大数定律及其应用

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1、学号： 20100401179信阳师范学院华锐学院本科毕业论文系数学与计算机科学专业数学与应用数学年级2010 级姓名潘方方论文题目全概率公式在实际问题中的应用指导教师任园园职称 讲师2014年5月6日摘要1关键词1Abstract1Key Words1刖言11. 全概率公式21.1全概率公式21.2 Bayes 公式21.3全概率公式的内涵剖析32. 全概率公式在实际中的应用32.1在摸彩模型下的应用32.2在医疗领域中的应用42.3在敏感问题调查中的应用52.4在抽检次品类型问题中的应用52.5在商品销售问题中的应用62.6在系统可靠性问题中的应用 72.7在生物研究中的应用83. 小结9

2、参考文献11致谢词12全概率公式在实际问题中的应用:n学生姓名：潘方方学号：20100401179数学与计算机科学系数学与应用数学专业指导教师：任园园职称：讲师摘要：在概率论中，概率计算是一个重要的问题.而全概率公式是概率计算 中应用较多的公式之一.本文介绍了全概率公式的定义及内涵，并给出了它在摸彩 模型、医疗领域、敏感问题调查、抽检次品、商品销售、系统可靠性、生物研究 等问题中的应用.关键词：概率计算；全概率公式；应用Abstract： In probability theory, probability calculation is an important question. The t

3、otal probability formula is one of the more formula used in the calculation of probability. In this article, we describe the definition and connotation of the total probability formula and give its application in the lucky model, the medical field, sensitive issues survey, sampling defective, mercha

4、ndise sales, system reliability, biological research and so on.Key Words： Probability calculation; The total probability formula; Applications前言概率论的基本概念是学习概率论的基础，其中心任务是阐明概率的意义和概 率统计的重要法则.乘法公式、全概率公式和Bayes公式等反映了解决问题的正确 思路，同时也体现了互不相容、独立和条件概率等重要概念的应用.而全概率公式 作为概率论中的一个重要公式，它的基本思想就是把一个复杂的事件分解为若干 个互不相容的简单事件

5、，再通过分别计算这些简单事件的概率，最后利用概率的 可加性得到最终结果.它为我们计算复杂事件的概率提供了一条简单有效的途径. 全概率公式的提出，不仅推动了概率学的发展，也在学科和实际应用中起着重要 的作用.随着概率论的不断发展，全概率公式也越来越广泛地应用于各个领域， 成为实际生活中不可缺少的基本理论.本文首先介绍了全概率公式的定义及内涵，其次给出了全概率公式在摸彩模型、医疗领域、敏感问题调查、抽检次品、商品销售、系统可靠性、生物研究等 问题中的应用，灵活使用全概率公式会给我们的解题带来很大的便利，是我们解决 复杂问题的有效工具.1.1全概率公式定义111容，且J B =。i=11. 全概率公

6、式设B ,B，,B为样本空间。的一个分割，即B ,B，,B互不相12n12n如果P(Bi) 0,i = 1,2,-,n，则对任一事件A有P(a)=1Lp(b P(ab).i=1证明因为A = A。= AI i=1 i i=1阿 B ) = U (AB )且 AB , AB，,AB互不相容，所以12n由可加性得i i=1P(A)= P U(AB )| = 2Lp(AB )i=1再将P(AB )= P(B)P(B ),i = 1,2,n，代入上式即可得到p(a)=1Lp(B P(Ab).i=1如果事件B ,B，,B互不相容，且J B =。，则称B ,B，,B是完备事件组.12ni12ni=1这时P

7、(A)=1LP(B P(A|B.)对任何事件A成立.B和B总构成完备事件组，所以i=1P (A )= P (b ) P (a|b )+p (B )p (a|B ).这是一个最常用的公式.1.2 Bayes 公式定义1.2.1设B ,B，,B是样本空间。的一个分割，即B ,B，,B互不相12n12n容，且 Ub =。，如果 P(A) 0，P(B)0，i = 1,2,n，贝Qi=1P G A)=iP(B )P (A|Bi)若将它与全概率公式结合起来，就是Bayes公式的以下的常用形式P(B|A)= P(BOP/)、, i = 1,2,.,n.i W P(B )PAB )jjj=1一般求解概率问题都

