人教版初中数学第二十二章二次函数知识点汇总

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1、第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数1二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数. 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零二次函数的定义域是全体实数2. 二次函数的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项22.1.2 二次函数的图象和性质1. 二次函数基本形式：的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值

2、例1若抛物线y=ax2经过P（1，2），则它也经过 ( )A（2，1） B（1，2） C（1，2） D（1，2）【答案】【解析】试题解析：抛物线y=ax2经过点P（1，-2），x=-1时的函数值也是-2，即它也经过点（-1，-2）故选D考点：二次函数图象上点的坐标特征例2若点(2，-1)在抛物线上，那么，当x=2时，y=_【答案】-1【解析】试题分析：先把(2，-1)直接代入即可得到解析式，再把x=2代入即可.由题意得，则，当时，考点：本题考查的是二次函数点评：解答本题的关键是掌握二次函数图象上的点适合这个二次函数的关系式.2. 的性质：上加下减.的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上轴时，随的

3、增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下轴时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值例1若抛物线y=ax2+c经过点P （l，2），则它也经过 （ ）AP1（1，2 ） BP2（l， 2 ） CP3（ l， 2） DP4（2， 1）【答案】A【解析】试题分析：因为抛物线y=ax2+c经过点P （l，2），且对称轴是y轴，所以点P （l，2）的对称点是（1，2），所以P1（1，2）在抛物线上，故选：A.考点：抛物线的性质.例2已知函数y=ax+b经过（1，3），（0，2），则ab=（ ）A1 B3 C3 D7【答案】D【解析】试题分析：函数y=ax+b经过（1，3），（0，2）

4、，解得ab=5+2=7故选D考点：1直线上点的坐标与方程的关系；2求代数式的值例3两条直线y1axb与y2bxa在同一坐标系中的图象可能是下图中的 ( ) 【答案】无正确答案【解析】分析：首先根据两个一次函数的图象，分别考虑a，b的值，看看是否矛盾即可解：A、由y1的图象可知，a0，b0；由y2的图象可知，a0，b0，两结论矛盾，故错误；B、由y1的图象可知，a0，b0；由y2的图象可知，a0，b0，b0；由y2的图象可知，a0，b0，两结论相矛盾，故错误；D、由y1的图象可知，a0，b0；由y2的图象可知，a0，b0，两结论相矛盾，故错误故无正确答案点评：此题主要考查了一次函数的图象性质，要

5、掌握它的性质才能灵活解题一次函数y=kx+b的图象有四种情况：当k0，b0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；当k0，b0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；当k0，b0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；当k0，b0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限22.1.3 二次函数的图象和性质左加右减.的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值 的性质：的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上X=h时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值

6、向下X=h时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值例1将二次函数y=x22x3化成y=（xh）2+k形式，则h+k结果为（）A5 B5 C3 D3【答案】D【解析】试题分析：y=x2-2x-3=（x2-2x+1）-1-3=（x-1） 2-4则h=1，k=-4，h+k=-3故选D考点: 二次函数的三种形式例2把二次函数y=x2+6x+4配方成y=a（x-h）2+k的形式，得y=_，它的顶点坐标是_【答案】（x+3）2-5，（-3，-5）【解析】试题分析：y=+6x+4=，则顶点坐标为（3，5）考点：二次函数的顶点式例3把二次函数配方成ya（xk）2h的形式，并写出它的图象的顶点坐标、

7、对称轴.【答案】y= 顶点坐标（3，-），对称轴方程x3【解析】试题分析：y=x23x+4=（x3）2，则顶点坐标（3，），对称轴方程x=3，考点：二次函数的图像及性质1、二次函数图象的平移（1）平移步骤：方法一：（1）将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；（2）保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： （2）平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二：（1）沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）（2）沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）例1将二次函数yx2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二

8、次函数的解析式为()Ayx21 Byx21Cy(x1)2 Dy(x1)2【答案】A【解析】直接根据上加下减的原则进行解答即可，将二次函数yx2的图象向下平移一个单位，则平移以后的二次函数的解析式为：yx21.故选A.例2将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是Ay=(x1)2+2 By=(x+1)2+2Cy=(x1)22 Dy=(x+1)22【答案】A【解析】试题分析：原抛物线的顶点为（0，0），向右平移1个单位，再向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（1，2）可设新抛物线的解析式为y=（xh）2+k，代入得y=（x1）2+2故选A考点：二次函数

9、图象与几何变换例3将二次函数的图象如何平移可得到的图象（ ）A向右平移2个单位，向上平移一个单位B向右平移2个单位，向下平移一个单位C向左平移2个单位，向下平移一个单位D向左平移2个单位，向上平移一个单位【答案】C【解析】，根据二次函数的平移性质得：向左平移2个单位，向下平移一个单位.故选C.例4已知点P（1，m）在二次函数y=x21的图象上，则m的值为 ；平移此二次函数的图象，使点P与坐标原点重合，则平移后的函数图象所对应的解析式为 【答案】0，y=x22x【解析】点P（1，m）在二次函数y=x21的图象上，（1）21=m，解得m=0，平移方法为向右平移1个单位，平移后的抛物线的二次函数的顶

10、点坐标为（1，1），平移后的函数图象所对应的解析式为y=（x1）21=x22x，即y=x22x故答案为：0，y=x22x2、二次函数与的比较从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中3、二次函数图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.4、二次函数的性质 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴

