初中全等三角形提高练习

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1、初中全等三角形提高练习 全等三角形提高练习 1. 如图所示，ABCADE，BC的延长线过点E，ACB=AED=105，CAD=10，EB=50，求DEF的度数。 F A 2. 如图，AOB中，B=30，将AOB绕点O顺时针旋转52，得到AOB，边AB与边OB交于点C，则ACO的度数为多少？ AC AO3. 如图所示，在ABC中，A=90，D、E分别是AC、BC上的点，若ADBEDBAEDC，则C的度数是多少？ D BE 4. 如图所示，把ABC绕点C顺时针旋转35，得到ABC，AB交AC于点D，若ADC=90，则A= A D B B 5. 已知，如图所示，AB=AC，ADBC于D，且AB+AC

2、+BC=50cm,而AB+BD+AD=40cm，则AD是多少？ A6. 如图，RtABC中，BAC=90，AB=AC，分别过点B、C作过点A的垂线BC、CE，垂足分别为D、E，若BD=3，CE=2，则DE= B D第 1 页 共 1 页 DCBBBCACCDBCEA7. 如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是E、F，连接EF，交ADA于G，AD与EF垂直吗？证明你的结论。 E G BD8. 如图所示，在ABC中，AD为BAC的角平分线，DEAB于E，DFAC于F，ABC2A的面积是28cm,AB=20cm，AC=8cm，求DE的长。 E BD A9. 已知，如图：AB=A

3、E，B=E，BAC=EAD，CAF=DAF，求证：AFCD B C F10. 如图，AD=BD，ADBC于D，BEAC于E，AD与BE相交于点H，则BH与AC相等吗？A为什么？ E HB D11. 如图所示，已知，AD为ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，AFD=CD，求证：BEAC F BD 12. DAC、EBC均是等边三角形，AF、BD分别与CD、CE交于点M、N，求证：AE=BD ECM=CN CMN为等边三角形 MNBC DM第 2 页 共 2 页 FCFCEDCECNCBA13. 已知：如图1，点C为线段AB上一点，ACM、CBN都是等边三角形，AN交MC于

4、点E，BM交CN于点F 求证：AN=BM 求证：CEF为等边三角形 14. 如图所示，已知ABC和BDE都是等边三角形，下列结论：AE=CD；BF=BG；BHE平分AHD；AHC=60；BFG是等边三角形；FGAD，其中正确的有 A3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 CH GF DA B15. 已知：BD、CE是ABC的高，点F在BD上，BF=AC，点G在CE的延长线上，CG=AB，GA求证：AGAF E D F BC 16. 如图：在ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的A延长线上截取CG=AB，连结AD、AG G求证：AD=AG FE AD与

5、AG的位置关系如何 DHBCDA17如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且DAE=FAE 求证：AF=AD-CF E BC F 第 3 页 共 3 页 18如图所示，已知ABC中，AB=AC，D是CB延长线上一点，ADB=60，E是AD上一点，A且DE=DB，求证：AC=BE+BC E DB 19如图所示，已知在AEC中，E=90，AD平分EAC，DFAC，垂足为F，DB=DC，求证：BE=CF E DB AF20已知如图：AB=DE，直线AE、BD相交于C，B+D=180，AFDE，交BD于AF，求证：CF=CD BCF 21如图，OC是AOB的平分线，P是OC上一点，

6、PDOA于D，PEOB于E，F是OC上一A点，连接DF和EF，求证：DF=EF D PCF EB22已知：如图，BFAC于点F，CEAB于点E，且BD=CD，求证：BDECDF B点D在A的平分线上 ED AF CCDEOC 第 4 页 共 4 页 23如图，已知ABCD，O是ACD与BAC的平分线的交点，OEAC于E，且OE=2，则ABA与CD之间的距离是多少？ EO C24如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AMBN，按下列要求画图并回答： 画MAB、NBA的平分线交于E AEB是什么角？ 过点E作一直线交AM于D，交BN于C，观察线段DE、CE，你有何发现？ 无论DC的两端点在

7、AM、BN如何移动，只要DC经过点E，AD+BC=AB；AD+BC=CDA谁成立？并说明理由。 BC25如图，ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将ABC分为三个三角形，则SABO：SBCO：SCAO等于？ BDDMENBOCA26正方形ABCD中，AC、BD交于O，EOF=90，已知AE=3，CF=4，则SBEF为多少？ A E B27如图，在RtABC中，ACB=45，BAC=90，AB=AC，点D是AB的中点，AFCDA于H，交BC于F，BEAC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE DE PB FEODFCC 第 5 页 共 5 页 28在ABC中

