冀教版初二数学21.3用待定系数法确定一次函数表达式

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1、八年级数学八年级数学下下 新课标新课标冀教冀教第第二十一二十一章章 一次函数一次函数 学习新知学习新知检测反馈检测反馈学学 习习 新新 知知问题思考问题思考1.想一想。请学生判断四个一次函数中k,b的符号.12322.练一练.画出函数y=x与y=-x+3的图像.你在作这两个函数图像时,分别描了几个点?你为何选取这几个点?可以有不同的取法吗?活动活动1待定系数法的探究待定系数法的探究某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(米/秒)与其下滑时间t(秒)的关系如下图.(1)写出v与t之间的关系式;(2)下滑3秒时物体的速度是多少?方法引导:(1)要求v与t之间的关系式,首先应观察图像,确定它是正比例函数的

2、图像,还是一次函数的图像,然后设函数表达式,再把的坐标代入表达式求出待定系数即可.(2)因为函数图像过原点,且是一条直线,所以这是一个正比例函数的图像,设表达式为v=kt,由图像可知(2,5)在直线上.所以把t=2,v=5代入上式求出k,就可知v与t的关系式了.525252解解:(1)由题意可知v是t的正比例函数,可设v=kt,(2,5)在函数图像上,2k=5,k=,v与t的关系式为v=t.(2)求下滑3秒时物体的速度,就是求当t等于3时的v的值.当t=3时,v=3=7.5.在以下图中,直线PQ上两点的坐标分别为P(-20,5),Q(10,20).怎样确定这条直线所对应的一次函数表达式呢?图像

3、对应一次函数,经过点P(-20,5)和Q(10,20),设一次函数表达式为y=kx+b.把P,Q两点坐标代入组成二元一次方程组,求出k和b的值,即可确定函数的表达式.解解:设这个一次函数表达式为y=kx+b,由图像可知直线过点P(-20,5)和Q(10,20),5=2020=10kbkb，1215kb，可得解得所以这个一次函数的表达式为y=x+15.12请大家从这两道题的解题经历中,总结一下如果函数的图像,怎样求函数的表达式.大家互相讨论之后再表述出来.(1)确认其为一次函数(或正比例函数).(2)设表达式为y=kx+b(正比例函数设为y=kx).(3)根据变量的两组对应值(正比例函数只需一组

4、),列方程组(或方程),求出k与b的值.归纳:确定正比例函数的表达式需要一个条件,确定一次函数的表达式需要两个条件.(教材第97页例题)一辆汽车匀速行驶,当行驶了20 km时,油箱剩余58.4 L油;当行驶了50 km时,油箱剩余56 L油.如果油箱中剩余油量y(L)与汽车行驶的路程x(km)之间是一次函数关系,请求出这个一次函数的表达式,并写出自变量x的取值范围以及常数项的意义.解解:设所求一次函数的表达式为y=kx+b.58.4=2056=50kbkb，0.0860kb，根据题意,把的两组对应值(20,58.4)和(50,56)代入,得解得 这个一次函数表达式为y=-0.08x+60.(补

5、充)小明根据某个一次函数关系式填写了下表:其中有一格不慎被墨汁遮住了,想想看,该空格里原来填的数是多少?用待定系数法求一次函数的表达式,一般步骤如下:(1)设出一次函数表达式y=kx+b.(2)根据条件,列出关于k和b的二元一次方程组.(3)解这个方程组,求出k与b的值,从而得到一次函数表达式.知识拓展知识拓展正比例函数正比例函数y=kx(只有一个待定系数只有一个待定系数k)一般只需一般只需一个条件即可求出一个条件即可求出k的值的值;一次函数一次函数y=kx+b(有两个待定系数有两个待定系数k和和b)一般需要两个条件一般需要两个条件,列出方程组才能求出列出方程组才能求出k和和b的值的值,确定确

6、定一次函数的表达式还有如下几种方法一次函数的表达式还有如下几种方法:(1)根据根本数量关系根据根本数量关系列出表达式列出表达式,如弹簧长度如弹簧长度=弹簧原长弹簧原长+弹簧伸长的长度弹簧伸长的长度;(2)根据根据数学公式列表达式数学公式列表达式,如矩形周长如矩形周长=(长长+宽宽)2;(3)列出关于自变列出关于自变量量x和函数和函数y的二元一次方程组的二元一次方程组,然后用含然后用含x的代数式表示的代数式表示y.1.待定系数法.确定一次函数表达式的主要方法是待定系数法,即先求出式子中的未知系数,再根据条件列出方程(组)求出未知系数,从而写出这个式子的方法,其中未知系数也称为待定(等待确定)系数