11、为，顶点坐标为当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值例1当a 0 时，方程ax2+bx+c=0无实数根，则二次函数y=ax2+bx+c的图像一定在 （ ）A、x轴上方 B、x轴下方 C、y轴右侧 D、y轴左侧【答案】B【解析】试题分析：方程ax2+bx+c=0无实数根，b2+4ac0，即函数图形与x轴没有交点又a 0，二次函数y=ax2+bx+c的图像一定在x轴下方故选B考点：二次函数的性质例2已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则a、b、c满足 （ ）A、a

12、0，b0，c0 B、a0，b0，c0C、a0，b0，c0 D、a0，b0，c0【答案】A【解析】试题分析：由于开口向下可以判断a0，由与y轴交于正半轴得到c0，又由于对称轴x=-0，可以得到b0，所以可以找到结果试题解析：根据二次函数图象的性质，开口向下，a0，与y轴交于正半轴，c0，又对称轴x=-0，b0，所以A正确考点：二次函数图象与系数的关系例3已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=1，给出下列结果：b24ac；abc0；2a+b=0；a+b+c0；ab+c0，则正确的结论是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：根据抛物线与x轴有两个交点，可得=b24

13、ac0，即b24ac，故正确；根据抛物线对称轴为x=0，与y轴交于负半轴，因此可知ab0，c0，abc0，故错误；根据抛物线对称轴为x=1，2ab=0，故错误；当x=1时，y0，即a+b+c0，故正确；当x=1时，y0，即ab+c0，故正确；正确的是故选D考点：二次函数图象与系数的关系例4如果二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，那么（ ）Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0 Ca0，b0，c0 Da0，b0，c0【答案】D【解析】试题分析：因为抛物线开口向上，所以a0，又对称轴在y轴右侧，所以0，所以b0，又因为抛物线与y轴的交点在x轴下方，所以c0，所以a0，b0，c0，故选

14、：D考点：抛物线的性质例5已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线 【答案】x=-1【解析】试题分析：因为点（-4，0）和（2，0）的纵坐标都为0，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x=求解即可试题解析：抛物线与x轴的交点为（-4，0），（2，0），两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线x=，即x=-1考点：抛物线与x轴的交点5、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：（，为常数，）；2. 顶点式：（，为常数，）；3. 两根式：（，是抛物线与轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，

15、但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.6、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数二次函数中，作为二次项系数，显然 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小2. 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴 在的前提下，当时，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴

16、的右侧 在的前提下，结论刚好与上述相反，即当时，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，即抛物线的对称轴就是轴；当时，即抛物线对称轴在轴的左侧总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，概括的说就是“左同右异”总结： 3. 常数项 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析

17、式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式7、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 2. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 3. 关于原点

18、对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180） 关于顶点对称后，得到的解析式是；关于顶点对称后，得到的解析式是 5. 关于点对称 关于点对称后，得到的解析式是根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式22.2二次函数与一元二次方程1. 二次函数与一元二次方程的关系（二

19、次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数： 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根这两点间的距离. 当时，图象与轴只有一个交点； 当时，图象与轴没有交点. 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有 2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，； 3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断图象的位置，要数形结

20、合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.例1已知函数（为常数）的图象经过点A（08，），B（11，），C（，），则有（ ）A BC D【答案】C【解析】试题分

21、析：因为函数的对称轴是，且抛物线开口向上，所以可以画出函数图象的草图，观察图象可得：，故选：C考点：二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特点例2已知二次函数y=x22mx2，当x2时，y的值随x的增大而增大，则实数m的取值范围是 .【答案】m-2【解析】 试题分析：根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于2列式计算即可得解试题解析：抛物线的对称轴为直线x=-=-m，当x2时，y的值随x值的增大而增大，-m2，解得m-2考点：二次函数的性质例3函数的图象经过点（1，2），则b-c的值为 【答案】1【解析】试题分析：把点（1，2）代入，得：，所以.考点：函数图象上的点.例4已知抛物线y=a

22、x2+bx+3的对称轴是直线x=1（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x的方程ax2+bx8=0的一个根为4，求方程的另一个根【答案】（1）见解析；（2）x=2【解析】试题分析：直接利用对称轴公式代入求出即可；根据（1）中所求，再将x=4代入方程求出a，b的值，进而解方程得出即可试题解析：（1）证明：对称轴是直线x=1=，b=2a 2a+b=0；（2）ax2+bx8=0的一个根为4，16a+4b8=0，b=2a，16a8a8=0，解得：a=1，则b=2，a+bx8=0为：2x8=0，则（x4）（x+2）=0，解得：=4，=2，故方程的另一个根为：2考点：二次函数的性质；二次函数图象与系数的关

23、系；抛物线与x轴的交点例5已知函数的图象经过点（3，2）（1）求这个函数的解析式；（2）当时，求使的x的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）把（3，2）代入函数解析式求出b的值，即可确定出解析式；（2）利用二次函数的性质求出满足题意x的范围即可试题解析：（1）函数的图象经过点（3，2），解得：，则函数解析式为：；（2）当时，根据二次函数性质当时，则当时，使的x的取值范围是考点：待定系数法求二次函数解析式22.3 实际问题与二次函数例1在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+8x+b的图象可能是（ ）【答案】C【解析】试题分析：A、对于一次函数a0，对于二次函数a0，则不正确；B、对于一次函数b0，对于二次函数b0，则不正确；C、正确；D、对于一次函数b0，对于二次函数b0，则不正确考点：函数图象例2学生校服原来每套的售价是100元，后经连续两次降价，现在的售价是81元，则平均每次降价的百分数是 （ ） A9% B85% C9 5% D10%【答案】D【解析】试题分析：设平均每次降价的百分数是x，根据等量关系“校服原来每套的售价是100元（1-下降率）2=每套校服现在的售价是81元”，列出方程100（1-x）2= 81元，解得x即可，故答案选D考点：一元二次方程的应用