8、，ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E 当直线MN绕点C旋转到图的位置时，求证：DE=AD+BE 当直线MN绕点C旋转到图的位置时，求证：DE=AD-BE 当直线MN绕点C旋转到图的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系。 M M DCC END AAB 图1图2E N 第 6 页 共 6 页 MCEDAB图3N 1 解：ABCAED D=B=50 ACB=105 ACE=75 CAD=10 ACE=75 EFA=CAD+ACE=85 同理可得DEF=EFA-D=85-50=35 2 根据旋转变换的性质可得B=B，因为AOB绕

9、点O顺时针旋转52，所以BOB=52，而ACO是BOC的外角，所以ACO=B+BOB，然后代入数据进行计算即可得解 解答：解：AOB是由AOB绕点O顺时针旋转得到，B=30， B=B=30， AOB绕点O顺时针旋转52， BOB=52， ACO是BOC的外角， ACO=B+BOB=30+52=82 故选D 3 全等三角形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理 分析：根据全等三角形的性质得出A=DEB=DEC，ADB=BDE=EDC，根据邻补角定义求出DEC、EDC的度数，根据三角形的内角和定理求出即可 解答：解：ADBEDBEDC， A=DEB=DEC，ADB=BDE=EDC， DEB+DE

10、C=180，ADB+BDE+EDC=180， DEC=90，EDC=60， C=180-DEC-EDC， =180-90-60=30 4分析：根据旋转的性质，可得知ACA=35，从而求得A的度数，又因为A的对应角是A，即可求出A的度数 解答：解：三角形ABC绕着点C时针旋转35，得到ABC ACA=35，ADC=90 A=55， A的对应角是A，即A=A， A=55； 故答案为：55 点评：此题考查了旋转地性质；图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变解题的关键是正确确定对应角 5因为AB=AC 三角形

11、ABC是等腰三角形 所以 AB+AC+BC=2AB+BC=50 BC=50-2AB=2(25-AB) 又因为AD垂直于BC于D，所以 BC=2BD BD=25-AB AB+BD+AD=AB+25-AB+AD=AD+25=40 AD=40-25=15cm 6 解：BDDE，CEDE D=E BAD+BAC+CAE=180 又BAC=90， BAD+CAE=90 第 7 页 共 7 页 在RtABD中，ABD+BAD=90 ABD=CAE 在ABD与CAE中 ABD=CAE D=E AB=AC ABDCAE BD=AE，AD=CE DE=AD+AE DE=BD+CE BD=3，CE=2 DE=5

12、7证明：AD是BAC的平分线 EADFAD 又DEAB，DFAC AEDAFD90 边AD公共 RtAEDRtAFD AEAF 即AEF为等腰三角形 而AD是等腰三角形AEF顶角的平分线 AD底边EF 8 AD平分BAC，则EAD=FAD，EDA=DFA=90度，AD=AD 所以AEDAFD DE=DF SABC=SAED+SAFD 28=1/2(AB*DE+AC*DF)=1/2(20*DE+8*DE) DE=2 9AB=AE，B=E，BAC=EAD 则ABCAED AC=AD ACD是等腰三角形 CAF=DAF AF平分CAD 则AFCD 10 解：ADBC ADBADC90 CAD+C90

13、 BEAC BECADB90 CBE+C90 CADCBE ADBD BDHADC BHAC 11 解：证明：ADBC，BDA=ADC=90， 12=90. 在RtBDF和RtADC中， RtBDFRtADC. 2=C. 第 8 页 共 8 页 12=90，所以1C=90. 1CBEC=180， BEC=90. BEAC； 12 证明：DAC、EBC均是等边三角形， AC=DC，EC=BC，ACD=BCE=60， ACD+DCE=BCE+DCE，即ACE=DCB 在ACE和DCB中， AC=DC ACE=DCB EC=BC ACEDCB AE=BD 由可知：ACEDCB， CAE=CDB，即C

14、AM=CDN DAC、EBC均是等边三角形， AC=DC，ACM=BCE=60 又点A、C、B在同一条直线上， DCE=180-ACD-BCE=180-60-60=60， 即DCN=60 ACM=DCN 在ACM和DCN中， CAM=CDN AC=DC ACM=DCN ACMDCN CM=CN (3)由可知CM=CN,DCN=60 CMN为等边三角形 (4)由(3)知CMN=CNM=DCN=60 CMN+MCB=180 MN/BC 13分析：由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由SAS得到CANMCB，结论得证； 由中的全等可得CAN=CMB，进而得出MCF=ACE，由ASA得出

