第二章2X射线衍射几何

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1、122.2 X射线衍射几何王美娥3预备知识-晶面间距晶面间距(面网间距)指两个相邻晶面间的垂直距离。对晶面(hkl),一般用d(hkl)来表示其晶面间距。一般的一般的规律是，在空间点阵中，规律是，在空间点阵中，晶面的晶面指数越小，其晶面的晶面指数越小，其晶面间距越大，晶面的结晶面间距越大，晶面的结点密度越大，它的点密度越大，它的X射线射线衍射强度越大，它的重要衍射强度越大，它的重要性越大。性越大。晶面间距在X射线分析中是十分重要的。4 若已知某个晶体的晶体常数a、b、c和、，根据解析几何原理，很容易推导出计算晶面间距的公式。立方晶系四方晶系正交晶系5晶面夹角的计算 若已知某晶体上两个晶面(h1

2、k1l1)和(h2k2l2)，可以求二者之间的夹角(晶面法线的夹角)。立方晶系的公式：62.2.1 布拉格方程当两个波的振动方向相同、波长(频率)相同，并存在一定的波程差时它们就会产生干涉作用。当波程差为波长的整数倍，即n，时，两个波相互加强，当波程差为半波长的奇数倍时，即(n+1/2)，时，二者刚好相互抵消。78波产生干涉的条件：振动方向相同，波长相同、位相差恒定 即它们是相干的。相长干涉：当波程差为波长的整数倍,n 时，两个波相互加。相消干涉：当波程差为半波长的奇数倍，(n+1/2)时，二者刚好相互抵消。9可见光波的杨氏干涉实验 10 X射线也是一种电磁波，当它照射晶体时，晶体中的质点对入

3、射X射线产生相干散射。这些散射波满足波产生干涉的条件。X射线在晶体中的衍射实质上是晶体中各原子散射波之间的干涉结果。几个近似假设：1、X射线是单一波长的平行光。2、电子皆集中在原子的中心。3、原子不作热 振动，因此原子间距不变。11X射线的衍射射线的衍射X射线穿过晶体产生衍射12 根据劳厄斑点的根据劳厄斑点的 晶体可看作三维晶体可看作三维立体光栅立体光栅掌握晶体点阵结构掌握晶体点阵结构分布可算出晶面间距分布可算出晶面间距X 射线衍射射线衍射-劳厄实验劳厄实验13劳厄斑劳厄斑一个衍射花样，包含两方面的信息：1）衍射线在空间的分布规律，衍射方向；2）衍射线束的强度。14劳厄劳厄M.von.Laue

4、德国物理学家德国物理学家(1879-1960)15 欲观察其衍射现象欲观察其衍射现象 则衍射线度应与其波长差不多则衍射线度应与其波长差不多 晶体的晶格常数恰是这样的线度晶体的晶格常数恰是这样的线度布喇格父子布喇格父子(W.H.Bragg,W.L.Bragg)16X 射 线 原子或离子中的电子受迫振动。振动着的电子成为次生X射线的波源，向外辐射与入射 X 射线同频率的电磁波，称为散射波。1718 同一晶面上各个格点之间的干涉点间干涉。不同晶面之间的干涉面间干涉。分两步讨论：（1）布喇格方程的导出2.2.1 布拉格方程布拉格方程19入射角掠射角镜面反射方向平面法线入射X射线任一平面上的点阵 同一晶

5、面上各个格点之间的干涉点间干涉点间干涉。20任一平面上的点阵入射X射线平面法线镜面反射方向ZXY用图示法作简易证明AABBCCCD光程相等即光程差为零干涉得最大光强CC-ADACcos-ACcos=0CC=ADAA=BB21面1面2面3作截面分析 不同晶面之间的干涉面间干涉。面间干涉。22ADabsin2dDCBD)3.2.1(nCB相互干涉得亮点的条件ndsin2层间两反射光的光程差d12hd3掠射角23(a)可见光在任意入射角方向均可见光在任意入射角方向均能产生反射，而能产生反射，而X射线则只能射线则只能在有限的布喇格角方向才产生在有限的布喇格角方向才产生反射。反射。就平面点阵（就平面点阵