8、是在试验之前进行的，其结论也称为“先验概率”，而实 际应用中人们往往想要得知在“结果”发生的情况下，“原因”发生的可能性大小， 也就是“后验概率”.而事实上Bayes公式就是计算后验概率的公式.利用Bayes 公式可求得后验概率并以此对先验概率进行修正.这种方法在经济分析、药物临床 检验、投资等各种领域有很大的实用价值.1.3全概率公式的内涵剖析从公式pCa)=乎P(B P(A|B.)中可以悟出：“全”部概率P(A)被分解成许多 i=1部分之和.它的理论和实际意义在于：在比较复杂的情况下直接算P(A)不易，但A 总是伴随着某个B出现，适当去构造这一组B往往可以简化计算.ii这一公式也可以从另一

9、个角度去理解，把B.看成导致事件A发生的一种可能 途径.对不同途径，A发生的概率即条件概率P(A|B)可能各不相同，而采取哪个 途径却是随机的.直观上可理解为：在这种机制下，A的综合概率P(A)应在最小 的PCa|B.)和最大的PCa|B.)之间，它也不一定是所有P(A|B)的算术平均，因为 各途径被使用的机会P(B )各不相同，正确的答案如所预期，应是各个P(A|B.), i = 1,2,.,n，以P(B )，i = 1,2,.,n为权的加权平均值.一个形象的例子如下：某i中学有若十个毕业班，各班升学率不同.其总升学率是各班升学率的加权平均，其 权与各班学生数成比例.2. 全概率公式在实际中

10、的应用2.1在摸彩模型下的应用例1设在n张彩票中有一张奖券，求第二人摸到奖券的概率是多少？解 设气表示事件“第i人摸到奖券”，i = 1,2,.,n .现在目的是求P(气).因为A是否发生直接关系到A发生的概率，即 12P (A |A )= 0, P (A A )=2 12 1 n1而A与A是两个概率大于0的事件:11P (A= -, P )=日于是由全概率公式得P(A P (A1) P (A21A1)+ P q)P (A21A1 )= - - 0 +这表明：摸到奖券的机会与先后次序无关.因后者可能处于“不利状况”(前 者已摸到奖券)，但也可能处于“有利状况”(前者没有摸到奖券，从而增加后者

11、摸到奖券的机会)，两种状况用全概率公式综合(加权平均)所得结果(机会均等) 即全面又合情理.用类似的方法可得P(A )= P(A )= = P(A )= 1.34n n如果设n张彩票中有k ( n)张奖券，则P(a= P(A2) = = P(A )= k .这说明购买彩票时，不论先买后买，中奖机会是均等的.2.2在医疗领域中的应用例2假设有1,2,3,4四个地区爆发了某种传染病，通过对患病人口分布和地理 一.、 一. ，一.1111.、一.,环境调研后发现四个地区感染此病的概率分别为上,1,1,1，现从这四个地区中随6 5 4 3机找到一个人，那么此人患病的概率是多少？解 令A =(此人患病，

12、B = (此人来自，地区, i = 1,2,3,4，由题意可知P(b )= P(b )= P(b )= P(b )= 1，12344P(AB )= i,P(A|B )= i,P(A|B )= i,P(AB )=-.1 161 251 341 43因此由全概率公式得19P(a)=24 P(B )P(A|B )= 1 X 1 + 1 X 1 + 1 X 1 + 1 X 1 i 146454443 80i =1所以此人患病的概率为19.802.3在敏感问题调查中的应用例3在调查家庭暴力（或婚外恋、服用兴奋剂、吸毒等敏感问题）所占家庭 的比例时，被调查者往往不愿回答真相，这就使得调查结果失真.为得到实

13、际的p同时又不侵犯个人隐私，调查人员在袋中放入比例是P0的红球和比例是 q0 = 1 -P0的白球.被调查者在袋中任取一球窥视后放回，并承诺取到红球就讲真话，取到白球就讲假话.被调查者只需在匿名调查表中选“是”（有家庭暴力）或 “否”，然后将表放入投票箱.没人知道被调查者是否讲真话和回答的是什么.如果 每个家庭回答“是”的概率是4，求P.率公式得到P1 = P(b)= p(b|a)p(a)+ P(b a)p(a)解 对任选的一个家庭，用B表示回答“是”，用A表示取到红球.利用全概=pp0 +(1 - p )q0=q0 +(p0 - q0 ) p.于是只要p。q则 p = p .p0-q0实际问