15、CAECMF，即CE=CF，又ECF=60，所以CEF为等边三角形 解答：证明：ACM，CBN是等边三角形， AC=MC，BC=NC，ACM=60，NCB=60， 在CAN和MCB中， AC=MC，ACN=MCB，NC=BC， CANMCB， AN=BM CANCMB， CAN=CMB， 又MCF=180-ACM-NCB=180-60-60=60， MCF=ACE， 在CAE和CMF中， CAE=CMF，CA=CM，ACE=MCF， CAECMF， CE=CF， CEF为等腰三角形， 又ECF=60， CEF为等边三角形 点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等边三角形的判定问题，能够

16、掌握并熟练运用 14考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质 第 9 页 共 9 页 分析：由题中条件可得ABECBD，得出对应边、对应角相等，进而得出BGDBFE，ABFCGB，再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出结论 解答：解：ABC与BDE为等边三角形，AB=BC，BD=BE，ABC=DBE=60， ABE=CBD， 即AB=BC，BD=BE，ABE=CBD ABECBD， AE=CD，BDC=AEB， 又DBG=FBE=60， BGDBFE， BG=BF，BFG=BGF=60， BFG是等边三角形， FGAD， BF=BG，AB=BC，ABF=CBG=60

17、， ABFCGB， BAF=BCG， CAF+ACB+BCD=CAF+ACB+BAF=60+60=120， AHC=60， FHG+FBG=120+60=180， B、G、H、F四点共圆， FB=GB， FHB=GHB， BH平分GHF， 题中都正确 故选D 点评：本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握 15考点：全等三角形的判定与性质分析：仔细分析题意，若能证明ABFGCA，则可得AG=AF在ABF和GCA中，有BF=AC、CG=AB这两组边相等，这两组边的夹角是ABD和ACG，从已知条件中可推出ABD=ACG在RtAGE中， G+GAE=90，而G=BAF

18、，则可得出GAF=90，即AGAF 解答：解：AG=AF，AGAF BD、CE分别是ABC的边AC，AB上的高 ADB=AEC=90 ABD=90-BAD，ACG=90-DAB， ABD=ACG 在ABF和GCA中 BF=AC ABD=ACG AB=CG ABFGCA AG=AF G=BAF 又G+GAE=90度 BAF+GAE=90度 GAF=90 AGAF 点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；要求学生利用全等三角形的判定条件及等量关系灵活解题，考查学生对几何知识的理解和掌握，运用所学知识，培养学生逻辑推理能力，范围较广 16 1、证明： BEAC AEB90 ABE+BAC90 CFA

19、B AFCAFG90 第 10 页 共 10 页 ACF+BAC90，G+BAG90 ABEACF BDAC，CGAB ABDGCA AGAD 2、AGAD 证明 ABDGCA BADG GADBAD+BAGG+BAG90 AGAD 17过E做EGAF于G，连接EF ABCD是正方形 D=C=90 AD=DC DAE=FAE，EDAD，EGAF DE=EG AD=AG E是DC的中点 DE=EC=EG EF=EF RtEFGRtECF GF=CF AF=AG+GF=AD+CF 18因为：角EDB=60DE=DB 所以：EDB是等边三角形，DE=DB=EB 过A作BC的垂线交BC于F 因为：AB

20、C是等腰三角形 所以：BF=CF，2BF=BC 又：角DAF=30 所以：AD=2DF 又：DF=DB+BF 所以：AD=2=2DB+2BF= =2DB+BC，其中ED=DB 所以：AE=DB+BC，AE=BE+BC 19补充：B是FD延长线上一点； ED=DF； BD=CD； 角EDB=FDC； 则三角形EDB全等CDF；则BE=CF； 或者补充：B在AE边上； ED=DF； DB=DC 则两直角三角形EDB全等CDF 即BE=CF 20解：AF/DE D=AFC BD=180,，AFCAFB=180 B=AFB AB=AF=DE AFC和EDC中： 第 11 页 共 11 页 B=AFB,

21、ACF=ECD(对顶角）,AF=DE AFCEDC CF=CD 21 证明：点P在AOB的角平分线OC上，PEOB，PDAO， PD=PE，DOP=EOP，PDO=PEO=90， DPF=EPF， 在DPF和EPF中 PD=PE DPF=EPF PF=PF ， DPFEPF DF=EF 22 考点：全等三角形的判定与性质 专题：证明题 分析：根据全等三角形的判定定理ASA证得BEDCFD； 连接AD利用中的BEDCFD，推知全等三角形的对应边ED=FD因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以点D在A的平分线上 解答：证明：BFAC，CEAB，BDE=CDF， B=C； 在RtBED和RtC

