用放缩法证明不等式的方法与技巧

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1、用放缩法证明不等式的方法与技巧一常用公式1 23( 4()5（待学） 6 （待学）二放缩技巧所谓放缩的技巧：即欲证，欲寻找一个（或多个）中间变量，使，由到叫做“放”，由到叫做“缩”.常用的放缩技巧（1）若（2） ，（3）（4）（5）若，则（6）（7）（因为）（7） 或（8）等等。三常见题型（一）先求和再放缩: 1设，求证：2设（），数列的前项和为，求证：（二）先放缩再求和:3证明不等式：4设（1）求证：当时，；（2）试探究：当时，是否有？说明理由.5设，求证：（1） （2）6设， 求证（1） （2）7 设， 求证: 8 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，

2、如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第个图的蜂巢总数.（1）试给出的值，并求的表达式（不要求证明）；（2）证明：.9（10广州）设为数列的前项和，对任意的N，都有为常数，且（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的公比，数列满足 ，N，求数列的通项公式；（3）在满足（2）的条件下，求证：数列的前项和10（010深圳）在单调递增数列中，且成等差数列，成等比数列，（1）分别计算，和，的值；（2）求数列的通项公式（将用表示）；（3）设数列的前项和为，证明：，2证： .3证明：2 4解：（1）当时， 又当时，.（2） 当时,要只需

3、 即需，显然这在时成立 而,当时 显然 即当时也成立综上所述：当时，有. 5证法一： .10分证法二：，下同证法一. 10分证法三：（利用对偶式）设，则.又，也即，所以，也即，又因为，所以.即 10分证法四：（数学归纳法）当时, ,命题成立; 假设时,命题成立,即, 则当时, 即即故当时，命题成立.综上可知，对一切非零自然数，不等式成立. 10分 由于，所以，从而.也即14分6 证明：（法一） 12分 （法二）（1）当，显然成立 5分 （2）假设时， 7分即当时，不等式成立，由（1）（2）可得原不等成立。12分6 证明：（法一） 12分 （法二）（1）当，显然成立 5分 （2）假设时， 7分即

4、当时，不等式成立，由（1）（2）可得原不等成立。12分7证明: 当时， 当时. 故 综上，原不等式成立 8解： 由于因此，当时，有所以.又，所以. （注：直接给出结果也给分）当时，. 所以. 9（1）证明：当时，解得 当时， 即为常数，且， 数列是首项为1，公比为的等比数列 （2）解：由（1）得， ， ，即 是首项为，公差为1的等差数列 ，即（N）（3）证明：由（2）知，则所以 ， 当时， 所以 10解：（1）由已知，得，. （2）（证法1），；，.猜想,， 以下用数学归纳法证明之当时，猜想成立；假设时，猜想成立，即,，那么,.时，猜想也成立由，根据数学归纳法原理，对任意的，猜想成立 当为奇数

5、时，；当为偶数时，即数列的通项公式为 （注：通项公式也可以写成）（证法2）令，则，从而（常数），又，故是首项为，公差为的等差数列，解之，得，即， ，从而（余同法1）（注：本小题解法中，也可以令，或令，余下解法与法2类似）（3）（法1）由（2），得显然，； 当为偶数时，； 当为奇数（）时，.综上所述， （解法2）由（2），得以下用数学归纳法证明，当时，；当时，时，不等式成立假设时，不等式成立，即，那么，当为奇数时，；当为偶数时， 时，不等式也成立由，根据数学归纳法原理，对任意的，不等式成立14例1已知数列a满足：a=1且.（1） 求数列a的通项公式；（2） 设mN，mn2，证明（a+）（m-n+

6、1） 分析：这是06年河北省高中数学竞赛的一道解答题（1）大家都知道数列的递推公式往往比通项公式还重要.这就引导我们要重视数列的递推公式由已知有a=,学生对形如, A，B是常数）形式的一次线性递推关系的数列通过构造新数列求通项公式的方法已不陌生，本题中的递推关系显然不是此类型.那么我们能否也可通过待定系数法构造新数列呢?不妨设即与比较系数得c=1.即又,故是首项为公比为的等比数列，故(2) 这一问是数列、二项式定理及不等式证明的综合问题.综合性较强.即证，当m=n时显然成立。易验证当且仅当m=n=2时，等号成立。设下面先研究其单调性。当n时，即数列是递减数列.因为n2，故只须证即证。事实上，故

7、上不等式成立。综上，原不等式成立。无独有偶，在不到1个月的06年全国一卷高考题22中恰出现了本例中构造数列求通项公式的模型。有兴趣的同学可找做一做。例2设数列满足（1） 求的通项公式；（2） 若求证：数列的前n项和分析：（1）此时我们不妨设即与已知条件式比较系数得又是首项为2，公比为2的等比数列。.（3） 由（1）知. 当时,当n=1时，=1也适合上式，所以，故方法一：，(这步难度较大,也较关键,后一式缩至常数不易想到.必须要有执果索因的分析才可推测出.) .方法二 :在数列中,简单尝试的方法也相当重要.很多学生做此题时想用裂项相消法但是发现此种处理达不到目的.但是当n3时,我们看:易验证当n

8、=1，2时 . 综上下面我们再举一个数列中利用放缩法证明不等式的问题.例3已知正项数列满足（1） 判断数列的单调性；（2） 求证：分析：（1），即 故数列为递增数列.(2) 不妨先证再证：原解答中放缩技巧太强，下面给出另一种证法.当时，.易验证当n=1时,上式也成立.综上,故有成立.例 4 已知 ,求证：分析 由可想到二项式系数的和为，由可想到二项式定理，利用放缩法把转化成构造出二项式定理公式，从而得出结论。证明 设且。对任意，有将上述各式叠加：例 5 求证： 分析 左式是n个因式连乘的形式，应把各因式化为分式，通过放缩，使之能交替消项，达到化简的目的。由于右式是，因此所放缩后的因式应与有关。

