北师大初中数学中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用--知识讲解(基础)(推荐)

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1、1,2 0；当 m0 时，方程没有实数解（2）配方法：通过配方把一元二次方程 ax2 bx c 0 变形为 x 中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用知识讲解（基础）【考纲要求】1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；2.会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想 【知识网络】【考点梳理】考点一、一元二次方程 1.一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程 它的一般形式为 ax2 bx c 0(a0)2.一元二次方程的解法（1）直

2、接开平方法：把方程变成 x2 m 的形式，当 m0 时，方程的解为 x m；当 m0 时，方程的解 x 用直接开平方法求得方程的解 b 2 b2 4ac 2a 4a2 的形式，再利 如果一元二次方程 ax 2 bx c 0(a0)的两个根是 x、x ，那么 x x ，x x c a a bx c 0，当 b b b2 4ac（3）公式法：对于一元二次方程 ax2 2 4ac 0 时，它的解为 x 2a（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于 零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解 要点诠释：直接开平方法和因式分解法是解一元

3、二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般 方法 3一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式为 b 2 4ac 0 方程有两个不相等的实数根；0 方程有两个相等的实数根；0，所以方程有两个不相等的实数根 （2）解：因为方程的两根互为相反数，所以 x x 0，1 2 根据方程的根与系数的关系得 m 2 0，解得 m 2，所以原方程可化为 x 2 5 0，解得 x 1 5，x 5.2 类型二、分式方程 3（2015贺州）解分式方程：=【思路点拨】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验.【答案与解析】解：方程两边同乘以（2x+1）（2x1），得 x+1=3(

4、2x-1)-2(2x+1)x+1=2x-5，解得 x=6 检验：x=6 是原方程的根 故原方程的解为：x=6【总结升华】首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要 验根.举一反三：1 2 x 3 x 3 【答案】方程两边同乘以 x 3，得 2 x 2(x 3)1 2 x 2x 6 1 x 5 经检验：x 5 是原方程的解，所以原方程的解是 x 5 1 2 的解是 x=x 2 2 x 【答案】x 0.m 1 x 1 产生增根，则 m 的值是（）x 1 x(x 1)x 80 42 x y x y 40 70 7 经检验：是原方程的根 y 3 A.1或 2 B.

5、1或 2 C.1或 2 D.1或 2 【思路点拨】先把原方程化为整式方程，再把可能的增根分别代入整式方程即可求出 m 的值.【答案】D；【解析】由题意得增根是：x 0或 x 1，化简原方程为：2 x 2 (m 1)(x 1)2，把 x 0或 x 1 代入解得 m 2或 1，故选择 D.【总结升华】分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值.举一反三：【变式】若关于 x 的方程 x 2 m 2 无解，则 m 的值是 x 3 x 3 【答案】1.类型三、一元二次方程、分式方程的应用 5轮船在一次航行中顺流航行 80 千米，逆流航行 42 千米，共用了 7 小时；在另一次航行中，用相 同的时间，顺

6、流航行 40 千米，逆流航行 70 千米.求这艘轮船在静水中的速度和水流速度.【思路点拨】在航行问题中的等量关系是“顺流速度静水速度水流速度；逆流速度静水速度水流速度”，两次 航行提供了两个等量关系.【答案与解析】设船在静水中的速度为 x 千米/小时，水流速度为 y 千米/小时 7 由题意，得 x y x y x 17 解得：y 3 x 17 答：水流速度为 3 千米/小时，船在静水中的速度为 17 千米/小时.【总结升华】流水问题公式：顺流速度静水速度水流速度；逆流速度静水速度水流速度；静水速度(顺流速度逆流速度)2；水流速度(顺流速度逆流速度)2.举一反三：【变式】甲、乙两班同学参加“绿化

7、祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种 2 棵树，甲班种 60 棵所用 的时间与乙班种 66 棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？【答案】设甲班每小时种 x 棵树，则乙班每小时种（x+2）棵树，由题意得：60 66 x x 2 60 x 120 66x x 20 经检验：x 20是原方程的根 x 2 22 答：甲班每小时种树 20 棵，乙班每小时种树 22 棵.6某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是 500 元，销售价为 625 元，经市场预测，该产品销 售价第一个月将降低 20%，第二个月比第一个月提高 6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该 产品的成本价平均每月应

8、降低百分之几？【思路点拨】设该产品的成本价平均每月降低率为 x，那么两个月后的销售价格为 625（1-20%）（1+6%），两 个 月 后的成本价为 500（1-x）2，然后根据已知条件即可列出方程，解方程即可求出结果【答案与解析】设该产品的成本价平均每月应降低的百分数为 x 625（1-20%）（1+6%）-500（1-x）2=625-500 整理，得 500（1-x）2=405，（1-x）2=0.81 1-x=0.9，x=10.9，x1=1.9（舍 去），x2=0.1=10%答：该产品的成本价平均每月应降低 10%【总结升华】题目中该产品的成本价在不断变化，销售价也在不断变化，要求变化后的销售利润不变，即利润仍要达 到 125 元，关键在于计算和表达变动后的销售价和成本价