数理统计复习题第章

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1、数理统计复习题第章 第七章 假设检验 三、典型题解 例1：某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.当机器正常时, 其均值为0.5千克, 标准差为0.015千克.某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(千克): 0.498 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 问机器是否正常? 解: 根据样本值判断m=0.5还是m0.5.提出两个对立假设H0:m=m0=0.5和H1:mm0 选择统计量：Z=X-m0s/nN(0,1)取定a=0.05，则za/2=z0.025=1

2、.96又,已知 n=9, s=0.015, 由样本计算得x=0.511，即有H0, 认为包装机工作不正常. x-m0s/n=2.21.96，于是拒绝假设例2：某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布N(m,s)，2m=40cm/s,s=2cm/s，现用新方法生产了一批推进器，从中随机取n=25只，测得燃烧率的样本均值为x=41.25cm/s.设在新方法下总体均方差仍为2cm/s，问这批推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显著的提高？ 解：根据题意需要检验假设 H0:m?m040, H1:mm0, 这是右边检验问题，拒绝域为z=x-m0s/n?z0.051.645，由z=x-m0

3、s/n=3.1251.z645可得值落到拒绝域中故在显著性水平a=0.05 下拒绝 H0.即认为这批推进器的燃烧率较以往有显著提高. 例3：某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批产品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下: 10.410.610.110.410.510.310.310.210.910.610.810.510.710.210.7平a=0.05） 解：因为XN(m,s), s=0.15，要检验假设 2假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变化, 试问该机工作是否正常? 解：需要检验假设H0: m1-m20, H1:

4、m1-m20.分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本方差： n1=10,x=76.23,s1=3.325,n2=10,y=79.43,s2=2.225, 且sw222(10-1)s12+(10-1)s22=2.775,查表可知t0.05(18)=1.7341,查表7-1知其拒绝10+10-2域t-ta(n1+n2-2).因为t=x-y,所以拒绝=-4.295-t0.05(18)=-1.734111sw+1010H0, 即认为建议的新操作方法较原来的方法为优. 例7：有两台光谱仪Ix , Iy ,用来测量材料中某种金属的含量, 为鉴定它们的测量结果有无显著差异, 制备了9件试块(它们的成分、

5、金属含量、均匀性等各不相同), 现在分别用这两台机器对每一试块测量一次, 得到9对观察值如下: x(%)y(%)0.200.300.100.210.400.520.500.320.600.780.700.800.901.000.590.680.770.89 d=x-y(%)0.100.09-0.120.18-0.180.110.120.130.11问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异? (a=0.01) 解：本题中的数据是成对的, 即对同一试块测出一对数据, 我们看到一对与另一对之间的差异是由各种因素, 如材料成分、金属含量、均匀性等因素引起的. 这也表明不能将光谱仪Ix 对9个试块的测

6、量结果(即表中第一行)看成是一个样本, 同样也不能将表中第二行看成一个样本, 因此不能用表7-3中第1栏的检验法作检验. 而同一对中两个数据的差异则可看成是仅由这两台仪器性能的差异所引起的. 这样, 局限于各对中两个数据来比较就能排除种种其他因素, 而只考虑单独由仪器的性能所产生的影响.表中第三行表示各对数据的差di=xi-yi,设d1,d2,L,dn来自正态总体N(md,s2)，这里 md，s2均为未知，若两台机器的性能一样,则对各数据的差异d1,d2,L,dn属随机误差随机误差可以认为服从正态分布, 其均值为零. 要检验假设H0: md=0, H1: md 0.设d1,d2,L,dn,的样

7、本均值d样本方差s,按表7-1中第1栏中关于单个正态分布均值的 t 检验, 知拒绝域为： 2 t=d-0ta/2(n-1), 由n=9,ta/2(8)=t0.005(8)=3.3554,d=0.06,s=0.1227,可s/n知t=1.46744.314，所以拒绝 H0，认为这批电池的寿命的波动性较s025000以往的有显著的变化. 2例9:一自动车床加工零件的长度服从正态分布N(m,s)，原来加工精度s0=0.18，经2过一段时间生产后，抽取这车床所加工的n=31个零件，测得数据如下所示： 长度xi 10.1 10.3 10.6 11.2 11.5 11.8 12.0 频数ni 1 3 7