14、题中4是未知的，需要经过调查得到.假定调查了 个家庭，其中有k个家庭回答“是”，则可以用b =-估计p，于是可用p = 估计p .其中1 n 1p - qp - q |越大，得到的结论越可靠.但是|p - q |越大，调查方案越不易被调查者接1 00001受.2.4在抽检次品类型问题中的应用例4要验收一批乐器共100件，从中随机取出3件测试，且3件乐器的测试是 互相独立的.如果3件中任意一件音乐不纯，则拒绝接受这批乐器.设一件音色不纯的乐器经测试被查出来的概率为0.95，而一件音色纯的乐器经测试被认为不纯的 概率为0.01，如果这100件乐器中有4件音色不纯，求这批乐器被接受的概率.解 设事件

15、A为“ 3件乐器中有i件音色不纯” (i = 0,1,2,3 )，事件B为“这批i乐器被接受” .A , A , A , A构成完备事件组，要考察B出现的概率，需要考虑各个 0123A (i = 0,1,2,3 )出现的情况下B的条件概率.由全概率公式，得P(B )=23 P (A ) P G|A).i=0由题设知，事件A的概率P(A )= C4C96 (i = 0,1,2,3).iC 3100事件公件而含义是：在3件乐器中有i件音色不纯的情况下这批乐器被接受.这意味着：i件音色不纯的乐器都查不出来，而(3-i)件音色纯的乐器也都不能被 误认为不纯，又因为3件乐器的测试是相互独立的，所以P(B

16、|A )=(1 - 0.95)x(1 0.01 A = 0.05i x(0.99 A (i = 0,1,2,3 )， i代入上式，得P(b) = 13 CC- x(0.05)x (0.99)3- = 0.8629.C 3 i=01002.5在商品销售问题中的应用例5假设某段时间内来百货公司的顾客数服从参数为人的Poisson分布，而在百货公司里每个顾客购买电视机的概率为p，且顾客之间是否购买电视机的事 件互相独立，试求这段时间内百货公司售出k台电视机的概率.解 设Ak表示出售电视机k台，B,表示来到百货公司的顾客数为i人，则P (B )上 e项,i = 0,1,2,i i!P R |B.)=0

17、,i = 0,1,2,.,k -1,CkPk (1 -p)-k,i = k,k +1,.i所以，由全概率公式得P(A )= P(B)P(A B )i=0=T Ckpk (1 - p )i-k 彳 e-X i=k*=T 上y pk (1 - p)-k 工 e-X .k !(i - k)!i!i=k3人(1 p )，-k-xT”：(i - k )!(X p )k=ek!i=k3叫 S012)说明百货公司所售出的电视机数仍服从Poisson分布，参数为人p .2.6在系统可靠性问题中的应用例6元件能正常工作的概率称为该元件的可靠性，由多个元件构成的系统能 正常工作的概率称为该系统的可靠性.设如图所示

18、(见图1)系统中各元件正常工 作的概率均为p (0 p 1时，有Pmn Pl（3）设系统RS正常工作的概率为Prs，以A,B,C,D,E表示相应元件正常工 作，并设事件W为“系统RS正常工作”.方法一 因AD, ACE,BE,BCD 4条线路至少有一条正常工作，系统RS就正常 工作，再由加法公式得Prs = P (AD U ACE U BE U BCD)=P (AD )+ P (ACE)+ P(BE )+ P (BCD )-P(ACDE)- P (ADBE)- P (ADBC)-P (ACEB)-P (aCEBd)- P (BECD) + P (ADCEB)+ P (ABCED) + 2 P

19、(ABCDE )=2 p 2 + 2 p 3 5 p 4 + 2 p 5 .方法二 由全概率公式和(1)、(2)，得(W )= P (C ) P (WC )+ P (C )P W|C) =p - p2 (2 - p + (1 - p). p2(2 - p2)=2p2 + 2p3 5p4 + 2p5.从上面的解题步骤我们可以看出，如果使用通常的解答方法的话，在遇到样 本空间庞大，数据复杂的事件时是十分费时费力的.而用全概率公式的话就是非常 简洁明了.2.7在生物研究中的应用例7某实验室在器皿中繁殖成k个细菌的概率为p =W e-X, X 0, k = 0,1,2, k k!并设所繁殖成的每个细菌

