机械工程测试技术绪言第一章

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1、3/17/20231机械工程测试技术机械工程测试技术Mechanical Engineering Measurement and Test Technology 3/17/20232教教 材材：机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础熊诗波熊诗波 黄长艺黄长艺 主编主编 机械工业出版社机械工业出版社参参 考考 书书：机械工程测量与试验技术机械工程测量与试验技术黄长艺黄长艺 卢文祥主编卢文祥主编 机械工业出版社机械工业出版社 总总 学学 时时：40=授课授课34+实验实验 6成成 绩绩：平时（出勤，作业）：平时（出勤，作业）20%，考试，考试80%，实验（出勤，报告）一票否决实验（出勤，报告）一

2、票否决授课教师授课教师：吉野：吉野 辰萌，辰萌，教教 室室：第：第1-91-9周，周一周，周一5,65,6节，一教节，一教#222#222 周四周四3,43,4节，逸夫楼节，逸夫楼#A206#A2063/17/20233绪绪 言（教材言（教材1-91-9页）页）一、测试技术的重要性一、测试技术的重要性 测量测量以确定被测物属性量值为目的的全部操作。以确定被测物属性量值为目的的全部操作。测试测试是具有试验性质的测量，可理解为测量与试验的结合。是具有试验性质的测量，可理解为测量与试验的结合。测试基本任务测试基本任务获取有用信号。获取有用信号。3/17/20234二、测试过程和测试系统的一般组成二、

3、测试过程和测试系统的一般组成 传传感感器器信信号号调调理理传传输输信信号号处处理理显显示示记记录录 激励装置激励装置反馈、控制反馈、控制观察观察 者者被测被测对象对象传传 感感 器器直接作用于被测量，按一定规律将被测量转换成同直接作用于被测量，按一定规律将被测量转换成同样或别种量输出（通常是电信号）的器件。样或别种量输出（通常是电信号）的器件。信号调理信号调理把来自传感器的信号进一步转换成更适合传输和处把来自传感器的信号进一步转换成更适合传输和处理的形式。如幅值放大、阻抗转换成电压、频率等。理的形式。如幅值放大、阻抗转换成电压、频率等。信号处理信号处理进行各种运算、滤波分析、结果输出、记录和控

4、制进行各种运算、滤波分析、结果输出、记录和控制系统。系统。3/17/20235激励装置激励装置有些信息来自可检测信号，用激励装置使其处于充分有些信息来自可检测信号，用激励装置使其处于充分显示这些参量特性的状态中，以有效检测载有这些消显示这些参量特性的状态中，以有效检测载有这些消息的信号。息的信号。消消 息息隐含于按一定规则组织起来的约定隐含于按一定规则组织起来的约定“符号符号”中的信息。中的信息。信信 号号把消息转换成更便于传输和处理的信息。信号是消息把消息转换成更便于传输和处理的信息。信号是消息的载体，是消息的一种表现形式。的载体，是消息的一种表现形式。信号分类信号分类电信号、光信号、力信号

5、、磁信号等。电信号、光信号、力信号、磁信号等。传传感感器器信信号号调调理理传传输输信信号号处处理理显显示示记记录录 激励装置激励装置反馈、控制反馈、控制观察观察 者者被测被测对象对象3/17/20236三、课程研究内容和性质三、课程研究内容和性质教学目的：教学目的：对现代动态测试工作有一个较完整的概对现代动态测试工作有一个较完整的概念，并运用于机械工程中某些参数念，并运用于机械工程中某些参数的测试。能够确定检测机械工程中的测试。能够确定检测机械工程中各种物理量的测试方法，设计合理各种物理量的测试方法，设计合理的测试系统，初步掌握测试信号的的测试系统，初步掌握测试信号的分析与处理方法。分析与处理

6、方法。3/17/20237学习内容：学习内容：（1 1）信号时域和频域描述方法，建立信号频）信号时域和频域描述方法，建立信号频谱结构的概念，掌握频谱分析和相关分析谱结构的概念，掌握频谱分析和相关分析的基本原理和方法。的基本原理和方法。（2 2）掌握测量装置基本特性的评价方法和不）掌握测量装置基本特性的评价方法和不失真测试条件，掌握一阶、二阶线性系统失真测试条件，掌握一阶、二阶线性系统动态特性及其测定方法。动态特性及其测定方法。（3 3）了解常用传感器，常用信号调理工作原）了解常用传感器，常用信号调理工作原理和性能，较合理运用。数字信号处理初理和性能，较合理运用。数字信号处理初步。步。3/17/

7、20238四、测试技术的概况与发展（四、测试技术的概况与发展（自学第一节自学第一节）1、电路改进、电路改进 采用放大电路和集成电路，提高其性能。采用放大电路和集成电路，提高其性能。2、新型传感器应用、新型传感器应用 （1）物性型传感器开发）物性型传感器开发 （2）集成、智能化传感器的开发）集成、智能化传感器的开发 （a）变参量测量化传感器）变参量测量化传感器 （b）传感器与放大、运算、补偿电路一体化。）传感器与放大、运算、补偿电路一体化。（3）化学传感器开发）化学传感器开发3、广泛应用信息技术、广泛应用信息技术4、多变量测量系统的开发、多变量测量系统的开发3/17/202393/17/2023