7、,如正比例函数y=kx中的k,一次函数y=kx+b中的k和b,都是待定系数.2.求一次函数(含正比例函数)的表达式.(1)由问题的实际意义直接写出.(2)确认其为一次函数,然后采用以下步骤:设表达式为y=kx+b(正比例函数设为y=kx);(2)根据变量的两组对应值(正比例函数只需一组)列方程组(或方程)求出k与b的值.注意:求正比例函数,只要一对x,y的值就可以,因为它只有一个待定系数;而求一次函数y=kx+b,那么需要两组x,y的值.检测反馈检测反馈1.假设一次函数y=kx+17的图像经过点(-3,2),那么k的值为()A.-6B.6C.-5D.5解析:由一次函数y=kx+17的图像经过点

8、(-3,2),故将x=-3,y=2代入一次函数解析式,得2=-3k+17,解得k=5,那么k的值为5.应选D.D2.一次函数的图像经过点(2,1)和(-1,-3),那么它的解析式为()35.43A yx43.35B yx33.45C yx43.35D yx213kbkb ，435-3kb，4335yx解析:一次函数y=kx+b的图像经过两点(2,1)和(-1,-3),解得 一次函数解析式为 .应选D.D3.一次函数y=kx+b的图像如下图,那么()1.3-1kAb，1.31kBb，3.1kCb，1.31kDb，.0=31kbb，131kb，解析:由函数图像可知直线与x,y轴相交的点的坐标分别为

9、(3,0),(0,-1),解得 应选D.D4.y与x+1成正比,当x=2时,y=9,那么当y=-15时,x的值为()A.4B.-4C.6D.-6解析解析:设设y=k(x+1),把把x=2,y=9代入得代入得k=3,所以所以y=3(x+1)=3x+3,当当y=-15时时,3x+3=-15,解得解得x=-6.应选应选D.D34359105.八个边长为1的正方形按如下图摆放在平面直角坐标系中,经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两局部,那么该直线l的解析式为()A.y=-x B.y=-xC.y=-x D.y=-x1210310310,33103910910解析:如下图,设直线l和八个正方

10、形的最上面交点为A,过A作ABy轴于B,过A作ACx轴于C,正方形的边长为1,OB=3,经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两局部,SAOB=4+1=5,OBAB=5,AB=,OC=,由此可知直线l经过点 ,设直线方程为y=kx,那么3=-k,k=-,直线l的解析式为y=-x.应选D.D7.如下图,OPQ是边长为2的等边三角形,假设正比例函数的图像过点P,那么它的解析式是.12122222213OPOD解析:过点P作PDx轴于点D,OPQ是边长为2的等边三角形,OD=OQ=2=1,在RtOPD中,OP=2,OD=1,PD=,P(1,),设直线OP的解析式为y=kx(k0),k=,直

11、线OP的解析式为y=x.故填y=x.33333yx6.如下图,假设点P(-2,4)关于y轴的对称点在一次函数y=x+b的图像上,那么b的值为()A.-2B.2C.-6D.6解析:由题意得对称点P的坐标为(2,4),代入得2+b=4,解得b=2.应选B.B8.一次函数y=kx+b的图像如下图.(1)求出该一次函数的表达式;(2)当x=10时,y的值是多少?(3)当y=12时,x的值是多少?解析:(1)观察函数的图像,得出一次函数的图像经过点(2,0),(0,-2),代入函数解析式即得出一次函数的表达式.(2)(3)再分别令x=10和y=12,即可得出对应的y,x的值.202kbb，1-2kb，解

12、:(1)观察图像可得一次函数的图像经过点(2,0),(0,-2),代入函数的解析式y=kx+b中,得 解得一次函数的表达式为y=x-2.(2)令x=10,得y=10-2=8.(3)令y=12,得x=12+2=14.12129.y是x的一次函数,且当x=-4时,y=9;当x=6时,y=-1.求:(1)这个一次函数的解析式,自变量x的取值范围;(2)当x=-时,函数y的值;(3)当y1时,自变量x的取值范围.解析解析:(1)利用待定系数法求得函数的解析式;(2)把x=-代入函数解析式求得y的值;(3)根据y1即可列出不等式求解.4961kbkb，15kb，解:(1)设y=kx+b,根据题意得 解得

13、 那么函数的解析式是y=-x+5,x是任意实数.1212112(2)把x=-代入解析式得y=+5=.(3)根据题意得-x+54.10.某摩托车的油箱最多可存油5升,行驶时油箱内的余油量y(升)与行驶的路程x(km)成一次函数关系,其图像如下图.(1)求y与x的函数关系式;(2)摩托车加满油后到完全燃烧,最多能行驶多少千米?53bkb，60，5130bk，130解析解析:(1)设解析式为设解析式为y=kx+b,把坐标代入把坐标代入,列方程求解析式列方程求解析式.(2)当余油量当余油量y=0时时,行程最远行程最远.解:(1)设一次函数的解析式为y=kx+b(k0).由图像可知,该函数的图像过A(0,5),B(60,3)两点,可得 解得 所以所求的一次函数解析式为y=-x+5.(2)当余油量y=0时,行程最远,由-x+5=0,得x=150(km).所以摩托车加满油最多能行驶150 km.130