期末复习（4）--周期性(教育精品)

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1、高一数学期末复习（4）-函数周期性及性质综合一、知识梳理：1、函数的周期性定义；性质；方法2、常见结论： 3、常见函数：分段函数；绝对值函数；抽象函数4、函数的对称性5、函数性质综合二、自我检测1.若函数y=f(x)是周期为2的奇函数，且当x(0,1)时f(x)=x+1，则f()= 2.是偶函数，且为奇函数，则f(1992)= 3.f（x）是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（）= 4.定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是，且当x0，时，f（x）=sinx，则f（）= 5.设f(x)定义在R上的偶函数，且，又当x(0，3时，f(x)=2x，则f(2

2、007)= 三、典型例题：例题1、已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。例题2、设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有.求：(I)设，求； (II)证明是周期函数.例题3、设函数在上满足，且在闭区间0，7上，只有（）试判断函数的奇偶性；（）试求方程=0在闭区间-2005，2005上的根的个数，并证明你的结论例题4、已知函数f（x）=m（x+）的图象与函数h（x）=（x+）+2的图象关于点A（0，1）对称.（1）求m的值；（2）若g（x）=f（x）+在区间（0，2上为减函数，求实数a的取值范围.四、课堂练习1.定

3、义在R上的奇函数满足，则= 2. 已知y=f(2x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是 3.函数对于任意实数满足条件,若f(1)=5,则f(f(5)=_. 4设f(x)是R的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0x1,时,f(x)=x,则f(7.5)= 5.已知函数满足：，则 。五、课后作业1.设函数f（x）=则使得f（x）1的x的取值范围为 2已知函数f（x）=则f（lg30lg3）=_；不等式xf（x1）10的解集是_3.已知函数f(x)是偶函数，且等式f(4+x)f(4-x)，对一切实数x成立，写出f(x)的一个最小正周期 4.对任意xR，f(x)=f(x-1)+f(x+

4、1)且f(0)=6,f(4)=3,则f(69)= 5、f(x)的定义域是R，且f(x+2)1-f(x)=1+f(x),若f(0)=2008,求f(2008)= 6、设函数,方程f(x)x+a有且只有两相不等实数根，则实数a的取值范围为 7、已知，设函数的最大值为，最小值为，那么 8.已知函数f(x)=|x22x3|的图象与直线y=a有且仅有3个交点，则a= 。 9若x、yR，且x2+y2=1，则（1xy）(1+xy)的最小值是_，最大值是_ .10.已知函数对一切，都有，求证:（1）是奇函数；（2）若f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(x)恒等于0.11.已知9x103x+90，求函数y=

5、（）x14（）x+2的最大值和最小值.六、小结与反思高一数学期末复习（4）-函数周期性及性质综合一、知识梳理：1.函数的周期性定义与性质：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。周期函数定义域必是无界的；若T是周期，则kT（k0,kZ）也是周期；周期函数并非所都有最小正周期。如常函数f(x)=C； 方法：判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的恒有; 二是能找到适合这一等式的非零常数，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决

6、的问题的特征来进行赋值。2、常见结论：几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）, ，则是以为周期的周期函数； ，则是以为周期的周期函数；，则是以为周期的周期函数； ，则是以为周期的周期函数；，则是以为周期的周期函数.，则是以为周期的周期函数.，则是以为周期的周期函数.函数满足（），若为奇函数，则其周期为，若为偶函数，则其周期为.函数的图象关于直线和都对称，则函数是以为周期的周期函数；函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数；3、常见函数：分段函数；绝对值函数；抽象函数没有给出函数解析

7、式，只是给出函数所满足的一些性质4、函数的对称性5、函数性质综合二、自我检测1.若函数y=f(x)是周期为2的奇函数，且当x(0,1)时f(x)=x+1，则f()的值为 -5 2.是偶函数，且为奇函数，则f(1992)= 993；因（-1，0）是中心，x=0是对称轴，则周期是43.f（x）是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（）= 0由f（）=f（+T）=f（）=f（），知f（）=0.4.定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是，且当x0，时，f（x）=sinx，则f（）的值为 f（）=f（2）=f（）=f（）=sin=.5.设f(x)定义在R上的偶函

8、数，且，又当x(0，3时，f(x)=2x，则f(2007)= 。 ，周期T=6， F(2007)=f(3)=6三、典型例题：例题1、已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。解法1：（从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。） x(1,2), 则-x(-2,-1), 2-x(0,1), T=2,是偶函数 f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x. x(1,2).解法2（从图象入手也可解决，且较直观）f(x)=f(x+2)如图：x(0,1), f(x)=x+1.是偶函数x(-1,0)