8、103/17/202311五、测量的基础知识（五、测量的基础知识（自学第二节一至八自学第二节一至八）一、量与量纲一、量与量纲量值：量值：用数值和计量单位的乘积来表示，用于定量地用数值和计量单位的乘积来表示，用于定量地表达被测对象相应属性的大小表达被测对象相应属性的大小(如；如；15kg15kg；40)40)量纲：量纲：代表一个实体（被测量）的确定特征，而量纲代表一个实体（被测量）的确定特征，而量纲单位则是该实体的量化基础。单位则是该实体的量化基础。如长度是一个量纲，而厘米则是长度的一个单如长度是一个量纲，而厘米则是长度的一个单位。一个量纲是惟一的，然而一种特定的量纲位。一个量纲是惟一的，然而一

9、种特定的量纲则可用不同的单位来测量。则可用不同的单位来测量。3/17/202312二、法定计量单位二、法定计量单位1 1）基本单位和单位代码：国际单位制）基本单位和单位代码：国际单位制(SI)(SI)长度长度米米(Metre)(Metre)米米(m)(m)质量质量千克千克(Kilogram)(Kilogram)千克千克(kg)(kg)时间时间秒秒(Second)(Second)秒秒(s)(s)温度温度开尔文开尔文(Kelvn)(Kelvn)开开(K)(K)电流电流安培安培(Ampere)(Ampere)安安(A)(A)发光强度发光强度坎德拉坎德拉(Candela)(Candela)坎坎(cd)

10、(cd)物质的量物质的量摩尔摩尔(Mol)(Mol)摩摩(mol)(mol)3/17/2023132 2）辅助单位）辅助单位 弧度（弧度（radrad）：）：是一个圆内两条半径在圆周上所是一个圆内两条半径在圆周上所 截取的弧长与半径相等时，它们所夹的平面角截取的弧长与半径相等时，它们所夹的平面角的大小。的大小。球面度（球面度（srsr）：）：是一个立体角，其顶点位于是一个立体角，其顶点位于球心，而它在球面上所截取的面积等于以球球心，而它在球面上所截取的面积等于以球半径为边长的正方形面积。半径为边长的正方形面积。3 3）导出单位）导出单位在基本单位和辅助单位选定后，按物理量之在基本单位和辅助单位

11、选定后，按物理量之间的关系，由基本单位和辅助单位以相乘或间的关系，由基本单位和辅助单位以相乘或相除所构成的单位。相除所构成的单位。3/17/202314三、测量方法三、测量方法直接测量：直接测量：无需经过函数关系计算，直接通过测量无需经过函数关系计算，直接通过测量仪器得到被测值的测量。如测温度、测尺寸。可分仪器得到被测值的测量。如测温度、测尺寸。可分为等精度为等精度(等权等权)直接测量；不等精度直接测量；不等精度(不等权不等权)直直接测量。接测量。间接测量：间接测量：指在直接测量的基础上，根据已知函数指在直接测量的基础上，根据已知函数关系，计算出被测量的量值的测量。关系，计算出被测量的量值的测

12、量。组合测量：组合测量：将直接测量或间接测量与被测量值之间将直接测量或间接测量与被测量值之间按已知关系组成一组方程按已知关系组成一组方程(函数关系函数关系)，通过解方程，通过解方程组得到被测值的方法。组得到被测值的方法。3/17/202315四、基准和标准四、基准和标准基准：是用来保存、复现计量单位的计量器具。基准：是用来保存、复现计量单位的计量器具。国家基准：国家基准：在特定计量领域内，用来保存和复现在特定计量领域内，用来保存和复现该领域计量单位并具有最高的计量特该领域计量单位并具有最高的计量特性，经国家鉴定、批准作为统一全国性，经国家鉴定、批准作为统一全国量值最高依据的计量器具。量值最高依

13、据的计量器具。副副 基基 准：准：通过与国家基准对比或校准来确定其通过与国家基准对比或校准来确定其量值，并经国家鉴定、批准的计量器量值，并经国家鉴定、批准的计量器具，副基准的位置仅低于国家基准。具，副基准的位置仅低于国家基准。工作基准：工作基准：通过与国家基准或副基准对比或校准，通过与国家基准或副基准对比或校准，用来检定计量标准的计量器具。用来检定计量标准的计量器具。3/17/202316五、测量误差五、测量误差1)误差定义误差定义：测量误差：测量误差=测量结果测量结果-真值真值 (0-1)(0-1)2)2)误差分类误差分类：系统误差系统误差对同一被测量进行多次测量过程中，出现某对同一被测量进

14、行多次测量过程中，出现某种保持恒定或按照确定的方式变化的误差。种保持恒定或按照确定的方式变化的误差。随机误差随机误差对同一被测量进行多次测量中，误差的正负对同一被测量进行多次测量中，误差的正负号和绝对值以不可预知的方式变化。号和绝对值以不可预知的方式变化。粗大误差粗大误差是一种明显超出规定条件下预期误差范围的是一种明显超出规定条件下预期误差范围的误差。误差。3)3)误差表示误差表示：绝对误差，用：绝对误差，用(0-1)(0-1)公式计算公式计算 相对误差相对误差=绝对误差绝对误差真值真值3/17/202317第一章第一章 信号及其描述信号及其描述 第一节第一节 信号分类与描述信号分类与描述 一