8、10 6 3 1 问这一车床是否保持原来得加工精度. 解：由题意要检验假设H0:s22=0.18;H1:s20.18，此时我们只要考虑单侧的情形，7n1(xi-x)2=44.5，对于给定的a=0.05，查自由度由题中所给的数据计算得：c=0.18i=12为n-1=30的c分布分位数表得临界值c0.95(30)=43.8，此时cc0.95(30)，因此222拒绝原假设H0，这说明自动车床工作一段时间后精度变差. 对于单个正态总体有关方差检验的问题，我们可用c检验来解决，但如果要比较两个正态总体的方差是否相等，我们就要用下面的F检验. 例10: 一枚骰子掷了100次，得结果如下表 点数 1 2 3

9、 4 5 6 2频数fi 13 14 20 17 15 21 在a=0.05下，检验这枚骰子石头均匀？ 解：用X表示骰子掷出的点数，Px=i=pi，i=1,2,.,6.如果骰子是均匀的的，则pi=1/6，i=1,2,.,6.检验假设 H0：pi=1/6 计算统计量c的观察值，得 2c2=(13-100210021002100)+(14-)+.+(21-)?66663.2 22查表得c0.05(6-1)=11.071.经比较知c2=3.2U0.025=1.96，即认为该天生产的灯泡的寿命均值m1600小时. 2.某化学日用品有限责任公司用包装机包装洗衣粉, 洗衣粉包装机在正常工作时, 装包量XN

10、(500,22)(单位:g), 每天开工后, 需先检验包装机工作是否正常. 某天开工后, 在桩号的洗衣粉中任取9袋, 其重量如下: 505,499,502,506,498,498,497,510,503 假设总体标准差s不变,即s=2, 试问这天包装机工作是否正常?(a=0.05) 参考答案：， 3.已知某种电子元件的平均寿命为3000小时.采用新技术后抽查20个，测得电子元件寿命的样本均值x=3100小时，样本标准差s=170小时.设电子元件的寿命服从正态分布，试问采用新技术后电子元件的平均寿命是否有显著提高？(取显著性水平a=0.01) 参考答案：t=2.63t0.99(19)=2.54，

11、认为采用新技术后电子元件的平均寿命有显著提高. 4. 某次考试学生成绩服从正态分布，从中随机抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5，标准差为15，在显著性水平a=0.05下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩高于70分？ 参考答案：t=-1.4t0.05=1.6869，故认为这次考试全体考生成绩不高于70分. 5.从甲地发送讯号到乙地，甲地发送的真实讯号值为，而乙地收到的讯号值是服从正态分布N(m,s2)的随机变量.现甲地重复发送同一讯号9次，乙地收到的讯号平均值为8.15，标准差为0.2，试问乙地是否有理由猜测甲地发送的讯号值为8？如果已知s=s0=0.22，结论又该如何呢？(取显著

12、性水平a=0.05) 参考答案：|t|=2.25c0.95(29)=42.6,即可认为该自动车床的加工精度变差了. 7.某灯泡厂在采用一种新工艺的前后，分别抽取10个灯泡进行寿命(单位：小时)检测，计算得到：采用新工艺前灯泡寿命的样本均值为2460，样本标准差为56；采用新工艺后灯泡寿命的样本均值为2550，样本标准差为48.设灯泡的寿命服从正态分布，是否可以认为采用新工艺后灯泡的平均寿命有显著提高(取显著性水平a=0.01)? 2参考答案：因为未知方差未知，为此先检验假设H0:s12=s2H1:s122，得s2F=1.36F0.95(9,=9),即认为两者无显著差异，再检验H0:m3.181

