用数学软件mathematica做微积分

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1、上海大学20232023学年冬季学期课程论文课程名称：微积分课程编号：01014106论文题目: 用数学软件mathematica做微积分作者姓名: 学 号: 成 绩: 论文评语:评阅人: 评阅日期: 用数学软件Mathematica做微积分姓名： 学号：摘要：Mathematica是著名的数学软件，具有强大的的数学运算能力和绘图功能。本报告用Mathematica来计算微积分中的各种习题,并绘制了很多图形。 在本报告中，我运用软件mathematica解决了在微积分学习过程中学到的很多知识和所遇到的问题。本款软件可以解决我们从开始学习微积分到目前为止所有的问题。从求极限、导数、积分、空间解析

2、几何到多元微分学、多元微分学的应用、重积分、曲线积分、曲面积分等等，无不包含其中。关键词：Mathematica数学软件微积分 正文：首先我想从最简单的求函数极限到多远微分学慢慢来展现这款软件对微积分学习的帮助。一、求函数极限1、自变量趋于有限值的极限例假设求极限我们只需输入：fx_:=Sinx/x;Limitfx,x0则会输出：12、 求单侧极限例 求右极限只需输入：fx_:=ArcTan1/x;Limitfx,x0,Direction-1输出：p/2 3、自变量趋于无穷大的极限例 求极限输入：fx_:=x2Sin3/x2; Limitfx,xInfinity输出：3 4、单向极限例 求极限

3、输入：fx_:=ArcTanx;Limitfx,xInfinity输出：/2例 求极限输入：fx_:=ArcTanx;Limitfx,x-Infinity输出：-(/2) 5、无穷大的极限例 求极限输入：fx_:=Exp1/x;Limitfx,x0,Direction-1输出：正无穷 6、列表观察数列的极限输入：f1=NSqrt2,10;fn_:=NSqrt2+fn-1,10;DoPrintn, ,fn,n,10结果：1 1.4142135622 1.8477590653 1.9615705614 1.9903694535 1.9975909126 1.9993976377 1.9998494

4、048 1.9999623519 1.99999058810 1.999997647描点作图二、导数1、用定义求导数导数的定义： 或 例 设 ，求左导数fx_:=Whichx=0,Sinx （定义分段函数）a=0;Direvative=Limit(fx+a-fa)/(x-a),xa结果：12、高阶导数例 设 ，求二阶导数和三阶导数二阶导数fx_:=Sin2x2+3;fx 或 Dfx,x,2结果：4 Cos3+2 x2-16 x2 Sin3+2 x24 Cos3+2 x2-16 x2 Sin3+2 x2三阶导数fx_:=Sin2x2+3;fx Dfx,x,3结果：-64 x3 Cos3+2 x2

5、-48 x Sin3+2 x2-64 x3 Cos3+2 x2-48 x Sin3+2 x2三、导数的应用1、微分中值定理例 在区间上对函数验证拉格朗日中值定理的正确性。解 即验证存在，使得fx_:=4x3-5x2+x-2;a=0;b=1;Solvefx(fb-fa)/(b-a),x结果为x1/12 (5-),x1/12 (5+) 得到两个解并判断这两个解是否在(0,1)内：0(5-Sqrt13)/1210(5+Sqrt13)/12AxisV = Pi Integratefx2, x, 0, 2 体积体积：(1-Sin4/4)fx_:=Sinxr1=Plotfx,x,0,2,PlotStyle

6、Red,FillingAxis;r2=Plot-fx,x,0,2,PlotStyleRed,FillingAxis;r3=ParametricPlot2+0.1Cost,Sin2Sint,t,0,2Pi,PlotStyleRed;Showr1,r2,r3,PlotRangeAll,AspectRatio1（下图） 3、弧长曲线（）的弧长为：例 曲线的弧长，并作图fx_:=x2A=Plotfx,x,-1,3;B=Plotfx,x,1,2,PlotStyleRed,Thickness0.01;ShowA,Bs=IntegrateSqrt1+fx2,x,1,2 解析解s=NIntegrateSqrt

