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1、二、多元线性回归模型在多要素的地理环境系统中，多个（多于两个）要素之间也存在着相互影响、相互关联的情 况。因此，多元地理回归模型更带有普遍性的意义。（一）多元线性回归模型的建立假设某一因变量y受k个自变量X ,x ,x的影响，其n组观测值为（y ,X ,x，,x ），1 2ka 1a 2 akaa = 1,2,.,n。那么，多元线性回归模型的结构形式为：y +B x +B x +. + B x + &（3.2.11）a01 1a2 2 ak ka a式中：卩卩，卩为待定参数；0,1k为随机变量。a如果b,b，,b分别为卩，卩，卩,卩的拟合值，则回归方程为01k012 k=b + b x + b
2、 x +. + b x （3 2 12）01 12 2k k式中：b为常数；0b ,b，,b称为偏回归系数。12k偏回归系数b（ i = 1,2,., k ）的意义是，当其他自变量x.（ j Hi）都固定时，自变量x每 iJi变化一个单位而使因变量y平均改变的数值。根据最小二乘法原理，0（ i = 0,1,2,.,k ）的估计值b （ i = 0,1,2,.,k ）应该使iia=1+ b x + b x +. + b x11a 22 ak kaTmin(3.2.13)有求极值的必要条件得(3.2.14)将方程组（3.2.14）式展开整理后得:nb + (1 x )b + (1 x )b +.
3、+ (1 x )b01a 12 a 2ka i(1 x )bka 0a =1方程组（3.2.15）x )b +.2 a 2(1 x )b1a 0(x)b2 a 0a=1X2 )b + . + (12 a 22 a ka ka =1+ (1 x x )b1a ka 1a=1=1 yaa =1x x )b1a ka k+ (1 x x )b +. + (1X2 )bka ia=12 aa=1ka式，被称为正规方程组。如果引入一下向量和矩阵:(b )0b1b2r y1y2I bk丿XA = XtX =,111.1 XXX.X1112131nXXX X2122232 n.XXX.X 丿k1k 2k 3
4、kn1n=1 X y1a a= 1xy2 a aa=1=1 x yka Ia =1X X21k1X X22k 2X X23k 3.X X2 nknXX1121XX1222XX1323.XX1n2 n丿111x11X12X13kaXk1Xkn(3.2.15)n1a=1X2 aa=11x1a1xkaB = XtY =1x1a1x2 aXX 21a1Xx1a 2 aa=11Xx1a 2 aa 11Xx1a kaX 22 aa=1X X2 a kaa=11X X1a Ia=11xkaa =1X11X12X13X2 a kaX 2ka 丿x21X22X23a=1ayaya则正规方程组（3215）式可以进
5、一步写成矩阵形式Ab 二 B (3.2.15)求解（3.2.15）式可得:b 二 A-1B 二(XtX)-iXtY (3.2.16)如果引入记号：L = L 二工(x 一 x )(x一 x )(i, j = 1,2,., k)ijjiia i ja ja=1L =工(x 一 x )(y 一 y)(i = 1,2,., k)iyia i aa =1则正规方程组也可以写成：L b + L b +. + L b = L11 112 21k k1 yL b + L b +. + L b = L21 122 22k k2 y (3.2.15)L b + L b +. + L b = Lk1 1_k2_2
6、 kk kkyb = y 一b x 一b x 一.一b xV 0112 2k k（二）多元线性回归模型的显著性检验与一元线性回归模型一样，当多元线性回归模型建立以后，也需要进行显著性检验。与前面的一元线性回归分析一样，因变量y的观测值y ,y，,y之间的波动或差异，是由两个因12n素引起的，一是由于自变量x ,x，,x的取之不同，另一是受其他随机因素的影响而引起12k的。为了从y的离差平方和中把它们区分开来，就需要对回归模型进行方差分析，也就是将y的离差平方和ST或（LyJ分解成两个部分，即回归平方和U与剩余平方和Q：S = L = U + Qt yy在多元线性回归分析中，回归平方和表示的是所有k个自变量对y的变差的总影响，它可以 按公式U =工（y y）=工bLai iya=1i=1计算，而剩余平方和为Q =工（y - F / = L - ua ayya=1以上几个公式与一元线性回归分析中的有关公式完全相似。它们所代表的意义也相似，即回 归平方和越大，则剩余平方和Q就越小，回归模型的效果就越好。不过，在多元线性回归 分析中，各平方和的自由度略有不同，回归平方和U的自由度等于自变量的个数k，而剩余 平方和的自由度等于n - k -1，所以F统计量为：口U / kQ /(n - k -1)当统计量F计算出来之后，就可以查F分布表对模型进行显著性检验。
多元线性回归模型公式
