B，射线 AG分别交线段 DE， BC于点 F， G，且 . （ 1）求证： ADF ACG; （ 2）若 ，求 的值 .
7、A D D F A C C G 1 2 AD AC AF FG （ 1） 证明 ： AED= B DAE= DAE， ADF= C， 又 ， ADF ACG； A D D F A C C G 拓展 1题图 （ 2） 解 ： ADF ACG， ， 又 ， ， =1. A D A F A C A G 1 2 AD AC 1 2 AF AG AF FG 拓展 1题图 【 拓展 2】 如图，在 ABCD中， E是 CD的延长线上一点， BE与 AD交于点 F， DE CD. （ 1）求证： ABF CEB； （ 2）若 DEF的面积为 2，求 ABCD的面积 . 1 2 （ 1）证明： 四边形 ABC
8、D是平行四边形 , A= C， AB CD， ABF= E， ABF CEB； 拓展 2题图 （ 2） 解 ： 四边形 ABCD是平行四边形， AD BC, AB CD， DEF CEB, DEF ABF, DE = CD， ， ， , , 1 2 1 3 DE CE 1 2 DE AB 拓展 2题图 2 1 9 DE F CEB S DE S C E （ ） 2 14DE F ABF S DE S A B （ ） S DEF = 2， S CEB = 18， S ABF = 8， S四边形 BCDF = S CEB -S DEF = 18-2=16， S四边形 ABCD = S四边形 BCDF +S ABF = 16+8 = 24. 拓展 2题图
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