9、证明 例 6 分析 左式很难求和，可将右式拆成n项相加的形式，然后证明右式各项分别大于左式各项，叠加得出结论。证明高考专题放缩法一先求和后放缩例1正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析数列的通项公式如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和二先放缩再求和1放

10、缩后成等差数列，再求和例2已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1) 求证：；(2) 求证：解：（1）在条件中，令，得， ，又由条件有，上述两式相减，注意到得 所以， ， 所以（2）因为，所以，所以；2放缩后成等比数列，再求和例3（1）设a，nN*，a2，证明：；（2）等比数列an中，前n项的和为An，且A7，A9，A8成等差数列设，数列bn前n项的和为Bn，证明：Bn解：（1）当n为奇数时，ana，于是， 当n为偶数时，a11，且ana2，于是 （2），公比 3放缩后为差比数列，再求和例4已知数列满足：，求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即所以数列为递增数列，所以，即，累加得

11、：令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得4放缩后为裂项相消，再求和例5在m（m2）个不同数的排列P1P2Pn中，若1ijm时PiPj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为an，如排列21的逆序数，排列321的逆序数（1）求a4、a5，并写出an的表达式；（2）令，证明，n=1,2,.解（1）由已知得，.（2）因为，所以.又因为，所以 =. 综上，.注：常用放缩的结论：（1）（2）练习1已知数列a满足：a=1且.（1） 求数列a的通项公式；（2） 设mN，mn2，证明（a+）（m-n+1） 分析：这是06年河北省

12、高中数学竞赛的一道解答题（1）大家都知道数列的递推公式往往比通项公式还重要.这就引导我们要重视数列的递推公式由已知有a=,学生对形如, A，B是常数）形式的一次线性递推关系的数列通过构造新数列求通项公式的方法已不陌生，本题中的递推关系显然不是此类型.那么我们能否也可通过待定系数法构造新数列呢?不妨设即与比较系数得c=1.即又,故是首项为公比为的等比数列，故(2) 这一问是数列、二项式定理及不等式证明的综合问题.综合性较强.即证，当m=n时显然成立。易验证当且仅当m=n=2时，等号成立。设下面先研究其单调性。当n时，即数列是递减数列.因为n2，故只须证即证。事实上，故上不等式成立。综上，原不等式

13、成立。2设数列满足（1） 求的通项公式；（2） 若求证：数列的前n项和分析：（1）此时我们不妨设即与已知条件式比较系数得又是首项为2，公比为2的等比数列。.（3） 由（1）知. 当时,当n=1时，=1也适合上式，所以，故方法一：，(这步难度较大,也较关键,后一式缩至常数不易想到.必须要有执果索因的分析才可推测出.) .方法二 :在数列中,简单尝试的方法也相当重要.很多学生做此题时想用裂项相消法但是发现此种处理达不到目的.但是当n3时,我们看:易验证当n=1，2时 . 综上下面我们再举一个数列中利用放缩法证明不等式的问题.3已知正项数列满足（1） 判断数列的单调性；（2） 求证：分析：（1），即

14、 故数列为递增数列.(2) 不妨先证再证：原解答中放缩技巧太强，下面给出另一种证法.当时，.易验证当n=1时,上式也成立.综上,故有成立.4求证：证明：此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。5已知求证：证明：6 已知数列an的前n项和Sn满足：Sn=2an +(-1)n,n1（）写出求数列an的前3项a1,a2,a3；（）求数列an的通项公式；（）证明：对任意的整数m4，有.解；数列的通项公式为：.由已知得：.故( m4).用放缩法证明不等式一. “添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减

15、项以达到解题目的，这是常规思路。例1. 设a，b为不相等的两正数，且a3b3a2b2，求证。证明：由题设得a2abb2ab，于是（ab）2a2abb2ab，又ab0，得ab1，又ab（ab）2，而（ab）2ababab（ab）2，即（ab）2ab，所以ab，故有1ab。例2. 已知a、b、c不全为零，求证：证明：因为，同理，。所以二. 分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。例3. 已知a、b、c为三角形的三边，求证：。证明：由于a、b、c为正数，所以，所以，又a，b，c为三角形的边，故

16、b+ca，则为真分数，则，同理，故.综合得。三. 裂项放缩若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和，可采用数列中裂项求和等方法来解题。 例4. 已知nN*，求。证明：因为，则，证毕。例5. 已知且，求证：对所有正整数n都成立。证明：因为，所以，又，所以，综合知结论成立。四. 公式放缩利用已知的公式或恒不等式，把欲证不等式变形后再放缩，可获简解。例6. 已知函数，证明：对于且都有。证明：由题意知又因为且，所以只须证，又因为所以。例7. 已知，求证：当时。证明：证毕。五. 换元放缩对于不等式的某个部分进行换元，可显露问题的本质，然后随机进行放缩，可达解题目的。例8. 已知，求证。证明：因为，所以可设，所以则，即。例9. 已知a，b，c为ABC的三条边，且有，当且时，求证：。 证明：由于，可设a=csina，b=ccosa（a为锐角），因为，则当时，所以。六. 单调函数放缩根据题目特征，通过构造特殊的单调函数，利用其单调性质进行放缩求解。例10. 已知a，bR，求证。证明：构造函数，首先判断其单调性，设，因为，所以，所以在上是增函数，取，显然满足，所以，即。证毕。