材料力学10截面的静矩和形心位置课件

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1、材料力学-10截面的静矩和形心位置oyz-1 截面的静矩和形心位置截面的静矩和形心位置一、一、定义定义dA yz截面对截面对 z,y 轴的静矩为轴的静矩为：AzydASAyzdAS静矩可正，可负，也可能等于零静矩可正，可负，也可能等于零。材料力学-10截面的静矩和形心位置yzo dA yz 截面的形心截面的形心 C 的坐标的坐标 公式为：公式为：zycAAydAySzAAAzdAzSyA截面对形心轴的静矩等于零。截面对形心轴的静矩等于零。若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。yASzzASy材料力学-10截面的静矩和形心位置 二二、组合截面组合

2、截面截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该截截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该截面对于同一轴的静矩。面对于同一轴的静矩。由几个简单图形组成的截面称为组合截面由几个简单图形组成的截面称为组合截面材料力学-10截面的静矩和形心位置其中：其中：Ai 第第 i 个简单截面面积个简单截面面积 第第 i个简单截面的形心坐标个简单截面的形心坐标),(zyii组合截面静矩的计算公式为组合截面静矩的计算公式为yASiniiz1niiiyzAS1材料力学-10截面的静矩和形心位置 计算组合截面形心坐标的公式如下：计算组合截面形心坐标的公式如下：niiniiiAyAy11niiniiiAzA

3、z11材料力学-10截面的静矩和形心位置1010120o80 取取 x 轴和轴和 y 轴分别与截面轴分别与截面的底边和左边缘重合的底边和左边缘重合解：将截面分为解：将截面分为 1，2 两个矩形。两个矩形。12x1y1x2y2yxAAxAxAAxAxniiniii21221111 AAyAyAy212211 例例 1-1 试确定图示截面心试确定图示截面心 C 的位置的位置。材料力学-10截面的静矩和形心位置1010120o8012x1y1x2y2yx矩形矩形 1mmA21120012010 mmx51 mmy601 矩形矩形 2mmA227007010 mmx45270102 mmy52 材料力

4、学-10截面的静矩和形心位置所以所以4 40 0m mm m1 19 90 00 07 75 55 50 00 0A AA Ay yA Ay yA Ay y2 20 0m mm m1 19 90 00 03 37 75 50 00 0A AA Ax xA Ax xA Ax x2 21 12 22 21 11 12 21 12 22 21 11 11010120o8012x1y1x2y2yx),(xyC材料力学-10截面的静矩和形心位置 -2 极惯性矩极惯性矩 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积d dA A2 2I IA Ap p yz0dAyz 截面对截面对 o 点的极惯性矩为点的极惯性矩为定义：定义

5、：材料力学-10截面的静矩和形心位置d dA A2 2d dA A2 2z zy yA AA AI II Iz zy 截面对截面对 y,z 轴的惯性矩分别为轴的惯性矩分别为因为因为2 2z z2 2y y2 2Ip=Ix+Iy所以所以d dA A2 2I IA Ap p xy0dAxy 材料力学-10截面的静矩和形心位置x xy yd dA AI IA Ax xy y截面对截面对 x,y 轴的惯性积为轴的惯性积为xydxdxydA材料力学-10截面的静矩和形心位置A AI Ii i,A AI Ii ix xx xy yy y截面对截面对 x,y 轴的惯性半俓为轴的惯性半俓为材料力学-10截面的

6、静矩和形心位置例例 2 _ 1 求矩形截面对其对称轴求矩形截面对其对称轴 x,y 轴的惯性矩。轴的惯性矩。dA =b dy解解：bhxyCydy1232222bhdybydAyIhhAx dAyIAx 2123hbIy 材料力学-10截面的静矩和形心位置 例例 2-2 求圆形截面对其对称轴的惯性矩求圆形截面对其对称轴的惯性矩。解：因为截面对其圆心解：因为截面对其圆心 O 的的极惯性矩为极惯性矩为 yxd所以所以644dIIyx 324dI IIIyx IIyx 材料力学-10截面的静矩和形心位置xyoC(a,b)ba一一、平行移轴公式平行移轴公式xc,yc 过截面的形心过截面的形心 c 且与且

7、与 x,y 轴平轴平 行的坐行的坐 标轴（形心轴）标轴（形心轴）（a,b)_ 形心形心 c 在在 xoy 坐标系下的坐标系下的 坐标。坐标。-3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组合截面的惯性矩和惯性积组合截面的惯性矩和惯性积ycxcx,y 任意一对坐标轴任意一对坐标轴C 截面形心截面形心材料力学-10截面的静矩和形心位置 Ixc ,Iyc,Ixc yc 截面对形心轴截面对形心轴 xc,yc 的惯性矩和惯性积。的惯性矩和惯性积。Ix ,Iy ,Ixy _ 截面对截面对 x,y 轴的惯性矩和惯性积。轴的惯性矩和惯性积。xyoC(a,b)baycxc则平行移轴公式为则平行

8、移轴公式为AaIIxcx2 AbIIycy2 abAIIyxccxy 材料力学-10截面的静矩和形心位置二、二、组合截面的惯性矩组合截面的惯性矩 惯性积惯性积 Ixi,Iyi,第第 i个简单截面对个简单截面对 x,y 轴的惯性矩轴的惯性矩、惯性积。惯性积。Ixyi组合截面的惯性矩，惯性积组合截面的惯性矩，惯性积 n1iyiyII nixyixyII1 n1ixixII材料力学-10截面的静矩和形心位置例例 3-1 求梯形截面对其形心轴求梯形截面对其形心轴 yc 的惯性矩。的惯性矩。解：将截面分成两个矩形截面。解：将截面分成两个矩形截面。2014010020zcycy12截面的形心必在对称轴截面