7、1+fx2,x,1,2 数值解结果：1/4 (-2 +4 -ArcSinh2+ArcSinh4) 解析解3.16784 数值解曲线（）的弧长为： 4、旋转曲面面积曲线（）绕轴旋转的旋转曲面的面积为：例 曲线绕x轴旋转的旋转曲面的面积，并作图fx_:=x2A=Plotfx,x,-1,2.5;B=Plotfx,x,1,2,PlotStyle-Red,Thickness0.01;ShowA,B,AspectRatioAutomatics=2Pi IntegratefxSqrt1+fx2,x,1,2 解析解s=N2Pi IntegratefxSqrt1+fx2,x,1,2 数值解结果：1/32p (-

8、18 +132 +ArcSinh2-ArcSinh4) 解析解49.4162 数值解六、多元微分学1、偏导数例 设 ，求偏导数，fx_,y_:=Sinx2+2 y;Dfx,y,xDfx,y,yDfx,y,x/.x1,y2结果：2 x Cosx2+2 y2 Cosx2+2 y2 Cos52、高阶偏导数例设，求偏导数，和fx_,y_:=Sinx2+2 y;Dfx,y,x,xDfx,y,y,xDfx,y,x,yDfx,y,x,y/.x1,y2结果：2 Cosx2+2 y-4 x2 Sinx2+2 y-4 x Sinx2+2 y-4 x Sinx2+2 y-4 Sin53、全微分例 设 ，求全微分fx

9、_,y_:=x2+Cos2 y;dz=Dfx,y,x dx+Dfx,y,ydy结果：dz2 dx x-2 dy Sin2 y七、多元微分学的应用1、梯度与方向导数例设，求梯度和，并作梯度场的图形fx_,y_:=x2+Cos2 y;grad=Dfx,y,x,ygrad/.x1,y3结果：2 x,-2 Sin2 y2,-2 Sin6例设，求函数在处沿方向的方向导数fx_,y_,z_:=x2 z+Cosz y;grad=Dfx,y,z,x,y,zGrad=grad/.x1,y2,z3a=1,4,-3;FXDS=Grad.a/NormaFXDS=Grad.NormalizeaN%,4结果：2 x z,

10、-z Siny z,x2-y Siny z6,-3 Sin6,1-2 Sin6(6-3 (1-2 Sin6)-12 Sin6)/0.917136 2、二元函数的极值例 求函数 的驻点和极值，并作图fx_,y_:=x3-y3+3x2+3y2-9x;fx=Dfx,y,xfy=Dfx,y,yZhudian=Solvefx0,fy0结果：-9+6 x+3 x26 y-3 y2x-3,y0,x-3,y2,x1,y0,x1,y2（驻点）fxx=Dfx,y,x,xfyy=Dfx,y,y,yfxy=Dfx,y,x,ydelta=fxx fyy-fxy2 （判别式）结果：6+6 x6-6 y0(6+6 x) (

11、6-6 y)delta,fxx,fx,y/.x-3,y0delta,fxx,fx,y/.x-3,y2delta,fxx,fx,y/.x1,y0delta,fxx,fx,y/.x1,y2结果：-72,-12,27 （判别式0, A0, A0有在（1,0）有极小值：-5-72,12,-1 （判别式0 在(1,2)处无极值）函数的图形：fx_,y_:=x3-y3+3x2+3y2-9x;qumian=Plot3Dfx,y,x,-5,5,y,-5,5;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-4,4,PlotStyleAbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D

12、0,y,0,y,-4,4,PlotStyleAbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,-2,50,PlotStyleAbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;Showqumian,XYZ,BoxRatios1,1,1.5,ViewPoint1,2,1,PlotRange-10,50函数的等值线：fx_,y_:=x3-y3+3x2+3y2-9x;ContourPlotfx,y,x,-4,4,y,-4,4,AxesTrue,FrameFalse,Contours200,ContourShadingNone八、重积分1、二重积分