15、、信号的分类一、信号的分类 信号信号分类分类确定性信号确定性信号随机信号随机信号 连续信号连续信号离散信号离散信号 能量信号能量信号功率信号功率信号 周期信号周期信号非周期信号非周期信号 准周期信号准周期信号 瞬变非周期信号瞬变非周期信号 3/17/202318（一）确定性信号与随机信号（一）确定性信号与随机信号 1 1、确定性信号确定性信号可表示为一个确定的时间函可表示为一个确定的时间函数，因而可确定其任何时刻的量值。数，因而可确定其任何时刻的量值。2、随机信号随机信号一种不能准确预测其未来瞬时一种不能准确预测其未来瞬时值，也无法用数学关系描述，它具有某些值，也无法用数学关系描述，它具有某些

16、统计特征，由概率统计来估计其未来。统计特征，由概率统计来估计其未来。3/17/2023191 1、确定性信号确定性信号(1)(1)周期信号周期信号按一定时间间隔而复始重复出现，无按一定时间间隔而复始重复出现，无始无终的信号，可表示为：始无终的信号，可表示为：x x(t t)=)=x x(t t+nT+nT0 0)(n=1,2,3,)(1-1)(n=1,2,3,)(1-1)式中式中 T T0 0周期周期Ax(t)km)sin()(00tmkxtx（1-2）如单自由度无阻尼振动系统如单自由度无阻尼振动系统x0 0,0 0取决于初始条件的常数取决于初始条件的常数m 质量质量 k 弹簧刚度弹簧刚度t

17、t 时间时间mkT20mkT0023/17/202320(2)非周期信号非周期信号确定性信号中那些不具有周期重复性确定性信号中那些不具有周期重复性 的信号。的信号。(a)准周期信号准周期信号由两种以上周期信号合成，但其由两种以上周期信号合成，但其组成分量间无法找到公共周期（但有离散频谱）。组成分量间无法找到公共周期（但有离散频谱）。(b)瞬变非周期信号瞬变非周期信号在一定时间区间内存在，且在一定时间区间内存在，且随时间增长而衰减至零的信号。随时间增长而衰减至零的信号。)sin()(000textxat(1-3)衰减振荡信号衰减振荡信号 如单质点自由度加阻尼振动，如单质点自由度加阻尼振动，其质点

18、位移其质点位移x(t)可表示为：可表示为：3/17/202321连续信号连续信号x(t)t0离散信号离散信号x(t)t0（二）连续信号与离散信号（二）连续信号与离散信号连续信号连续信号信号数学表达式中的独立变量取信号数学表达式中的独立变量取 值是连续的则称为连续信号。值是连续的则称为连续信号。离散信号离散信号若独立变量取离散值，则称为离若独立变量取离散值，则称为离 散信号。散信号。3/17/202322（三）能量信号和功率信号（三）能量信号和功率信号 x(t t)电压信号，加到电阻电压信号，加到电阻R上，其瞬间功率为：上，其瞬间功率为：RtxtP)()(2若若R=1=1 时时 )()(2txt

19、P信号的能量为信号的能量为 当当x(t t)满足满足 dttx)(2dttx)(2(1-4)则认为信号的能量是有限的，并称之为能量有限则认为信号的能量是有限的，并称之为能量有限信号，简称能量信号。信号，简称能量信号。3/17/202323这种信号称为功率有限信号或功率信号。这种信号称为功率有限信号或功率信号。而在有限区间（而在有限区间（t t1 1,t t2 2）的平均功率是有限的，即）的平均功率是有限的，即若信号在区间（若信号在区间（-，+）的能量是无限的，即的能量是无限的，即 21)(1212ttdttxtt2()xtdt t （1-5）（1-6）3/17/202324二、信号的时域描述和

20、频域描述二、信号的时域描述和频域描述时域描述：直接观测或测量的信号，一般以时域描述：直接观测或测量的信号，一般以 时间为时间为 独立变量描述。独立变量描述。特点：直接反映信号幅值随时间变化的特点：直接反映信号幅值随时间变化的 关系。关系。频域描述：把时域描述信号经适当方法变换，频域描述：把时域描述信号经适当方法变换，以频率为独立变量来表示的信号。以频率为独立变量来表示的信号。特点：分解信号频率结构，呈现频率与特点：分解信号频率结构，呈现频率与 幅值、频率与相位的关系。幅值、频率与相位的关系。3/17/2023250()sinx tt3/17/202326001()sinsin33x ttt3/

21、17/20232700011()sinsin3sin535x tttt3/17/2023280000111()sinsin3sin5sin7357x ttttt3/17/202329000001111()sinsin3sin5sin7sin93579x tttttt3/17/202330第二节第二节 周期信号与离散频谱周期信号与离散频谱 一、傅里叶级数一、傅里叶级数(Fourier series)的三角函数展开式的三角函数展开式 在有限区间上在有限区间上,凡满足凡满足狄里赫利条件狄里赫利条件的周期信号的周期信号x(t t),),均可均可展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数1000)sincos()

22、(nnntnbtnaatx（1-7）220000)(1TTdttxTadttntxTaTTn220000cos)(2dttntxTbTTn220000sin)(2常值分量常值分量 余弦分量余弦分量 正弦分量正弦分量 其中其中T T0 0 x(t t)的的周期周期 0 0=2/T=2/T0 0（圆频率）（圆频率）n=1,2,3,=1,2,3,（1-8）3/17/202331将式（将式（1-71-7）改写成改写成 1000)sincos()(nnntnbtnaatx2200022221()(cossin)nnnnnnnnnabx taabntntabab220001()(sincoscossin)