6、（hkl）来）来说，只有入射角说，只有入射角满足此方程满足此方程时，才能在相应的反射角方向时，才能在相应的反射角方向上产生衍射。上产生衍射。(b)可见光的反射只是物体表面可见光的反射只是物体表面上的光学现象，而衍射则是一上的光学现象，而衍射则是一定厚度内许多间距相同晶面共定厚度内许多间距相同晶面共同作用的结果。同作用的结果。X射线衍射与可见光反射的差异射线衍射与可见光反射的差异1212ABChkldhkl 242.布拉格方程的讨论（1）选择反射衍射产生的必要条件“选择反射”即反射定律+布拉格方程是衍射产生的必要条件。布拉格方程由原子面反射方向上散射线的干涉(一致)加强条件导出，而各原子面非反射

7、方向上散射线是否可能因干涉(部分)加强从而产生衍射线呢?“选择反射”作为衍射的必要条件，意味着即使满足“选择反射”条件的方向上也不一定有反射线。25（2）产生衍射的极限条件sin2dn1sin根据布拉格方程根据布拉格方程 dn2 n=1,2,3.最小值为1 2d26X射线产生衍射的极限条件：/2 一般晶体的晶面间距在0.11nm之间，因此常用X射线的波长在0.050.25nm之间。也就是说，只有晶面间距大于入射X射线波长的一半的晶面才能产生衍射。当入射X射线的波长一定时，利用这个关系，我们可以判断哪些晶面能产生衍射以及产生衍射晶面的数目。27例 Cu的K=0.154178nm d0.07708

8、9nm的晶面都能产生衍射。X射线的波长越短，能产生衍射的晶面越多。但波长太小，掠过角就很小，这对仪器测量来说是困难的。28布拉格方程中的反射级数的物理意义：（3）干涉面和干涉指数反映相邻两条衍射线之间光程差的倍数反映相邻两条衍射线之间光程差的倍数2930 实际中反射级数是不易测定的，且我们关心的主要是衍射线的方向。将布拉格方程作如下的转换：2dsin=n 2（d/n）sin=2dsin=2 2（d/2）sin=也就是说，间距为d的晶面对X射线的n级反射可以看作是间距为d/n的晶面的一级反射。这个面称称为干涉面干涉面。用指数HKL来表示，并称之为干涉指数干涉指数。31 假设原来的晶面间距为d的晶

9、面的晶面指数为(hkl)，根据晶面指数的定义可以得出，这个晶面间距为d/n的干涉面的干涉指数为nh nk nl 即H=nh K=nk L=nl 例如，如果原有的晶面是(100)，它的二级反射看作是(200)干涉面的一级反射，记为200反射。晶面(110)的二级反射作为(220)干涉 面的一级反射，即220反射。32设d=d/n，布拉格方程2dsin=n可进一步简化为：2dsin =或 2dHKLsin =布拉格方程变成一级反射的形式。同时规定，用产生第一级反射的那个干涉面的指数来标记相应的反射线。如220反射则表示(220)面的一级反射。实际上它是(110)面的二级反射。干涉指数与晶面指数的区

10、别是各指数不是互质的，如200。在X射线分析中，并不严格区分干涉指数和晶面指数。33（4）衍射花样和晶体结构的关系 当一定，是反射面面间距d的函数。)(4sin222222LKHa)(4sin2222222cLaKH)(4sin22222222cLbKaH立方晶系四方晶系正交晶系34由上述公式可以看出：晶体所属晶系不同，对于同指数的点阵面，其衍射方向2不同。结论：衍射线分布规律完全是由晶胞形状和大小确定，未包含原子的种类和在晶胞中的位置35布喇格方程是布喇格方程是X射线在晶体产生衍射线在晶体产生衍射的必要条件而非充分条件。有些射的必要条件而非充分条件。有些情况下晶体虽然满足布拉格方程，情况下晶