22、FD中， B=C BD=CD(已 知) BDE=CDF ， BEDCFD； 连接AD 由知，BEDCFD， ED=FD， AD是EAF的角平分线，即点D在A的平分线上 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质常用的判定方法有：ASA，AAS，SAS，SSS，HL等，做题时需灵活运用 23考点：角平分线的性质 分析：要求二者的距离，首先要作出二者的距离，过点O作FGAB，可以得到FGCD，根据角平分线的性质可得，OE=OF=OG，即可求得AB与CD之间的距离 第 12 页 共 12 页 解答：解：过点O作FGAB， ABCD， BFG+FGD=180， BFG=90， FGD=90， FGCD，

23、FG就是AB与CD之间的距离 O为BAC，ACD平分线的交点，OEAC交AC于E， OE=OF=OG， AB与CD之间的距离等于2OE=4 故答案为：4 点评：本题主要考查角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，作出AB与CD之间的距离是正确解决本题的关键 24考点：梯形中位线定理；平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质 专题：作图题；探究型 分析：由两直线平行同旁内角互补，及角平分线的性质不难得出1+3=90，再由三角形内角和等于180，即可得出AEB是直角的结论； 过E点作辅助线EF使其平行于AM，由平行线的性质可得出各角之间的关系，进一步求出边之间的关系； 由中得出的结论可知E

24、F为梯形ABCD的中位线，可知无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，AD+BC的值总为一定值 解答：解：AMBN， MAB+ABN=180， 又AE，BE分别为MAB、NBA的平分线， 1+3= 1 2 =90， AEB=180-1-3=90， 即AEB为直角； 过E点作辅助线EF使其平行于AM，如图则EFADBC， AEF=4，BEF=2， 3=4，1=2， AEF=3，BEF=1， AF=FE=FB， F为AB的中点，又EFADBC， 根据平行线等分线段定理得到E为DC中点， ED=EC； 第 13 页 共 13 页 由中结论可知，无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只

25、要DC经过点E， 总满足EF为梯形ABCD中位线的条件，所以总有AD+BC=2EF=AB 点评：本题是计算与作图相结合的探索对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质，三角形内角和定理，及梯形中位线等基础知识解决问题的能力都有较高的要求 25 如图，ABC的三边AB，BC，CA长分别是20，30，40，其三条角平分线将ABC分为三个三角形，则SABO：SBCO：SCAO等于 A1：1：1 B1：2：3 C2：3：4 D3：4：5 考点：角平分线的性质 专题：数形结合 分析：利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之

26、比就是2：3：4 解答：解：利用同高不同底的三角形的面积之比就是底之比可知选C 故选C 点评：本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形的面积公式做题时应用了三个三角形的高时相等的，这点式非常重要的 26解： 正方形ABCD ABBC，AOBOCO，ABCAOBCOB90，ABOBCO45 BOF+COF90 EOF90 BOF+BOE90 COFBOE BOECOF BECF CF4 BE4 AE3 ABAE+BE3+47 BFBC-CF7-43 SBEFBEBF/243/26 27考点：线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质 专题：证明题 分析：证明出DBPEBP，

27、即可证明BC垂直且平分DE 解答：证明：在ADC中，DAH+ADH=90，ACH+ADH=90， DAH=DCA， BAC=90，BEAC， CAD=ABE=90 又AB=CA， 在ABE与CAD中， DAH= DCA CAD=第 14 页 共 14 页 ABE AB=AC ABECAD， AD=BE， 又AD=BD， BD=BE， 在RtABC中，ACB=45，BAC=90，AB=AC， 故ABC=45 BEAC， EBD=90，EBF=90-45=45， DBPEBP， DP=EP， 即可得出BC垂直且平分DE 点评：此题关键在于转化为证明出DBPEBP通过利用图中所给信息，证明出两三角形相似， 而证明相似可以通过证明角相等和线段相等来实现 28 1）证明：ACB=90， ACD+BCE=90， 而ADMN于D，BEMN于E， ADC=CEB=90，BCE+CBE=90， ACD=CBE 在RtADC和RtCEB中，ADC=CEBACD=CBE AC=CB， RtADCRtCEB， AD=CE，DC=BE， DE=DC+CE=BE+AD； 证明：在ADC和CEB中，ADC=CEB=90ACD=CBE AC=CB， ADCCEB， AD=CE，DC=BE， DE=CE-CD=AD-BE； DE=BE-AD证明的方法与相同已赞同9| 评论(2) 第 15 页 共 15 页