23、nnnnnx taabntnt001()sin()nnnx taAnt（1-9）（）（频域描述频域描述）式中式中 22nnnbaAb na n22nnbannnnbatan3/17/202332的关系为幅频谱，的关系为幅频谱，的关系为相频谱。的关系为相频谱。可见，周期信号是由无数多个不同频率的可见，周期信号是由无数多个不同频率的谐波叠加而成的。各频率成分是谐波叠加而成的。各频率成分是0 0的的整数整数倍，相邻频率间隔为倍，相邻频率间隔为 0=0=2/0，0基频，基频，称为称为 n 次谐波。次谐波。)sin(0nntnA-nA-n 二、周期信号的幅频谱和相频谱二、周期信号的幅频谱和相频谱0An0

24、20幅频谱和相频谱示意图幅频谱和相频谱示意图30400n0 30 A1A2A3A4a01234 20 40 3/17/202333)5sin513sin31(sin4)(000 tttAtx式中式中 002T将该周期方波应用傅里叶级数展开，可得将该周期方波应用傅里叶级数展开，可得 例：一个周期方波的一种时域描述形式表示为：例：一个周期方波的一种时域描述形式表示为：-T0T0周期方波周期方波-AA-T0/2T0/2t0 x(t)x(t)=x(t+nT0)A 0tT0/2x(t）=-A -T0/2t0b n0a n0b n0a n0b n0a n020nn202-n2-n3/17/202341nn

25、nnnnabtnAAtxtan)cos()(100同理，可展成余弦函数同理，可展成余弦函数1000)sincos()(nnntnbtnaatx3/17/202342二、傅里叶级数的复指数函数展开式二、傅里叶级数的复指数函数展开式根据殴拉公式根据殴拉公式 tjtetjtetjtjsincossincos)(21costjtjeet)(2sintjtjeejt（1-10）（1-11）（1-12）0ReImtjett-tje)cos(t)cos(t)sin(tj)sin(tj3/17/202343将（将（1-111-11）（）（1-121-12）两式代入（）两式代入（1-71-7）式，得）式，得 1

26、000)sincos()(nnntnbtnaatx)(2)(21)(000010tjntjnntjntjnnneejbeeaatx)(21)(21)(0010tjnnnntjnnnejbaejbaatx(1-13)令令 00ca)(21nnnjbac)(21nnnjbac(1-14a)(1-14b)(1-14c)（1-7）3/17/202344则则 10)()(00ntjnntjnnececctx或或 ntjnnectx0)(0,1,2,)n 将式（将式（1-8）代入式（）代入式（1-14b）和（）和（1-14c）得）得 sin)(cos)(221)(212/2/02/2/000000dttn

27、txjdttntxTjbacTTTTnnnsin(cos)(102/2/0000dtt)njtntxTTT(0,+1,+2,)n 3/17/202345dtetxTcTTtjnn2/2/0000)(1同理同理 dtetxTcTTtjnn2/2/0000)(1合并为合并为 dtetxTcTTtjnn2/2/0000)(1),2,1,0(n(1-16)(n=0,+1,+2,）(n=0,+1,+2,）ntjnnectx0)(0,1,2,)n 000/2m0/21()TjmtTcx t edtT(m=-1,-2,）3/17/202346说明：说明：njnnInRnecjccc（1-17）式中式中 22

28、nInRnccc（1-18）nRnInccarctg（1-19）nc与与nc共轭，即共轭，即 nnccnn;2频谱图频谱图(Spectrum map)nInRnnccc作幅频谱图（作幅频谱图（偶函数）偶函数）作相频谱图（作相频谱图（奇函数）奇函数）作实频谱图作实频谱图作虚频谱图作虚频谱图 1 表示方法表示方法 一般情况下，一般情况下，cn 是复数，可以写成是复数，可以写成的的关关系系？）中中的的（或或中中的的（和和这这里里的的nnnnntncos)tnsin003/17/2023473比较比较复指数形式双边谱复指数形式双边谱三角函数形式单边谱三角函数形式单边谱)()0(0021acAcnn4负

29、频率负频率 当当n 取负值时，谐波频率取负值时，谐波频率 为为“负频率负频率”，实际上，实际上角速度按其旋转方向可以有角速度按其旋转方向可以有正有负。正有负。0n0A/2ReImA0 0 -0 0 -3/17/2023480100()(cossin)nnnx taantbnt)(21nnnjbac)(21nnnjbac00ca0()jntnnx tc e1000sincos)(ntntnatxncnc)(ncnc)j(3/17/202349周期信号频谱具有三个特点：周期信号频谱具有三个特点：（1 1）周期信号的频谱是离散的。）周期信号的频谱是离散的。（2 2）每条谱线只出现在基波频率的整数倍）

30、每条谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是诸分量频率的公约数。上，基波频率是诸分量频率的公约数。（3 3）各频率分量的谱线高度表示该谐波的）各频率分量的谱线高度表示该谐波的幅值或相位角。幅值或相位角。3/17/202350三、周期信号的强度表示三、周期信号的强度表示（详见图详见图1-101-10）峰值峰值xp：信号可能出现的最大瞬时值。：信号可能出现的最大瞬时值。(1-20)峰峰-峰值峰值xp-p：在一个周期中最大瞬时值与最小瞬时值之差。：在一个周期中最大瞬时值与最小瞬时值之差。周期信号的均值：周期信号的均值：(常值分量常值分量)周 期 信 号 的 绝 对 均 值：周 期 信 号 的 绝