11、体虽然满足布拉格方程，但不一定出现衍射线，即所谓但不一定出现衍射线，即所谓系统系统消光。消光。36nd2sin=n=0,1,2,.1.如果晶格常数已知，可以用来测定如果晶格常数已知，可以用来测定X射线的波长，进行伦琴射线的光谱分析。射线的波长，进行伦琴射线的光谱分析。2.如果如果X 射线的波长已知，可以用来测射线的波长已知，可以用来测定晶体的晶格常数，进行晶体的结构分析。定晶体的晶格常数，进行晶体的结构分析。符合上述条件时，各层晶面的反射线干符合上述条件时，各层晶面的反射线干涉后将相互加强。涉后将相互加强。372.已知，d 可测 X射线光谱分析.1.已知，可测 d X射线晶体结构分析.研究晶体

12、结构、材料性质。研究原子结构。布喇格方程应用布喇格方程应用38布喇格方程应用布喇格方程应用39布喇格方程应用布喇格方程应用40布喇格方程应用布喇格方程应用X射线光谱仪原理射线光谱仪原理（X-ray spectrometer)样品样品一次一次X射线射线二次二次X射线射线分光晶体分光晶体C 二 次二 次 X 射 线射 线到达分光晶体到达分光晶体C处，被晶体处，被晶体c衍射衍射X射线通射线通过计数管过计数管D进进行检测以确定行检测以确定2，最后进行，最后进行波长分析。波长分析。41NaCl 晶体 主晶面间距为2.8210-10 m对某单色X射线的布喇格第一级强反射的掠射角为 15入射X射线波长第二级

13、强反射的掠射角根据布喇格公式152 2.8210-10 151.4610-10(m)0.517731.18 42思考题要使某个晶体的衍射数量增加，你选长波的X射线还是短波的？432.2.2 倒易点阵及衍射矢量方程 1.倒易点阵 由晶体点阵（正点阵）按一定对应关系建立的与其相联系的另外一个假想空间点阵。倒易点阵是与正点阵相对应的量纲为长度倒数的一个三维空间（倒易空间）点阵倒易点阵的外形也很象点阵，但其上的节点是对应着真点阵的一组晶面。44Use double tilting to determine directly a 3D reciprocal lattice00012300012345Us

14、e double tilting to determine directly a 3D reciprocal lattice图3.4 六角相Al5FeNi的选区电子衍射花样Figure 3.4 SAED patterns arranged in a stereo manner of the hexagonal Al5FeNi phase.46倒易点阵与正点阵d110g110bab*a*000100010110g110220r11047 a*b=a*c=b*a=b*c=c*b=0 a*a=b*b=c*c=1 倒易点阵与正点阵的基矢量对应关系定义为：表明某一倒易基矢垂直于正点阵中和自己异名的二基矢

15、所成平面。方向长度（1）倒易点阵的定义正点阵基矢 a、b、c倒易点阵基矢 a*、b*、c*48倒易基矢和正空间基矢之间的关系在三维空间，倒易基矢量的方向和长度还可以用统一的矢量方程表达：VbacVacbVcba*V 正点阵的阵胞体积49（2）倒易点阵与正点阵的倒易关系倒易基矢垂直于正点阵中和自己异名的二基矢所成平面。大小：*001*010*1001;1;1dcdbda倒易点阵的倒易是正点阵相同类型的坐标系50（3）倒易矢量的基本性质 在倒易点阵中，由原点O*指向任意坐标为（h,k,l）的阵点的倒易矢量为*lckbharhkl式中（hkl）为正点阵的晶面指数，上式表明：倒易矢量r*垂直于正点阵中相应的（hkl）晶面，或平等于它的法向Nhkl。倒易矢量r*的长度等于hkl晶面的面间距dhkl的倒数。倒易点阵中的一点代表的是正点阵中的一组晶面。51正点阵和倒易点阵的几何对应关系52作 业 1.说明为什么对于同一材料其？2.-Fe为立方系晶体，点阵常数a=0.2866nm，如用CrK=0.22909nm进行摄照，求（110）和（200）面的掠射角。3.为什么说衍射线束的方向与晶胞的形状和大小有关？4.写出布拉格方程，简述其用途。KKK