20、为甲类菌或乙类菌的概率相等.求下列事件的概率：（1）器皿中所繁殖的全部是甲类菌；（2）已知全是甲类菌，求恰好有2个甲类菌；（3）求所繁殖的细菌中有，个甲类菌.解 以事件A表示“繁殖的细菌全是甲类菌”，气表示“繁殖了 k个细菌”，k = 0,1,2,., A表示“所繁殖的细菌中有i个甲类菌”，i = 0,1,2,.（1）由全概率公式得（2）P (A)=E P (b) P(A|Bk =k7 e A k=1k=1 P(b A)= P印P杷)知2P (A)（3）由题意得工,P (AB )= Ck ! i k k（d(iki(1V=Cik 2 Jk 2 Jkk 2 J由全概率公式得P(a)=8 P(b

21、)pG.IbJk =ix 人k 入_ =Le -%Cik! kk =i。上 k!(*=eL V k !i !(k i)! 2 Jk=i(X )k-i k 2 jk=iE、2 e 2x(i = 1,2,.)i!3. 小结本文对全概率公式的定义、内涵及在部分领域的应用做了简单的阐述，仅此 就可以看到全概率公式在实际应用中的重要性.事实上这是由全概率公式的思想 方法决定的.全概率公式的精髓之处就在于将事件分割，化繁为简、化难为易.因 此我们在解答实际问题时只要遇到事件构成复杂、数据量庞大的问题时就可以考 虑使用全概率公式及其推广，即使有的问题不能够使用全概率公式,我们也可以利 用其思想对问题进行分析

22、研究并求解.全概率公式在以后的科学技术领域、工农业生产及国民经济各部门中会有更 加广泛的应用.如保险业务；气象、地震报告；产品的抽样检验；研发新产品中的 寻求最佳生产方案；在可靠性工程中进行器件和装置使用可靠性程度和平均寿命 的估算等.我们要在熟练掌握基本理论和基本方法的前提下，理论联系实际，不断 提高自己分析问题和解决问题的能力.参考文献：1 林正炎，苏中根.概率论.M.杭州：浙江大学出版社，2001. 8.2 茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程.M.北京：高等教育出版 社，2011.2（2012.5 重印）.3 顾晓青.全概率公式的应用.J.沧州师范专科学校学报，2000. 6,

23、第16卷，第 3期.4 陈希孺.概率论与数理统计.M.合肥：中国科学技术大学出版社，1992.5 （2007. 8 重印）.5 王明慈，沈恒范.概率论与数理统计.M.北京：高等教育出版社，1999 （2002 重印）.6 马晓丽，张亮.全概率公式的推广及其在保险中的应用.J.高等数学研究， 2010.6，第13卷，第1期.7 符方健.全概率公式及其应用技巧.J.高等数学研究，2011.3,第14卷第2 期.8 马元生.概率统计简明教程.M.北京：科学出版社，2007.9 郭跃华.概率论与数理统计.M.上海：科学出版社，2011.01第一版.10 金圣才.概率论与数理统计.M.北京：中国石化出版

24、社，2005第一版.11 陈家鼎，郑忠国.概率与统计.M.北京：北京大学出版社，2007.8.12 何书元.概率论.M.北京：北京大学出版社，2006. 1.致谢词光阴似箭，四年的大学生生活即将结束.回顾在学校度过的每个日日夜夜，感 受颇多.报到第一天的情景、四年时间里发生的点点滴滴仿佛就在昨天，对于即将 奔向他乡走上工作岗位的我来说，才发现自己原来是那么的不舍.在本文的写作过程中，要特别感谢我的指导老师任园园老师的指导和督促.从 选题到开题报告，从写作提纲到写作定稿，倾注了任老师大量的心血.可以说，没 有任老师的帮助就没有今天的这篇论文.您积极进取的工作态度、宽广的胸怀与见 识、曾经教给我的许多为人处事的道理以及在面对困难时所表现出的勇气都是我 一生宝贵的财富，我将带着这些财富踏上我的新的征程.在此，谨向任老师表示我 最诚挚的敬意和感谢.其次，感谢我的室友们，感谢她们在我论文写作期间对我论文提出的所有建 议；四年来，我们朝夕相处，共同进步，感谢她们给予我的所有关心和帮助.同窗 之谊，我将终生难忘！感谢我们10级3班的同学们，感谢他们陪伴着我一起走过的 风风雨雨，希望大家都能有个好的前程.最后需要特别感谢的是我的父母.父母的养育之恩无以为报，他们是我十多年 求学路上的坚强后盾，在我面临人生选择的迷茫之际，为我排忧解难，他们对我 无私的爱与照顾是我不断前进的动力.