31、对 均 值：(全波整流全波整流)有 效 值：有 效 值：(信号的均方根值信号的均方根值)有 效 值 的 平 方：有 效 值 的 平 方：(信号的平均功率信号的平均功率)max|)(|txxp000)(1TxdttxT000|)(|1TxdttxT0020rms)(1TdttxTx0020av)(1TdttxTP(1-21)(1-22)(1-23)(1-24)3/17/2023513/17/202352第三节第三节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连续频谱 衰减振荡函数衰减振荡函数t指数衰减函数指数衰减函数x(t)0t矩形脉冲函数矩形脉冲函数x(t)0单一脉冲函数单一脉冲函数tx(t)0

32、tx(t)0一傅里叶变换一傅里叶变换 (Fourier transform)周期为周期为T T0 0 的信号的信号 其频谱是其频谱是离散离散的，当的，当 时，频率间隔时，频率间隔 无穷小，谱线无限靠近，无穷小，谱线无限靠近，最后演变成一条连续曲线。所以非周期信号的最后演变成一条连续曲线。所以非周期信号的频谱频谱是连续的是连续的，可理解为将非周期信号由无限多个频率，可理解为将非周期信号由无限多个频率无限接近的频率成分所组成的。无限接近的频率成分所组成的。)(tx0T002T 3/17/202353设有一个周期信号在设有一个周期信号在 )2,2(00TT区间以傅里叶级数表示为区间以傅里叶级数表示为

33、 tjnnnectx0)(式中式中 000/20/21()TjntnTcx t edtT代入上式代入上式 0000/20/21()()TjntjntTx tx t edt eT0T 当d2210dT0n tjtjedtetxdtx)(2)(1()()2j tj tx tx t edt ed(1-25)著名的付里叶积分著名的付里叶积分 000212TT，3/17/202354上式圆括号中积分后为上式圆括号中积分后为的函数，的函数，dtetxXtj)(21)(deXtxtj)()(傅立叶变换傅立叶变换 （1-26）傅立叶逆变换傅立叶逆变换 （1-27）两者为付里叶变换对，可记为两者为付里叶变换对，

34、可记为)()(Xtx把把=2=2f 代入代入(1-25)1-25)中，则中，则(1-26)1-26)(1-27)1-27)变为变为dtetxfXftj2)()(dfefXtxftj2)()(（1-28）（1-29）二者关系为二者关系为 )(2)(XfX(1-30)记为记为X()3/17/202355式中式中 为信号为信号 的连续幅频谱，的连续幅频谱，为连续相频谱。为连续相频谱。)(fX)(tx)(f一般一般 是实变量是实变量f f 的复函数，可以写成的复函数，可以写成 )(fX)()()(fjefXfX（1-31）注意：非周期信号的幅频谱注意：非周期信号的幅频谱 和周期信号幅频谱和周期信号幅频

35、谱 )(fXnc很相似，但两者是差别的，表现在量纲上。很相似，但两者是差别的，表现在量纲上。)(fX的量纲与信号幅值量纲不一样，它是单位频的量纲与信号幅值量纲不一样，它是单位频宽上的幅值，更确切地说宽上的幅值，更确切地说 是频谱密度是频谱密度函数。函数。)(fX 量纲与信号幅值的量纲一样。量纲与信号幅值的量纲一样。nc3/17/202356例例1-3 求矩形窗函数求矩形窗函数 w(t)的频谱的频谱 定义：定义：01)(tw22TTtt（1-32）解：解：)(21)()(2222fTjfTjTTftjftjeefjdtedtetwfW根据欧拉公式根据欧拉公式 )(21)sin(fTjfTjeej

36、fT代入上式代入上式 )(sinsinsin)(fTcTfTfTTffTfW（1-33）式中式中 T窗宽窗宽 3/17/202357上式中定义上式中定义 sinsinc图形见右图图形见右图 13434-0 2 2sinc 函数只有实部，没有虚部。其幅频谱为函数只有实部，没有虚部。其幅频谱为 )(fW)(sin)(fTcTfW（1-34）其相位频谱视其相位频谱视 的符号而定，当的符号而定，当 为正值时相角为零，为负值时相角为为正值时相角为零，为负值时相角为 )(sinfTc)(sinfTc3/17/2023581-T/2T/2 t0w(t)IeRe0Re-4/T-3/T -2/T 1/T1/T

37、2/T 3/T 4/Tf-3/T-2/Tf3/T2/T-1/T1/T0TW(f)(f)0图图 1-123/17/202359二傅里叶变换的主要性质二傅里叶变换的主要性质 傅里叶变换把信号的时域与频域描述建立对应关系傅里叶变换把信号的时域与频域描述建立对应关系 )()(Xtx（一）奇偶虚实性（一）奇偶虚实性一般一般X X(f f)是实变量是实变量f f的复变函数，由欧拉公式可写成的复变函数，由欧拉公式可写成 )()()2sin2)(cos()()(2fXjIfXRdtftjfttxdtetxfXmeftj（1-351-35）式中式中 ftdttxfXRe2cos)()(（1-36）ftdttxf