9、时f(x)=f(-x)=-x+1. 又周期为2， x(1,2)时x-2（-1，0）f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x.提炼方法：1.解题体现了化归转化的思想,即把未知的(1,2)上向已知的(0,1)上转化;2.用好数形结合,对解题很有帮助.例题2、设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有. (I)设，求； (II)证明是周期函数.解(1):当x0,1/2时,; 同理(2)是偶函数则(-x)=f(x),关于x=1对称则有f(x)=f(2-x)f(x)=f(2-x)=f(x-2), f(x)周期为2.例题3、设函数在上满足，且在闭区间0，7上，只有（）试判断函数的奇偶性

10、；（）试求方程=0在闭区间-2005，2005上的根的个数，并证明你的结论解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(II)由(II) 又故f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解,从而可知函数在0,2005上有402个解,在-2005.0上有400个解,所以函数在-2005,2005上有802个解.例题4、已知函数f（x）=m（x+）的图象与函数h（x）=（x+）+2的图象关于点A（0，1）对称.（1）求m的值；（2）若g（x）=f（x）+在区间（0，2上为减函数，求实数a的取值范围

11、.解：（1）设P（x，y）为函数h（x）图象上一点，点P关于A的对称点为Q（x，y），则有x=x，且y=2y.点Q（x，y）在f（x）=m（x+）上，y=m（x+）.将x、y代入，得2y=m（x）.整理，得y=m（x+）+2.m=.（2）g（x）=（x+），设x1、x2（0，2，且x1x2，则g（x1）g（x2）=（x1x2）0对一切x1、x2（0，2恒成立.x1x2（1+a）0对一切x1、x2（0，2恒成立.由1+ax1x2，而x1x24a3.四、课堂练习1.定义在R上的奇函数满足，则= 0 2. 已知y=f(2x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是 x=f(2x+1)关于x

12、=0对称,则f(x)关于x=1对称,故f(2x)关于2x=1对称3.函数对于任意实数满足条件,若f(1)=5,则f(f(5)=_. , 周期是4 4设f(x)是R的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0x1,时,f(x)=x,则f(7.5)= 0.55.已知函数满足：，则 。由已知：=2，,原式=16五、课后作业1.设函数f（x）=则使得f（x）1的x的取值范围为 （，20，102已知函数f（x）=则f（lg30lg3）=_；不等式xf（x1）10的解集是_.f（lg30lg3）=f（lg10）=f（1）=2， f（x1）=当x3时，x（x3）102x5，故3x5.当x3时，2x10x5，故5

13、x3.解集 x|5x53.已知函数f(x)是偶函数，且等式f(4+x)f(4-x)，对一切实数x成立，写出f(x)的一个最小正周期 84.对任意xR，f(x)=f(x-1)+f(x+1)且f(0)=6,f(4)=3,则f(69)= f(x-1)=f(x)-f(x+1),f(x)=f(x+1)-f(x+2)=f(x+2)-f(x+3)-f(x+2)= -f(x+3)f(x)= -f(x+3)=f(x+6) .周期是6；f(69)=f(3)=f(-3)= -f(-3+3)= -65.f(x)的定义域是R，且f(x+2)1-f(x)=1+f(x),若f(0)=2008,求f(2008)的值。解：周期

14、为8，法二：依次计算f(2、4、6、8)知周期为8，须再验证。6、设函数,方程f(x)x+a有且只有两相不等实数根，则实数a的取值范围为 .7已知，设函数的最大值为，最小值为，那么 4016 8.已知函数f(x)=|x22x3|的图象与直线y=a有且仅有3个交点，则a= 。 由图象易知a=4。9若x、yR，且x2+y2=1，则（1xy）(1+xy)的最小值是_，最大值是_ .三角代换,令x=cos,y=sin.答案:3/4, 1;10.已知函数对一切，都有，求证:（1）是奇函数；（2）若f(x)的图象关于直线x=1对称,则f(x)恒等于0.解：（1）在中，令，得，令，得，即， 是奇函数（2）f

15、(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x).且f(0)=0图象关于直线x=1对称,即点(x,y),(2-x,y)同在曲线上,有f(2-x)=f(x)，且f(2)=f(0)=0 又已知f(x+y)=f(x)+f(y)f(x)= f(2-x)=f(2)+f(-x)=f(2)-f(x)2f(x)=f(2)=0即f(x)0.方法提炼：赋值法赋值的目的要明确，本题就是要凑出f(0),f (-x)与f(x)的关系；领会函数式变换的依据、目的和策略的灵活性。11.已知9x103x+90，求函数y=（）x14（）x+2的最大值和最小值.解：由9x103x+90得（3x1）（3x9）0，解得13x9.0x2.令（）x=t，则t1，y=4t24t+2=4（t）2+1.当t=即x=1时，ymin=1；当t=1即x=0时，ymax=2.方法提炼 1.由不等式求x的范围;2.换元法转化为地次函数的闭区间上的最值问题.六、小结与反思