3.3数学期望的定理

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1、第三章随机变量的数字特征3.3 3.3 关于数学期望的定理关于数学期望的定理 定理定理11 常量的数学期望等于这个常量：,)(CCE其中C是常量.证证：常量C可以看作这样一个随机变量，取得一个值,C1显然，它取得这个值的概率等于 .所以1)(CCE.C它只可能证证：对于离散随机变量X，我们有)(CXEiiixpCx)().(XCEiiixpxC)(对于连续随机变量,X我们有)(CXEdxxCxf)(dxxxfC)().(XCE常量与随机变量的乘积的数学期望等于这个常量与随机变量的数学期望的乘积：).()(XCECXE 定理定理22两个随机变量的和的数学期望等于它们的数学期望的和：.)()()(

2、YEXEYXE证证：对于离散随机变量，)(YXEijjijiyxpyx),()(ijjiiyxpx),(ijjijyxpy),().()(YEXE 定理定理33对于连续随机变量，)(YXEdxdyyxfyx),()(dxdyyxxf),(dxdyyxyf),().()(YEXE有限个随机变量的和的数学期望等于它们的数学期望的和:.)()(11niiniiXEXE 定理定理44注意：注意：由定理2,定理3可得（1）)(YXE),()(YEXE其中,为实数.（2）利用数学归纳法可将定理3推广到有限多个随机变量的情形:例例1 一台设备由三大部件构成，在运行中各个部件需要调整的概率分别为.30.0,2

3、0.0,10.0设X表示同时需要调整的部件数.求X的数学期望.)(XE分析分析:易知X为离散随机变量，其可能取的值为.3,2,1,0但由于不知各部件的运行状态是否相互独立，但可将X分解成一些随机变量的和，定理3来计算数学期望.X无法求的概率分布.利用解解：设随机变量.,0;,1个部件不需要调整第个部件需要调整第iiXi.3,2,1i则.321XXXX)(1XE1.019.00同理,2.0)(2XE,3.0)(3XE由数学期望的性质得)()(321XXXEXE)()()(331XEXEXE3.02.01.0.6.0,1.0而1Xip019.01.0两个独立随机变量的乘积的数学期望等于它们数学期望

4、的乘积：).()()(YEXEXYE证证：因为 与 独立，XY所以对于离散随机变量，ijjijiyxpyxXYE),()(ijjYiXjiypxpyx)()(jjYjiiXiypyxpx)()().()(YEXE对于连续随机变量类似可证.定理定理55利用数学归纳法可以把这个定理推广到有限多个独立随机变量的情形：有限个独立随机变量的乘积的数学期望等于它们的数学期望的乘积：.)()(11niiniiXEXE 定理定理66.)(CCE 则有则有).()(XCECXE 1是常数，是常数，设设C 2是一个随机变量，是一个随机变量，设设 X是常数，是常数，C则有则有 ).()()(YEXEYXE 3是两个随机变量，是两个随机变量，设设YX,则有则有 ).()()(YEXEXYE 4则有则有 ，是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量设设YX,niiniiXEXE11)()(推广：小小 结结.)()(11niiniiXEXE则推广：相互独立，nXXX,21若已知离散随机变量X服从参数为2的泊松分布，即,2,1,0,!e2)(2kkkXPk求随机变量23 XZ的数学期望).(ZE解：解：已知,)2(PX则,2e!2)(20ikkkXE于是)23()(XEZE.4223思考题思考题2)(3XE