38、XIm2sin)()(（1-37）3/17/202360 x(t t)为实函数为实函数 )(fX实部为偶函数实部为偶函数 ()()eeRX fRXf)(fX虚部为奇函数虚部为奇函数 )()(fXIfXImmx(t t)为实偶函数为实偶函数 0)(fXIm)(fX为实偶函数，为实偶函数，)()()(fXfXRfXex(t)为实奇函数为实奇函数 0)(fXRe)(fX为虚奇函数，为虚奇函数，()()()mXfjIXfX f x(t t)为虚偶函数为虚偶函数 0)(fXIm)(fX为虚偶函数，为虚偶函数，()()()eX fjRX fX f x(t t)为虚奇函数为虚奇函数 0)(fXRe为实奇函数

39、，为实奇函数，)(fX)()()(fXfXIfXm此性质有助于估计傅立叶变换对的响应图形性质，减少计算。此性质有助于估计傅立叶变换对的响应图形性质，减少计算。由式（由式（1-36）和（）和（1-37）知）知3/17/202361（二）对称性（二）对称性 若若 )()(fXtx)()(fxtX证明证明:由由 dfefXtxftj2)()(令令 utdfefXuxfuj2)()(u和和f对换对换 dueuXfxfuj2)()(令令u=t 2()()jftxfX t edt所以所以 )()(fxtX证毕证毕0A-T/2T/2t0 x(t)-3/T-2/Tf3/T2/T-1/T1/T0ATX(f)x(

40、f)-f0/2fAf0/2-2/f0t2/f0-1/f01/f00Af0X(t)3/17/202362（三）时间尺度改变特性（三）时间尺度改变特性 若若 )()(fXtx)0(k证明：证明：)(1)(1)()(22kfXkdktektxkdtektxktkfjftj(1)(1)当时间尺度压缩当时间尺度压缩(k1)1)时，图时，图c c其频谱的频带加宽，幅值降低。其频谱的频带加宽，幅值降低。(2)2)当时间尺度扩展当时间尺度扩展(k1)1)时，图时，图a a其频谱的频带边窄，幅值增高。其频谱的频带边窄，幅值增高。(3)(3)压缩时间尺度压缩时间尺度,提高处理信号效率提高处理信号效率,后续处理频带

41、加宽后续处理频带加宽,容易失真。容易失真。(4)4)扩展时间尺度，处理后续信号容易，但效率太低。扩展时间尺度，处理后续信号容易，但效率太低。0X(f)-1/2T1/2TX(f/2)/200-2/T2/T-1/T1/TAT/22ATAT2X(2f)fffAx(2t)-T/2 0 T/2-TTttt-T/4 0 T/4x(t)0AAx(t/2)扩展扩展k=0.5正常正常k=1压缩压缩k=2a)a)b)b)c)c)(1)(kfXkktx3/17/202363(四四)时移和频移特性时移和频移特性 1 1若若 )()(fXtx020()()jftx ttX f e（1-40）证明：证明：dtetxfXf

42、tj2)()(令令t t=t-tt-t0 0 代入上式代入上式 02()0()()jf t tX fx t t edtdteettxfXftjftj0220)()(dtettxfXeftjftj202)()(0所以所以 020)()(ftjefXttx（时移特性）（时移特性）3/17/20236400tt00000013151719()sin()sin(3)sin(5)sin(7)sin(9)232527292xt tttttt00002(-)(-)(-)(-)442Tx t tx tx tx t()x t3/17/202365式式(1-40)(1-40)说明将信号时域中平移，其幅频谱不变，说

43、明将信号时域中平移，其幅频谱不变，而相位谱中相角的改变量而相位谱中相角的改变量 与频率与频率f 成正比，成正比，即即 。02ft三次谐波的频率为三次谐波的频率为3 3f0 ，则相移为则相移为00323()42Tf以教科书以教科书2121页表页表1-11-1的方波相频谱为例，的方波相频谱为例，其中其中 ，则基波频率为，则基波频率为 ，相移为相移为 001Tf002()42Tf400Tt 3/17/2023662如如)()(fXtx020()()jf tx t eX ff（1-41）证明：证明：dfefXtxftj2)()(令令 0fffdfeeffXdfeffXtxtfjftjtffj00220

44、)(20)()()(dfeffXetxftjtfj202)()(0所以所以 020()()jf tx t eXff由欧拉公式知式（由欧拉公式知式（1-411-41）左侧是时域信号）左侧是时域信号x(t t)与与频率为频率为f0 0 的正、余弦信号之和的乘积。的正、余弦信号之和的乘积。（频移特性）（频移特性）000()cos2sin 2()x tf tjf tXff3/17/2023671212()()()()defx tx txx td若若 )()()()(2211fXtxfXtx则则 )()()()(2121fXfXtxtx（1-42）证明：证明：22112122()()()()jftjft

45、Fxtxtxxtdedtxxteddt 交换积分顺序交换积分顺序 ddtetxxftj)()(221根据时移特性根据时移特性 21212()()()()jfxXf edX f Xf（五）卷积定理（五）卷积定理1 1 时域卷积时域卷积 )(1tx)(2tx和和 卷积卷积定义定义为：为：3/17/202368（五）卷积定理（五）卷积定理2 2 频域卷积频域卷积 若若 )()()()(2211fXtxfXtx则则 )()()()(2121fXfXtxtx（1-43）证明：证明：212()()jftXXfdedf 交换积分顺序交换积分顺序 212()()jftXXfedf d根据频移特性根据频移特性