13、倡m2H1:m1m2得，t=-3.86-t0.99(18)=-2.55，可认为采用新工艺后灯泡的平均寿命有显著提高. 8.机床厂某日从两台机器所加工的同一种零件中，分别抽取若干个测量其尺寸，得： 甲机器的：6.2,5.7,6.5,6.0,6.3,5.8,5.7,6.0,6.0,5.8,6.0; 乙机器的：5.6,5.9,5.6,5.7,5.8,6.0,5.5,5.7,5.5. 问这两台机器的加工精度是否有显著差异(a=0.05）？ 参考答案：F0.975(10,8)=11=F=2.13F0.025(10,8)=4.30，即没有发F0.025(8,10)3.85现两台机器加工零件的尺寸的精度有显

14、著性差别. 9.某校毕业班历年语文毕业成绩接近N(78.5,7.6)今年毕业40名学生，平均分数76.4分，有人说这届学生的语文水平和历届学生相比不相上下，这个说法能接受吗？ 参考答案：U=1.75t0.05(19)=1.729，认为换材料后电阻平均值有明显提高. 11. 已知某种溶液中水分含量XN(m,s)，要求平均水分含量m不低于0.5%，今测定该溶液9个样本，得到平均水分含量为0.451%，均方差S=0.039%试在显著性水平a=0.05下，检验溶液水分含量是否合格. 参考答案：t=-3.77t0.05(8)=1.8595，即认为溶液水分含量低于0.5%，不合格. 12. 某车间生产铜丝

15、，其中一个主要质量指标是折断力大小，用X表示该车间生产的铜丝的折断力，根据过去资料来看，可以认为X服从N(m,s)，m0=285kg,s=4kg,今换了一批原材料，从性能上看，估计折断力的方差不会有什么大变化，但不知道折断力的大小与原先有无差别？从现今产品中任取10根，测得折断力数据如下： 289,286,285,284,285,285,286,286,298,292. . 参考答案：先检验方差 22H0:s2=s0=42H1:s2s0 2222得c0.975(9)=2.70c=10.65U0.025=铜丝折断力大小与原先有显著性差异. 13.为研究某地两民族间家庭规模是否有所不同，各做了如下

16、的独立的随机抽样： 民族甲：调查户数n1=12，均值X1=6.8，方差S1=1.5 民族甲：调查户数n2=12，均值X2=5.3，方差S2=0.9 试问能否认为甲民族的家庭平均人口高于乙民族的家庭平均人口？ 参考答案：t=0.4951t0.025(22)=2.0739，故认为甲民族的家庭平均人口高于不乙民族的家庭平均人口. 14.某卷烟厂生产甲，乙两种香烟，分别对它们的尼古丁含量作了测定，结果如下： 甲：抽取子样数为6，均值X=25.50，方差S1=6.25 乙：抽取子样数为6，均值Y=25.67，方差S2=9.22 试问这两种香烟的尼姑丁含量有无显著差异？ 参考答案：t=-0.1059t0.

17、025(10)=2.2281，故认为两种香烟尼姑丁含量无显著差异. 15.用两种工艺生产的某种电子元件的抗击穿强度X和Y为随机变量，分布分别为22N(m1,s12)和N(m2,s22).某日分别抽取9只和6只样品，测得抗击穿强度数据分别为x1,L,x9和y1,L,y6,算得 xi=169i=370.80,xi2=15280.17, i=169yi=1i=204.60,yi2=6978.93. i=1检验X和Y的方差有无明显差异. 参考答案：F0.975(8,5)=1/F0.025(5,8)=0.1479F=0.9693F=0.926F0.95(11,11)=1故可认为两=0.355，F0.05(11,11)种燃料总体的方差相等. 再检验H0:mA-mB=0,H1:mA-mB0，t=2.19t0.01(22)=2.5083，采用燃料B. 17.某厂近年来发生了63次试过，按星期几统计如下 星期 频数fi 一 9 二 10 三 11 四 8 五 13 六 12 问：事故的发生是否与星期几有关？ 2参考答案：c2=1.66c0.05(6-1)=11.071，故事故发生与星期几没有关系.