9、的形心必在对称轴 zc 上。上。取过矩形取过矩形 2 的形心且平行的形心且平行记作记作 y 轴轴 。于底边的轴作为参考轴，于底边的轴作为参考轴，材料力学-10截面的静矩和形心位置所以截面的形心坐标为所以截面的形心坐标为140201 A801 Z201002 A02 Z2014010020zcycy12mmAAZAZAZC746212211.ZC材料力学-10截面的静矩和形心位置2014010020y12ZCzcyc).(746801402014020121231 IyC).(7462010020100121232 IyCmIIIyCyCyC4621101212 .材料力学-10截面的静矩和形心

10、位置一一、转轴公式转轴公式 顺時针转取为顺時针转取为 号号 -4 惯性矩和惯性积的转轴公式惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩xoy 为过截面上的任为过截面上的任 点建立的坐标系点建立的坐标系 x1oy1 为为 xoy 转过转过 角后形成的新坐标系角后形成的新坐标系oxyx1y1 逆時针转取为逆時针转取为+号，号，材料力学-10截面的静矩和形心位置显然显然y yx xy yx xI II II II I1 11 1 2sin2cos221xyyxyxxIIIIII IIIIIIxyyxyxy2sin2cos221 IIIIxyyxyx2cos2sin211

11、 上式称为转轴公式上式称为转轴公式oxyx1y1 材料力学-10截面的静矩和形心位置二二、截面的主惯性轴和主惯性矩截面的主惯性轴和主惯性矩 主惯性轴主惯性轴 总可以找到一个特定的角总可以找到一个特定的角 0,使截面对新坐标使截面对新坐标 轴轴 x0,y0 的惯性积等于的惯性积等于 0,则称则称 x0,y0 为主惯轴。为主惯轴。主惯性矩主惯性矩截面对主惯性轴的惯性矩。截面对主惯性轴的惯性矩。IIIIxyyxyx2cos2sin211 材料力学-10截面的静矩和形心位置形心主惯性轴形心主惯性轴 当一对主惯性轴的交点与截面的形心当一对主惯性轴的交点与截面的形心 重合时，则称为形心主惯性轴。重合时，则

12、称为形心主惯性轴。形心主惯性矩形心主惯性矩 截面对形心主惯性轴的惯性矩。截面对形心主惯性轴的惯性矩。材料力学-10截面的静矩和形心位置由此由此 主惯性轴的位置：设主惯性轴的位置：设 为主惯性轴与原坐标轴为主惯性轴与原坐标轴 之间的夹角，之间的夹角，则有则有yx0II2tg x xy y2 2I I 02cos2sin200 xyyxIII材料力学-10截面的静矩和形心位置 2 22 2x xy yy yx xy yx xy yx x4 4I II II I2 21 12 2I II II II I0 00 0 过截面上的任一点可以作无数对坐标轴，其中必有过截面上的任一点可以作无数对坐标轴，其中

13、必有 一对是主惯性轴。截面的主惯性矩是所有惯性矩中一对是主惯性轴。截面的主惯性矩是所有惯性矩中 的极值。即：的极值。即：Imax=Ix0 ,Imin =Iy0 主惯性矩的计算公式主惯性矩的计算公式截面的对称轴一定是形心主惯性轴。截面的对称轴一定是形心主惯性轴。材料力学-10截面的静矩和形心位置 确定形心确定形心 的位置的位置 AyAyAxAxiiiiii,选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐选择一对通过形心且便于计算惯性矩（积）的坐 标轴标轴 x，y,计算计算 Ix ,Iy ,Ixy求形心主惯性矩的步骤求形心主惯性矩的步骤IIxixIIyiyIIxyixy材料力学-10截面的静矩和形心位

14、置 确定主惯性轴的位置确定主惯性轴的位置)2(021IIItyxxyg 计算形心主惯性矩计算形心主惯性矩IIIIIIIxyyxyxyx2214)(2200 材料力学-10截面的静矩和形心位置y 20 c10101207080例例 4-1 计算所示图形的形心主惯性矩。计算所示图形的形心主惯性矩。解：该图形形心解：该图形形心 c 的位置已确定的位置已确定,如图所示。如图所示。过形心过形心 c 选一对座标轴选一对座标轴 X ,y 轴，轴，计算其惯性矩（积）。计算其惯性矩（积）。xy材料力学-10截面的静矩和形心位置mmIx442323104.1001070)25(107012110120151012

15、0121 y 20 c10101207080 xymmIy44104278 .材料力学-10截面的静矩和形心位置 mmxyI44103.971070)35()25(01012020150 y 20 c10101207080 xy材料力学-10截面的静矩和形心位置093.1)2(20 IyIxIxytg 8.11300 形心主惯性轴形心主惯性轴 x0 ,y0 分别由分别由 x 轴和轴和 y 轴绕轴绕 C点点 逆时针转逆时针转 113.80 得出。得出。形心主惯形矩为形心主惯形矩为 44422104.5710321421200mmIIIIIIIxyyxyxyx IIyx 20在第三象限在第三象限2062270.