46、21212()()()()jtXxt edxt xt证毕证毕 )(*)(211fXfXF3/17/202369（六）微分和积分特性（六）微分和积分特性 由于由于 dfefXtxftj2)()(（1-29）对式对式(1-29)(1-29)中中t t 进行微分进行微分 2()(2()jftdx teXfdfdtjf)()2()(fXfjdttdx同理同理 )()2()(fXfjdttxdnnn（1-44）3/17/202370对式对式(1-28)(1-28)中中f f 进行微分进行微分 2()()2)jftx tjdXfedtdft)()2()(txtjdffdX同理同理 )()2()(txtjd

47、ffXdnnn（1-45）同样可证明同样可证明 )(21)(fXfjdttxt（1-46）dtetxfXftj2)()(（1-28）3/17/202371三、几种典型信号的频谱三、几种典型信号的频谱（一）矩形窗函数的频谱（一）矩形窗函数的频谱从上例从上例1-31-3中看出：中看出：（1 1）一个时域有限区间内的信号，其频谱却延伸至无限频率。）一个时域有限区间内的信号，其频谱却延伸至无限频率。（2 2）在）在f f=0=01/T1/T之间的谱峰，幅值最大，称为主瓣，两侧峰之间的谱峰，幅值最大，称为主瓣，两侧峰值称为旁瓣。值称为旁瓣。（3 3）主瓣宽度为）主瓣宽度为2/T2/T与时域窗宽度与时域窗

48、宽度T T成反比，成反比，T T截取时间长，截取时间长，主瓣宽度小。主瓣宽度小。（4 4）在时域中截取信号一段记录相当）在时域中截取信号一段记录相当 w w(t t)x x(t t)W W(f f)*X X(f f)1-T/2T/2t0 x(t)IeRe0Re-4/T-3/T -2/T 1/T 1/T;2/T;3/T;4/Tf-3/T-2/Tf3/T2/T-1/T1/T0TW(f)(f)03/17/202372（二）（二）函数及其频谱函数及其频谱 1函数的定义函数的定义 在在时间内激发一个矩形脉冲时间内激发一个矩形脉冲 （或三（或三角脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲等角脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲

49、等),),其面积为其面积为1 1。)(tS当当 时，有时，有 00lim()()S tt0)(t00tt（1-47）从面积从面积(通常称其为通常称其为函数的强度函数的强度)的角度看的角度看0()lim()1t dtSt dt（1-48）t矩形脉冲矩形脉冲-/2 0/21/S(t)01(t)t函数函数3/17/2023732函数的采样性质函数的采样性质由由(t t)函数性质函数性质 )()0()()(tfttf强度为强度为f(0)(0)的的(t t)函数函数 从数值上看从数值上看 )()0(tf从面积（强度）看则为从面积（强度）看则为 f(0)(0)，即，即 )0()()0()()0()()(f

50、dttftfttf(1-49)对于延时对于延时函数函数(t t-t t0 0),),它与它与f(t t)乘积只在乘积只在t t=t t0 0时刻不等于零时刻不等于零即即 )()()()(000tttftttf积分积分 000000()()()()()()()f ttt dtf ttt dtf ttt dtf t(1-50)3/17/202374 从式（从式（1-49）和（）和（1-50）表明）表明:（1）任意函数）任意函数 f(t)与与(t-t0)的乘积是一个强的乘积是一个强度为度为 f(t0)的的函数函数(t-t0)。（2）该乘积在有限区间的积分是）该乘积在有限区间的积分是 f(t)在在t=

51、t0的值的值f(t0)（3）此性质对连续信号的离散采样是十分重）此性质对连续信号的离散采样是十分重要的。要的。3/17/2023753函数与其它函数的卷积函数与其它函数的卷积 x(t t)与与函数的卷积为函数的卷积为 dtxttx)()()()(由于由于函数为函数为偶函数偶函数 dtxttx)()()()(所以所以 )()()(txttx（1-511-51）同理当同理当函数为函数为(t t t t0 0)时时 dttxtttx)()()()(000()()xttd )()()(00ttxtttx可见可见,函数函数x(t)与与函数的卷积结果就是发生在函数的卷积结果就是发生在函数坐标函数坐标位置上

52、位置上(坐标原点坐标原点)简单将函数重构图。简单将函数重构图。A0tx(t)*(t)0tAx(t)01t(t)-t0 0 t0tx(t)*(t+t0)x(t)*(t-t0)x(t)*(tt0)0tx(t)t-t0 0 t0(t+t0)(t-t0)(tt t0 0)3/17/2023764(t)的频谱密度的频谱密度 1)()(02edtetfftj(1-53)其逆变换为其逆变换为 dfetftj21)(1-54)f01(f)t01(t t)函数具有无限宽频谱，而且是等强度的，也称为函数具有无限宽频谱，而且是等强度的，也称为“均匀谱均匀谱”。根据付里叶变换的对称性质、时移性质和频移性质，可得到以根

53、据付里叶变换的对称性质、时移性质和频移性质，可得到以下付里叶变换对下付里叶变换对 时时 域域 频频 域域 (t t)1)1 （单位瞬时脉冲）（单位瞬时脉冲）（均匀频谱密度函数）（均匀频谱密度函数）1 (1 (f f)（幅值为（幅值为1 1的直流量）的直流量）（在（在f f=0=0处有脉冲谱线）处有脉冲谱线）(t t-t t0 0)e)e-j j2 2ftft0 0 （函数时移函数时移t t0 0）(各频率成分分别相移各频率成分分别相移-2ft-2ft0 0)e ej j2 2ff0 0 t t (f f-f f0 0)(复数指数函数复数指数函数)（将（将（f f）频移到）频移到f f0 0）(