13、例（X型区域）计算二次积分 ，其中，fx_,y_:=x2 y+x;x1=1;x2=3;y1x_:=2;y2x_:=4;Integratefx,y,x,x1,x2,y,y1x,y2x结果：60画出以上积分区域：fx_,y_:=x2 y+x;a=1;b=3;gx_:=2;hx_:=4;Quyu=ParametricPlot3Dx,y,0,x,a,b,y,gx,hx,PlotStyleRed,MeshFalse;ShowQuyu,PlotRange0,4,0,5,0,0.01,AxesAutomatic,AspectRatio1.4,Ticks0,1,2,3,0,1,2,3,4,5,ViewPoin

14、t0,0,1,BoxedFalse立体图：fx_,y_:=x2 y+x;a=1;b=3;gx_:=2;hx_:=4;Quyu=ParametricPlot3Dx,y,0,x,a,b,y,gx,hx,PlotStyleRed,MeshFalse;qumian=Plot3Dfx,y,x,a,b,y,gx,hx,PlotStyleYellow,Mesh6,FillingBottom,FillingStyleOpacity0.2;X=ParametricPlot3Dx,0,0,x,-2,4,PlotStyleAbsoluteThickness3;Y=ParametricPlot3D0,y,0,y,-2

15、,4.5,PlotStyleAbsoluteThickness3;Z=ParametricPlot3D0,0,z,z,0,30,PlotStyleAbsoluteThickness3;XYZ=ShowX,Y,Z;ShowQuyu,qumian,XYZ,PlotRangeAll,AxesFalse,BoxRatios1,1,0.8,BoxedFalse,ViewPoint4,2,1九、泰勒公式与函数逼近1. 对f(x)=cos x 重复上面的实验.(1)在x=0出展开泰勒公式输入如下命令：t=TableNormalSeriesCosx,x,0,i,i,2,14,2;PrependTot,Cosx

16、;PlotEvaluatet,x,-Pi,Pi得下图：在同一坐标系下比较与y=cos x的逼近程度，输入如下命令：Fori=2,i12,a=NormalSeriesCosx,x,0,i;Plota,Cosx,x,-Pi,Pi,PlotStyleRGBColor0,0,1, RGBColor1,0,0;i=i+2出现如下六幅图：可以看出cos x 在x=0展开的10阶泰勒公式与cos x 逼近程度很高.(2)过大显示区间范围，观察偏离x=0时泰勒公式对函数的逼近情况.输入如下命令：Fori=8,i18,a=NormalSeriesCosx,x,0,i;Plota,Cosx,x,-2Pi,2Pi,

17、PlotStyleRGBColor0,0,1, RGBColor1,0,0;i=i+2出现如下六幅图：可以看出阶数越高，吻合程度越好，如cos x 的18阶泰勒展开式.（3）固定阶数n=6，观察对函数的逼近情况.输入如下命令：ttx0_,n_:=NormalSeriesCosx,x,x0,n;gs0=tt0,6;gs3=tt3,6;gs6=tt6,6;PlotCosx,gs0,gs3,gs6,x,-3Pi,3Pi,PlotRange-2,2,PlotStyleRGBColor0,0,1,RGBColor1,0,1, RGBColor1,0,0, RGBColor0,1,0得下图：可知，对于一确

18、定的阶数，只在展开点附近的一个局部范围内才能较好地吻合.实验收获：经过本次使用mathematica这个著名的数学软件，这个软件强大的功能让我感到很惊讶，通过它我解决了许多自己不明白的问题，验证了人为计算，另外从使用这个软件的过程中，我还更加了解到我们所学知识的框架以及各个知识点之间的联系。通过用Mathematica软件做实验加深了对所学知识的再了解和认识，会运用Mathematica分析并完成一些简单的数学问题。实验步骤由浅入深，内容充实，理论与实验相辅，突出课程的数学应用和工程计算的特色。让学生充分感受、领悟和掌握“数学实验”中最本质的内涵，从而在高等数学的理解、应用、计算能力等方面得到提高，在创造性方面受到启迪。