54、1-55)3/17/202377（三）正、余弦函数的频谱密度函数（三）正、余弦函数的频谱密度函数 据欧拉公式可推出据欧拉公式可推出 )(22sin00220tfjtfjeejtf)(212cos00220tfjtfjeetf用式用式(1-55)傅里叶傅里叶变换对变换对 )()(22sin000ffffjtf)()(212cos000fffftf(1-56)(1-57)看出：正、余弦函数是把频域中两个看出：正、余弦函数是把频域中两个函数向不同方向频函数向不同方向频移后的差或和的付里叶逆变换，参见函数和频谱图。移后的差或和的付里叶逆变换，参见函数和频谱图。1/21/2-f0f0-f0f0-1/21

55、/200ffImX(f)x(t)=cos2f0tx(t)=sin2f0t00ttReX(f)频谱密度频谱密度3/17/202378（四）周期单位脉冲序列的（四）周期单位脉冲序列的频谱密度频谱密度此序列常称为此序列常称为梳状函数梳状函数，并用，并用comb(t,Tcomb(t,Ts s)表示表示 (,)()defssncomb t TtnT（1-58）式中式中Ts周期周期 n=1,1,2,2,因此，此函数是周期函数。因此，此函数是周期函数。表示为复指数函数形式表示为复指数函数形式 ktkfjksseCTtcomb2),(（1-59）式中式中 fs=1/Ts，系数，系数Ck为为 222),(1ss

56、sTTtkfjsskdteTtcombTC因为在因为在 区间内，式（区间内，式（1-581-58）中只有一个）中只有一个函数函数(t t)，且且 ),(22ssTT2001|sjkf ttee所以所以 2221),(1sssTTstkfjsskTdteTtcombTC3/17/202379式（式（1-59）变成）变成 21(,)sjkf tskscomb t TeT根据式（根据式（1-55）tkfjse2)(skff 可得可得comb(t,T(t,Ts s)函数频谱函数频谱comb(f,fs s)也是梳状函数也是梳状函数 kksssssTkfTkffTffcomb)(1)(1),(1-60)由

57、图可见时域周期单位脉冲序列的频谱也是周期脉冲序列。由图可见时域周期单位脉冲序列的频谱也是周期脉冲序列。时域周期为时域周期为Ts，脉冲强度为，脉冲强度为1 1，频谱周期为，频谱周期为1/Ts，强度为，强度为1/Ts。-3/Ts-1/Ts 0 1/Ts 3/Ts-2Ts -Ts 0 Ts 2Tsft1/Ts1Comb(f,fs)Comb(t,Ts)图图1-20 1-20 周期单位脉冲序列及其频谱周期单位脉冲序列及其频谱3/17/202380第一章作业 教科书40-41页，思考题与习题1-31-51-6下次课交作业结 束3/17/202381()幅幅频谱频谱7 705 503 300A()相相频谱频

58、谱7 705 503 300tA-Ax(t)T0/2-T0/2T0T0/3T0/54A/4A/34A/54A/7T0/73/17/202382 狄里赫利条件：狄里赫利条件：（1 1）在一个周期内只有有限个不连续点。）在一个周期内只有有限个不连续点。（2 2）在一个周期内只有有限个极大值和极小值。）在一个周期内只有有限个极大值和极小值。存在22)(TTdttf（3 3）3/17/202383证明证明(t t)函数为偶函数函数为偶函数 由由()()(0)()(0)()(0)x tt dtxt dtxt dtx(A)令令t =-t 代入代入()()()()()()()()()(0)x tt dtxt

59、t dtxtt dtxtt dtx()()(0)x tt dtx(B)比较比较(A)和和(B)两式，有两式，有()()tt得到得到()()?x tt dt 3/17/202384卷积积分的图解计算方法与步骤卷积积分的图解计算方法与步骤反转反转：将：将x2()以纵轴为对称轴反转得到以纵轴为对称轴反转得到x2(-)平移平移：将：将x2(-)随参变量随参变量 t 平移，得到平移，得到x2(-+t)定上下限定上下限:根据根据x1()和和x2(t-)相乘公共区域定积分上下限相乘公共区域定积分上下限积分积分：x1()和和x2(t-)乘积曲线下的面积即为乘积曲线下的面积即为 t 时刻的卷积值时刻的卷积值12

60、12()()()()d e fxtxtxxtd 两个函数两个函数 和和 卷积定义为卷积定义为 )(1tx)(2tx例：已知函数例：已知函数求求y(t)=x1()*x2(t-),1,01)(TtTttx其它0,02)(Tttttx其它0 0 x2()TT0 0 x1()T-T1 1t-Tx2(-)x2(-+t)x2(-+t)3/17/2023850 0 x1()T-T1 1x2(t-)t2Ttt-Te)0 0 x1()T-T1 1x2(t-)t-Ttt-Ta)0 0 x1()T-T1 1x2(t-)0tTtt-Tc)0 0 x1()T-T1 1x2(t-)-Tt0tt-Tb)a)和和e)两种情况下两种情况下x1()和和x2(t-)无重无重叠部分，乘积为叠部分，乘积为零，所以零，所以y(t)=02222121212121)()()()()()(|TTtttdtdtxxtxtxtytTtTtT2)()()()()()(22121TdtdtxxtxtxtytTttTt2)()()()()()(22121tTtdtdtxxtxtxtyTTtTTt0 0 x1()T-T1 1x2(t-)Tt2Ttt-Td)